從教學(xué)的時(shí)效性談排列組合教學(xué)

李曉麗

【摘要】時(shí)效性是課堂教學(xué)的生命，是指通過教師在一段時(shí)間的教學(xué)之后，學(xué)生所獲得的具體進(jìn)步或發(fā)展。課堂是教師傳授知識(shí)的第一陣地，數(shù)學(xué)學(xué)科更是如此。中學(xué)“排列與組合”這部分內(nèi)容，一直是學(xué)與教的難點(diǎn)，雖然高考中所占比例不大，但試題均很靈活，得分率也比較低。無論教師還是學(xué)生，對所遇到的計(jì)數(shù)問題，大都對自己算出的結(jié)果不自信。針對這一現(xiàn)象，筆者嘗試從教學(xué)的時(shí)效性，探討學(xué)生在學(xué)習(xí)排列組合的過程中怎樣提高認(rèn)知水平、思維能力的一些個(gè)人想法同各位交流一下。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué);排列組合;計(jì)數(shù)原理;時(shí)效性;能力培養(yǎng)

一、教學(xué)時(shí)效性

時(shí)效性是課堂教學(xué)的生命，如何提高數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的時(shí)效性？這是當(dāng)前數(shù)學(xué)課教學(xué)的一個(gè)重要課題。時(shí)效性的核心問題就是教學(xué)的效益。主要是指通過教師在一段時(shí)間的教學(xué)之后，學(xué)生所獲得的具體進(jìn)步或發(fā)展。學(xué)生有無進(jìn)步或發(fā)展是教學(xué)有無效益的唯一指標(biāo)。教學(xué)有沒有時(shí)效，并不是指教師有沒有教完內(nèi)容或教得認(rèn)真不認(rèn)真，而是指學(xué)生有沒有真正學(xué)到知識(shí)。如果學(xué)生不想學(xué)或?qū)W了沒有收獲，即使教師教得辛苦也是無效教學(xué)。同樣，如果學(xué)生學(xué)得很辛苦，但沒有得到應(yīng)有的發(fā)展，也是無效或低效教學(xué)。課堂是教師傳授知識(shí)的第一陣地，數(shù)學(xué)學(xué)科更是如此。筆者作為一名教師，想談?wù)勗诟咧信帕薪M合教學(xué)中怎樣提高數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的時(shí)效性。

二、高中排列組合教學(xué)時(shí)效性低，學(xué)生錯(cuò)誤率高

（一）對分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理的理解水平不夠

分類計(jì)數(shù)和分步計(jì)數(shù)是排列組合最基礎(chǔ)的原理，學(xué)生普遍認(rèn)為簡單，個(gè)別題目偏難，是因?yàn)閷W(xué)生的分類方法不恰當(dāng)或分步有偏差。

例1? ?把1、2、3這三個(gè)數(shù)字填到下面的九宮格內(nèi)（如圖1），要求同一行，同一列中數(shù)字互不相同，問有多少種不同填法？

解析：不妨先填第一行，有A3=6種;從這6種里任選一種固定，比如依次填上1、2、3，對這一種填法，不難發(fā)現(xiàn)下面兩行只有2種法填，所以共有A3·2=12（種），學(xué)生對此種問題處理時(shí)主要困難是不會(huì)“固定”。

（二）對排列（數(shù)）與組合（數(shù)）的定義的理解模糊

例2? 4個(gè)人，平均分成2組，有幾種不同的方法？許多學(xué)生回答為C4=6（種），原因是他們認(rèn)為分組就是組合，把組合理解成一個(gè)過程，甚至“組合”的詞性也發(fā)生了變化，由名詞變成了動(dòng)詞。對這一點(diǎn)，我更贊成國外一些教科書中對組合的定義：“有限集合叫做組合”。

例如筆者在給高三學(xué)生上復(fù)習(xí)課時(shí)給出以下問題：現(xiàn)有6種不同的蔬菜種子，從中選出4種種到4塊不同的地上，每塊地只限種一種種子，問有多少種不同種法，大多數(shù)學(xué)生回答是：C6·A4，只有個(gè)別人回答是：A6 ，盡管答案都對，顯然回答出前面的答案的學(xué)生是受到先組后排的解題經(jīng)驗(yàn)的影響，從而也從另一側(cè)面反映出很多學(xué)生對排列數(shù)A6的含義并不理解。

對An的解釋是：從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)不同的元素占據(jù)m個(gè)不同的位置，每個(gè)元素一個(gè)位置，有An種方法.

例3? 5個(gè)相同的球放到3個(gè)不同的盒子，每盒至少一個(gè)，有多少種放法？

錯(cuò)誤解答：C5C4C3A2A3+C5C4C2A2A3=150（種），錯(cuò)誤的原因是沒注意元素為相同的，組合數(shù)已沒有意義了。正確解答：C4=6 （種）（隔板法）。

三、高中排列組合教學(xué)時(shí)效性低的原因分析

學(xué)生之所以在這些看似“簡單”的問題上總是錯(cuò)誤不斷，即便老師講解多次后仍然屢教不改，究其原因是學(xué)生在解題時(shí)，不會(huì)分析題目中的關(guān)鍵詞語：如元素是否相同？位置（容器）是否相同？元素是否可重復(fù)？屬于哪種組合模式？選擇、分割還是分配？所以我在排列組合應(yīng)用題教學(xué)中，不急于教給學(xué)生解各類問題的方法，可先讓學(xué)生廣開思路，從不同角度分析問題，再把學(xué)生的解題方法匯集起來，然后讓大家討論，哪種方法巧妙，哪種方法帶有一般性，是常用方法。頗有收效，下面我重點(diǎn)就兩個(gè)方面談點(diǎn)體會(huì)。

四、解決高中排列組合教學(xué)時(shí)效性低的對策

（一）占位子問題可以讓學(xué)生設(shè)身處地的實(shí)踐

例4? 將編號為1、2、3、4、5的五個(gè)小球分別放入編號為1、2、3、4、5的五個(gè)盒子中，要求兩個(gè)球與其所在的盒子編號相同，問有多少種不同的放法？

為了讓學(xué)生參與進(jìn)來，我將五個(gè)學(xué)生看作五個(gè)小球，五把編號不同的椅子看作五個(gè)盒子，再找了一個(gè)“排座位者”來安排這五個(gè)同學(xué)入座。全班同學(xué)都在努力的“出謀劃策”，很快大家就找到解決問題的方法。先任選兩位同學(xué)坐在與其編號相同的椅子上，剩下的三位同學(xué)只有2種坐法。所以不同的放法有C5·2=20種。

這種讓學(xué)生“身臨其境”的方法能調(diào)動(dòng)學(xué)生的主觀能動(dòng)性，在完成課堂教學(xué)任務(wù)的同時(shí)，提高了課堂的時(shí)效性。

（二）對組合模型的識(shí)別可以讓課堂教學(xué)事半功倍

簡單的組合結(jié)構(gòu)分成三種模型：即選擇模型、分配模型和分割模型，比較多的老師在講解排列組合問題時(shí)，往往回避最基本的模型。在面對不同的問題時(shí)，不同的老師分類方法不盡相同，甚至某個(gè)老師在不同時(shí)間講解某一個(gè)問題時(shí)，方法也不同。這就會(huì)導(dǎo)致學(xué)生思維的混亂，在學(xué)生做題時(shí)很難找到匹配的模式，就是學(xué)生學(xué)習(xí)排列組合應(yīng)用題難的原因之一。

按三個(gè)模型的定義，元素“同”與“不同”，又是兩種本質(zhì)不同的問題;把三種模式組合，又得到綜合類型的問題，例如：選擇——分配模式、分割——分配模式。

按照此種分類方法，學(xué)生對學(xué)習(xí)排列組合應(yīng)用題思路比較清晰，筆者按這種分類方法施教的過程中，學(xué)生學(xué)得比較輕松。中學(xué)里的許多經(jīng)典題目就變?yōu)檫@些模型的實(shí)例：

例 5本不同的書，按下列條件，各有多少種分法？

（1）分給甲1本，乙3本;（分割——分配模式）

（2）分成二堆，一堆1本、一堆3本;（分割模式）

（3）分給甲、乙兩人，一人1本、一人3本;（分割——分配模式）

顯然，這種問題分類方法簡單、清晰、易教、易懂?？梢詳[脫教科書中那個(gè)晦澀的定義的干擾，讓學(xué)生理解更清晰，當(dāng)再次遇到這類問題時(shí)解題思路不會(huì)受阻。在課堂上，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、猜測、實(shí)驗(yàn)等手段，讓學(xué)生主動(dòng)探討問題，不僅有利于教師引導(dǎo)，而且也有助于學(xué)生形成較高層次的認(rèn)知，提高邏輯思維能力，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，從而提高我們老師的教學(xué)時(shí)效性。

【參考文獻(xiàn)】

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[5]? 歐陽絳.思維的技巧.北京：當(dāng)代中國出版社，2002

（責(zé)任編輯：王增海）