一道三角函數(shù)問題多種解法的思考

柴華

摘? 要：文章通過對一道三角函數(shù)問題的多種解法進行思考，展示不同的思路，尤其是利用幾何的思想解決三角函數(shù)問題。

關(guān)鍵詞：三角函數(shù);解題方法;解題思考

三角函數(shù)是高考試題中的必考題，并且屬于簡單題，尤其是選擇題和填空題更是必須拿分的題目。在處理時，學(xué)生應(yīng)該盡量利用巧妙的解題方法，以節(jié)省一部分時間來解答其他問題。雖然高中數(shù)學(xué)教材有不同的版本，但是三角函數(shù)的知識點，以及高考的考查方面基本上都是相同的。下面以一道三角函數(shù)選擇題的解法為例進行研究。

題目? 已知[sinα+2cosα=3，則tanα=]? ? ? 。

（A）[22]? ? ? ? ? ? ? ? （B）[2]

（C）[-22]? ? ? ? ? ? ? ?（D）[-2]

分析：利用常規(guī)解方程的思想，由題目已知是三角函數(shù)的正弦[sinα]和余弦[cosα，] 求正切值[tanα]，想到三角函數(shù)的基本關(guān)系式[sin2α+cos2α=1，] 列出關(guān)于[sinα，cosα]的方程組，解出[sinα，cosα]具體的數(shù)值，然后利用三角函數(shù)基本關(guān)系式中[tanα=][sinαcosα，] 得到正切值，進而完成解答，具體過程如下。

解：由同角三角關(guān)系式及已知條件，聯(lián)立方程組[sin2α+cos2α=1，①sinα+2cosα=3，②]得[3cos2α-26cosα+2=0，] 即[3cosα-22=0。] 得[cosα=63。] 代入②式可得[sinα=33，] [所以tanα=sinαcosα=22。]

此種方法耗時較長，尤其是對解題準(zhǔn)確度不高的學(xué)生來說，解二元二次方程組更是一項挑戰(zhàn)，并且有時還容易產(chǎn)生增根。下面就此題提供幾種簡單的解法，方便學(xué)生研究。

方法1：輔助角公式。

分析：利用輔助角公式，公式為[asinα+bcosα=][a2+b2sinα+φ，] 其中[sinφ=ba2+b2，cosφ=aa2+b2。]這種思路可以把不同名的兩個三角函數(shù)[sinα，cosα]（次數(shù)為1），化成一個角的一個三角函數(shù)，這樣在解決問題時就可以利用正弦函數(shù)[y=Asinωx+φ]的性質(zhì)來解決，具體解題過程如下。

解：由[sinα+2cosα=3sinα+φ，] 其中[sinφ=][63，cosφ=33。] 由原式可得[sinα+φ=1。] 故[α+][φ=][π2+2kπ k∈Z，] [所以tanα=cotφ=22。]

此種方法為三角函數(shù)中解決問題的常規(guī)方法，尤其是解決三角函數(shù)相關(guān)性質(zhì)時，常常利用輔助角公式把函數(shù)化為正弦型函數(shù)，解決相應(yīng)的問題。此題中函數(shù)值恰好為函數(shù)的最大值[3，] 這里可以利用三角函數(shù)的性質(zhì)得到結(jié)果。

方法2：向量法。

分析：所謂的向量法，就是把三角函數(shù)問題利用向量這個載體來解決。向量在高中數(shù)學(xué)中有很強的應(yīng)用性，學(xué)習(xí)過它的運算公式，在已知坐標(biāo)的情況下能夠得到向量的相應(yīng)的知識點。此題就是把已知的問題看成是兩個點的坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積公式，即[a=x1，y1，b=x2，y2，a · b=x1x2+y1y2，] 把相應(yīng)的已知條件表達式表示出來。而此題中[OA=3， OB=][1，] 再由[a · b=abcosa，b，] 恰好數(shù)值上取到了最大值[3，] 是同向的特殊情況，最終把問題看成是兩個向量共線的情況。具體解題過程如下。

解：設(shè)[A2，1，Bcosα，sinα，] 所以[OA? · OB=][2cosα+sinα。] 又因為[OA ? OB=OAOBcosOA， OB=][3cosOA， OB，] 可得向量數(shù)量積[OA? · OB]的最大值為[3。] 故有[cosOA， OB=1。] 所以[OA， OB=0。] 所以向量[OA與OB同向。] 所以[cosα2=sinα1，] 即[tanα=22。]

這種方法是利用向量這個載體，利用數(shù)量積的定義及坐標(biāo)公式得到想要的最值，這個最值恰好為向量共線的情況，進而得到答案。此題也是因為數(shù)值上的特殊性選擇了這種方法，用向量法可以看出，解題方便、快捷，這也是向量法的優(yōu)點。

方法3：幾何法。

分析：幾何法就是通過建立坐標(biāo)系，把幾何的基本元素和代數(shù)的基本研究數(shù)對應(yīng)起來，利用幾何圖形的關(guān)系，把相應(yīng)的代數(shù)式表示出來，這樣方便用形的語言解決數(shù)量關(guān)系。此題中把[cosα，sinα]看成是單位圓上的一個動點，把已知條件看成是一條直線，利用直線與圓的位置關(guān)系，得到相應(yīng)的結(jié)果。具體解題過程如下。

解：在平面直角坐標(biāo)系中畫出單位圓（如下圖），設(shè)[x=cosα，y=sinα，] 所以[2cosα+sinα=3，] 可以

看成直線[2x+y=3，] 并且圓心到直線的距離[d=-33=1。] 故單位圓與直線相切。由圖可知，直線的斜率[k=tanβ=-2。] 所以[tanα=][tanβ-π2=-cotβ=22。]

利用數(shù)形結(jié)合的方法解決問題，通過直線與圓的位置關(guān)系得到想要的結(jié)果。

方法4：平方法。

分析：略。

解：將原式平方，得[sin2α+22sinαcosα+2cos2α=]3。整理、化簡，得[cos2α-22sinαcosα+2sin2α=0。]進而可以化為完全平方[cosα-2sinα2=][0，] 得到[tanα=22。]

方法5：三角函數(shù)齊次式。

分析：所謂的三角函數(shù)齊次式是指已知三角函數(shù)的正切值，所求的關(guān)于這個角的正弦和余弦的分式（或者可以化成分式型），并且次數(shù)一樣的式子。做法是除以余弦的最高次數(shù)，進而把表達式化簡成關(guān)于正切的表達式。此題是齊次式的逆運算，利用上面平方法后得到關(guān)于正切的一元二次方程，解出想要的正切值。具體解題過程如下。

解：承接上面的平方，將原式化簡得到[sin2α+][22sinαcosα+2cos2α=3。] 將上式左邊除以1，再利用同角三角函數(shù)關(guān)系式，即[1=sin2α+cos2α，]得[sin2α+22sinαcosα+2cos2αsin2α+cos2α=3。] 再將左邊的分式分子和分母同時除以[cos2α，] 得[tan2α+22tanα+2tan2α+1=]3，化簡為[2tan2α-22tanα+1=0，] 即完全平方式[2tanα-12=0，] 所以[tanα=22。]

方法6：萬能公式。

分析：萬能公式是舊教材的一個公式，這里為了方便大家理解，先推導(dǎo)萬能公式。[sin2α=2sinαcosα=][2sinαcosαsin2α+cos2α，] 分子和分母同時除以[cos2α，] 得[sin2α=][2tanα1+tan2α。] 同理，得[cos2α=cos2α-sin2α=cos2α-sin2αsin2α+cos2α=][1-tan2α1+tan2α。] 具體過程如下。

解：同樣地，先將原式進行平方、化簡，得[cos2α-22sinαcosα+2sin2α=0。]再利用降冪公式[cos2α=1+cos2α2，sin2α=1-cos2α2，cosαsinα=sin2α2，]得[1+cos2α2-2sin2α+1-cos2α=0。] 化簡為[32-2sin2α-][12cos2α=0，] 再利用萬能公式，得[32-2×2tanα1+tan2α-][12×1-tan2α1+tan2α=0，] 進一步化簡為[2tanα-12=0，] 所以[tanα=22。]

以上六種方法相對簡化，其中常規(guī)方法和后面的輔助角公式及齊次式法都是在三角函數(shù)中普遍應(yīng)用的方法，在很多問題上都是通式、通法，有很強的應(yīng)用性。而給大家展示的向量法和幾何法則是利用了與三角函數(shù)相關(guān)的知識解決，尤其是利用數(shù)形結(jié)合的思想解決，節(jié)省了很多時間，有很強的靈活性。但是，都利用此題數(shù)量上的特殊性問題來解決，雖然能夠節(jié)省時間，但還是比較特殊，筆者主要想通過這兩種方法引起學(xué)生的一些思考，起到拋磚引玉的作用，讓學(xué)生在解決類似問題上能夠簡便。

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