賞析如出一轍的五道高考圓過定點(diǎn)題

武增明

(云南省玉溪第一中學(xué) 653100)

試題1(2008年高考江蘇卷文科數(shù)學(xué)理科數(shù)學(xué)第18題)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)二次函數(shù)f(x)=x2+2x+b(x∈R)的圖象與兩個(gè)坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn)，經(jīng)過這三點(diǎn)的圓記為C.

(1)求實(shí)數(shù)b的取值范圍；

(2)求圓C的方程；

(3)問圓C是否經(jīng)過定點(diǎn)(其坐標(biāo)與b無關(guān))？請(qǐng)證明你的結(jié)論.

(1)求線段P1P2的中點(diǎn)P的軌跡E的方程；

(2)設(shè)軌跡E與x軸交于B，D兩點(diǎn)，在E上任取一點(diǎn)Q(x1，y1)(y1≠0)，直線QB，QD分別交y軸于M，N兩點(diǎn).

求證：以MN為直徑的圓過兩定點(diǎn).

時(shí)隔僅一年，試題2竟然與試題1如出一轍.

(1)求E的方程；

(2)試判斷以線段MN為直徑的圓是否過點(diǎn)F，并說明理由.

時(shí)隔僅一年，試題3竟然與試題2如出一轍.

(1)求橢圓E的方程；

(2)設(shè)動(dòng)直線l：y=kx+m與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P，且與直線x=4相交于點(diǎn)Q.試探究：在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)M，使得以PQ為直徑的圓恒過點(diǎn)M？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

時(shí)隔僅二年，試題4竟然與試題3如出一轍.

試題5(2019年高考北京卷理科數(shù)學(xué)第18題)已知拋物線C：x2=-2py經(jīng)過點(diǎn)(2，-1).

(1)求拋物線C的方程及其準(zhǔn)線方程；

(2)設(shè)O為原點(diǎn)，過拋物線C的焦點(diǎn)作斜率不為0的直線l交拋物線C于兩點(diǎn)M，N，直線y=-1分別交直線OM，ON于點(diǎn)A和點(diǎn)B.求證：以AB為直徑的圓經(jīng)過y軸上的兩個(gè)定點(diǎn).

時(shí)隔七年，試題5竟然與試題4如出一轍.

試題1賞析(1)顯然b≠0.否則，二次函數(shù)f(x)=x2+2x+b的圖象與兩個(gè)坐標(biāo)軸只有兩個(gè)交點(diǎn)(0，0)，(-2，0)，這與題設(shè)不符.

由b≠0知，二次函數(shù)f(x)=x2+2x+b的圖象與y軸有一個(gè)非原點(diǎn)的交點(diǎn)(0，b)，故它與x軸必有兩個(gè)交點(diǎn)，從而方程x2+2x+b=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，因此方程的判別式4-4b>0，即b<1.

所以b的取值范圍是(-∞，0)∪(0，1).

所以圓C的方程為x2+y2+2x-(b+1)y+b=0.

(3)圓C過定點(diǎn).證明如下：

經(jīng)檢驗(yàn)知，點(diǎn)(0，1)，(-2，1)均在圓C上.

因此圓C過定點(diǎn).

(3-k2)x2+4k2x-(4k2+3)=0.

由題意知，3-k2≠0且Δ>0.

設(shè)B(x1，y1)，C(x2，y2)，

y1y2=k2(x1-2)(x2-2)

=k2[x1x2-2(x1+x2)+4]

因?yàn)閤1，x2≠-1，

故以線段MN為直徑的圓過點(diǎn)F.

試題4賞析(1)略.

(2)存在，且點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1，0).

(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0.

因?yàn)橹本€l與橢圓E相切，所以Δ=64k2m2-16(4k2+3)(m2-3)=0，即4k2+3=m2.

所以MP⊥MQ，點(diǎn)M在以PQ為直徑的圓上.

故存在定點(diǎn)M(1，0)，使得以PQ為直徑的圓恒過點(diǎn)M.

解法2由對(duì)稱性知，若存在定點(diǎn)M，則M必在x軸上.

(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0.

因?yàn)橹本€l與橢圓E相切，所以Δ=64k2m2-16(4k2+3)(m2-3)=0，即4k2+3=m2.

設(shè)N(x，y)為以PQ為直徑的圓上任意一點(diǎn)，則

故存在定點(diǎn)M(1，0)，使得以PQ為直徑的圓恒過點(diǎn)M.

解法3假設(shè)存在M(u，v)使得以PQ為直徑的圓恒過點(diǎn)M.

(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0.

因?yàn)橹本€l與橢圓E相切，所以Δ=64k2m2-16(4k2+3)(m2-3)=0，即4k2+3=m2.

當(dāng)且僅當(dāng)PM·QM=0恒成立時(shí)，以PQ為直徑的圓恒過點(diǎn)M.

故存在定點(diǎn)M(1，0)，使得以PQ為直徑的圓恒過點(diǎn)M.

試題5賞析(1)由拋物線C：x2=-2py經(jīng)過點(diǎn)(2，-1)，得p=2.所以拋物線C的方程為x2=-4y，其準(zhǔn)線方程為y=1.

(2)拋物線C的焦點(diǎn)為F(0，-1).

設(shè)直線l的方程為y=kx-1(k≠0).

設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則x1x2=-4.

即-4+(n+1)2=0，得n=1或n=-3.

綜上，以AB為直徑的圓經(jīng)過y軸上的定點(diǎn)(0，1)和(0，-3).

上述試題1的第(3)問及試題2、試題3、試題4、試題5的第(2)問都是解析幾何中的動(dòng)圓恒過定點(diǎn)問題，從上述賞析過程中，我們可以看到，已經(jīng)為我們?nèi)绾谓鉀Q解析幾何中的動(dòng)圓恒過定點(diǎn)問題指出了求解思路.其主要解答思路是，抓住直徑所對(duì)的圓周角是直角，進(jìn)而抓住兩條線段垂直，進(jìn)一步得這兩條線段對(duì)應(yīng)的向量的數(shù)量積為零，于是把問題轉(zhuǎn)化為恒等式問題，這時(shí)的解答思路與判斷動(dòng)直線是否恒過定點(diǎn)一樣，湊定值獲解.試題1的第(3)問及試題2、試題3、試題4、試題5的第(2)問求解過程中都使用了兩個(gè)非零向量垂直的定義.與上述試題1、試題2、試題3、試題4、試題5如出一轍的還有以下試題6，讀者不妨自己試一試.

證明：以線段M1M2為直徑的圓必經(jīng)過定點(diǎn).

證明略.