器、術、道：再談課堂教學目標 ①

胡云飛

(江蘇省溧陽市教師發(fā)展中心 213300)

1 從一道高考題說起

圖1-1

圖1-2

圖1-3

這是填空題的壓軸題.此題的解決，需要學生在“直觀想象”素養(yǎng)的引領下，借助“基本活動經驗”，抽象出基本模型(如圖1-2)，確定“尋找小圓圓心”的解題思路：過點D1作平面BCC1B1的垂線，垂足就是所要尋找的小圓的圓心.這其實是一個面面垂直背景下的計算問題(如圖1-3).

當前的課堂教學，教學目標低位是一個普遍存在的突出問題.教師的關注點是知識和技能，通過反復的訓練來提高學生的解題能力.高考考查的不僅僅是知識和技能，而是“知識、能力和素養(yǎng)”的綜合.解決立體幾何問題的關鍵并不是“平行、垂直的判定與性質”這些知識，而是“空間想象能力”.立體幾何的教學，不能僅僅是“平行、垂直的判定與性質”這些知識的掌握，更重要的是培養(yǎng)學生的空間想象能力，提升直觀想象核心素養(yǎng)，幫助學生形成空間觀念，這才是立體幾何教學的高位目標.

問題出在考試，根子卻在課堂.只注重傳授知識的課堂，學生難有好的能力和素養(yǎng)發(fā)展.新的高考評價下，確立高位的課堂教學目標愈發(fā)重要.

2 追求高位的課堂教學目標

《中國高考評價體系》提出的“核心價值、學科素養(yǎng)、關鍵能力、必備知識”四層考查內容，具有內在的邏輯關系，是不可分割的整體.確定課堂教學目標和組織課堂教學時，既要重視知識的理解，也要重視方法的掌握，更要注重解決問題所蘊含的思想觀念的滲透和形成，這是“四層”考查內容在課堂教學目標中具體體現(xiàn).

“工欲善其事必先利其器”，知識是“器”；“臣有百勝之術”，方法是“術”；“道生一，一生二，二生三，三生萬物”，思想是“道”.課堂教學要教“器”，教“術”，更要教“道”.

2.1 高位的課堂教學目標是“器、術、道”的融合

2.1.1 課堂教學要注重“器”的深刻理解

例12020年新高考Ⅰ卷第7題：

A．(-2,6) B．(-6,2)

C．(-2,4) D．(-4,6)

例1圖

例2圖

不少學生通過建立直角坐標系來解決本題，這不是最好的解題方法，這是對向量的數(shù)量積這個“器”理解不夠的表現(xiàn).如果理解了向量的數(shù)量積，能用“投影”來解決就快捷多了.有的教材對“投影”不作介紹，有教師有疑慮：“投影”要教嗎？投影要教，無論是基于向量運算知識體系的完備性還是特殊化處理的方法的重要性，都應該把“投影”納入向量的數(shù)量積的運算中去，“投影”是向量的數(shù)量積的內涵理解.這是知識內涵的理解，是“器”的深刻理解.

例22020年江蘇卷第13題：

這是填空題的倒數(shù)第二題，一道重要的區(qū)分題.如果學生掌握了“等和線”的知識，此題可以快速地得到PD=6，從而得到AD=3，這樣問題就轉化成熟悉的解三角形問題了.教材上并沒有等和線，等和線要教嗎？要教，“等和線”不是突然而來的新知識，不過是向量共線定理與“三點共線”的三角形向量表達式的應用而已.

課堂教學要注重“器”的深刻理解.

2.1.2 課堂教學要注重“術”的真實掌握

例32020年全國高考Ⅲ卷(理科)第17題：

設數(shù)列{an}滿足a1=3，an+1=3an-4n．

(1)計算a2，a3，猜想{an}的通項公式并加以證明；

(2)求數(shù)列{2nan}的前n項和Sn.

此題第(1)題是構造等比數(shù)列來解決問題，第(2)題是采取“錯位相減法”來解決問題，這些方法都是重要的解題方法，不能僅僅依靠題型訓練，應該在新授課中獲得，再在訓練中得以強化.比如“錯位相減法”，是從“等比數(shù)列的前n項和”的教學中獲得.在教學時，要充分展開等比數(shù)列的前n項和的求和公式的推導過程，讓學生積極思考主動參與，不能為了課堂的“順利”就采取“告之”的教學方式，這樣的教學方式不真實，不利于學生掌握“錯位相減法”.因此，“等比數(shù)列的前n項和”這一節(jié)課的教學目標，絕非僅僅是公式的熟練運用，而應該是公式推導過程中的方法理解，以及領悟支撐這種方法的轉化思想：化無限為有限.這與等差數(shù)列的求和思想，以及其他一些特殊數(shù)列的求和思想是一脈相承的.

例4全國高考Ⅲ卷(文科)第21題：

(1)求C的方程；

(2)若點P在C上，點Q在直線x=6上，且|BP|=|BQ|，BP⊥BQ，求△APQ的面積.

第(2)題，對條件|BP|=|BQ|的處理，如果能用斜率和橫坐標來表示線段長，就可以減少運算量.

設直線BP的斜率為k，

得到點P和點Q的坐標，求出面積就不困難了.

對于兩點之間的距離，轉化成橫向距離或縱向距離來求解是重要的解決問題的方法，對簡化運算意義重大.這一種“化斜為直”的方法來自于教材中推導點到直線的距離公式，因此，“點到直線的距離”這一節(jié)課的教學目標就不僅僅是距離公式這一顯性知識，應該把這種“化斜為直”的方法作為重要的課堂教學目標.

課堂教學要注重“術”的真實掌握.

2.1.3 課堂教學要注重“道”的感悟生成

例5新高考Ⅰ卷第22題：

(1)求C的方程；

(2)點M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D為垂足. 證明：存在定點Q，使得|DQ|為定值.

為方便敘述，先把(2)簡解如下：

設直線MN的方程為y=kx+t，

點M(x1，y1)，N(x2，y2)，

(1+2k2)x2+4ktx+2t2-6=0.

由條件AM⊥AN可得

x1x2-2(x1+x2)+y1y2-(y1+y2)+5

=0，

得(2k+3t+1)(2k+t-1)=0，

得2k+3t+1=0或2k+t-1=0，

得直線MN的方程為

直線MN斜率不存在等細節(jié)情況不再敘述.

此題是試卷的最后一題，屬于難題.用代數(shù)方法解決幾何問題是解析幾何的精髓，而“方程的思想”是根本.無論設哪條直線(事實上，本題設直線AM或AN的斜率也是可以解決的)哪個點，都是可以解決問題的，不用擔心參數(shù)多，重點是利用題目條件建立方程，關鍵是合理消元.解析幾何的難還在于運算，往往思路很簡單，運算卻很復雜，簡化運算就十分重要.“數(shù)形結合”是解析幾何重要的數(shù)學思想，“解析”是方法，“幾何”是對象，運用幾何性質是重要的簡化運算的策略.點D是動點，|DQ|為定值，則點D的運動軌跡是以定點Q為圓心的圓，又因為AD⊥MN，那么直線MN必然要過定點.這樣從幾何角度去思考，問題就轉化成了判斷直線MN過定點的問題了，這是“代數(shù)方法解決幾何問題”不難解決的：雙參數(shù)設直線MN的方程，利用AM⊥AN的關系消元，把雙參數(shù)轉化成單個參數(shù)，定點問題自然不難了.

運算能力是解析幾何考查的重要能力，運算能力不是“死算能力”，很大程度上是一種思維能力，提高運算能力的著力點應該體現(xiàn)在“算理”上：理解運算對象，掌握運算法則，探究運算思路，選擇運算方法，設計運算程序，求得運算結果[1].直觀想象、數(shù)學運算是解析幾何重點提升的素養(yǎng)，在解析幾何的教學中，要突出方程的思想和數(shù)形結合的思想，這是解析幾何的“道”，是解析幾何教學的重要目標.

課堂教學要注重“道”的感悟生成.

2.2 課堂教學案例

課堂教學要有高位的教學目標，要有知識之“器”、方法之“術”和思想之“道”，切實關注“四基四能”.

下面以“函數(shù)的單調性”為課例具體說明.

問題1-1這是我市某一天24小時的氣溫變化圖，你能描述這一天內氣溫變化情況嗎？

學生1：從0點到4點氣溫下降，從4點到14點氣溫上升，從14點到24點氣溫下降.

問題1-2怎樣用數(shù)學語言刻畫“隨著時間的增加氣溫逐漸升高”？

(給學生思考和交流的時間，教師巡視了解情況)

發(fā)現(xiàn)學生有困難，教師開始“搭梯子”：

函數(shù)y=-2x+2與y=x2+2x-3(在發(fā)現(xiàn)學生解決問題1-2有困難的時候在黑板上畫了這兩個函數(shù)的草圖)是我們初中學習的兩種常見函數(shù)，它們也呈現(xiàn)這樣的上升下降的趨勢：函數(shù)y=-2x+2的圖象從左往右逐漸下降，函數(shù)y=x2+2x-3的圖象在對稱軸左側從左往右是逐漸下降的，右側圖象是逐漸上升的.初中是怎樣描述這種性質的？

學生2：函數(shù)值隨自變量的增大而減小，函數(shù)值隨自變量的增大而增大.

追問1：如何用符號來刻畫“函數(shù)值隨自變量的增大而增大”呢？

(給學生思考和交流的時間，教師巡視，參與學生間的交流，一定時間后組織全班交流)

學生3：函數(shù)圖象是點構成的，用點的坐標來刻畫：

點A(x1，y1)，B(x2，y2)，當x1

(教師在黑板上寫下兩點的坐標及式子，以備形成規(guī)范的單調性定義)

追問2：你是否同意他的觀點？有沒有要補充的？

部分學生點頭表示同意，提不出異議，又流露出疑慮，教師再“搭梯子”：

我們還是來看氣溫函數(shù)圖象，取點A為t=6時的對應點，點B為t=18時的對應點，顯然滿足“x1

學生：不能，中間還有下降部分.

教師：看來用圖象上的兩個點來刻畫“函數(shù)值隨自變量的增大而增大”不行，那怎么辦呢？

學生：要無數(shù)個點都滿足這種情況.

教師：無數(shù)個點嗎？

有少許學生搖頭，教師讓學生代表講述.

學生4：應該是這一段上所有的點.

教師：同意嗎？

學生：同意.

教師：那怎么表達“所有的”呢？

學生思考，小聲交流，有學生喊出了“任意的”，教師讓這個學生具體說.

學生5：還是用兩個點，不過這兩個點應該是動點，任意的兩個點，可以表示所有的點.

教師：你具體說一下.

學生5：圖象上的任意兩個點A(x1，y1)，B(x2，y2)，當x1

教師在黑板上之前寫的基礎上加上“任意兩個點”.

教師：同意嗎？

學生：同意.

教師：很好，用“任意的”兩個點可以表示所有的點，這樣就可以表示“函數(shù)值隨著自變量的增加而增加”，那么，怎樣表示“函數(shù)值隨自變量的增加而減小”呢？

學生6：當x1y2.

教師：很好，這樣我們就可以用數(shù)學語言來刻畫函數(shù)圖象的“上升”或“下降”了.但是，不是所有的函數(shù)圖象都是上升，可能會在某一段上上升，在某一段上下降，這個怎么表達呢？

學生：加一個區(qū)間.

教師：誰來具體說說？

學生7：圖象上的任意兩個點A(x1，y1)，B(x2，y2)在區(qū)間I上，當x1

教師：我怎么覺得有點別扭呢，區(qū)間上的應該是數(shù)，不是點吧？

學生7：……確實是的，但我不知道怎么改.

學生8：因為要用區(qū)間來定范圍，我覺得不能用點了，用自變量和函數(shù)值可以表達.任意兩個x1，x2∈I，當x1y2，則函數(shù)圖象是下降.

教師：可以嗎？

學生認可了.

教師：很好，象這種上升的，我們稱為單調增函數(shù)，這個區(qū)間I稱為單調增區(qū)間(邊講邊完善之前的板書)，這種下降的呢？

學生：單調減函數(shù)，單調減區(qū)間.

教師完善黑板上的板書，形成規(guī)范的定義.

教師：好了，我們來小結一下(通過投影展示如下表格從數(shù)與形兩個方面理解單調性).

在區(qū)間I內在區(qū)間I內圖象圖象特征從左至右圖象上升從左至右圖象下降數(shù)量特征函數(shù)值隨自變量的增大而增大,當x1f(x2)

問題2畫出下列函數(shù)圖象，并寫出單調區(qū)間：

處理：投影展示，學生試解，教師巡視了解情況，一定時間后展示學生解答并組織交流，教師追問學生解題依據并規(guī)范解題過程的書寫，解題完成后進行題后小結，強化定義.此題的功能是讓學生從“形”的角度理解單調性.

處理：方式同上，用定義來進行代數(shù)證明有一定的困難，教師作了引導.

此題的功能是讓學生從“數(shù)”的角度理解單調性，與上一題形成從“數(shù)”和“形”兩個方面來理解單調性.處理過程中要引導學生從圖象直觀觀察、定義嚴格證明兩個方面理解單調性，體會符號語言的重要意義，提高數(shù)學表達的能力和意識，培養(yǎng)理性思維的習慣.

問題4通過本節(jié)課的學習，你對函數(shù)又多了哪些認識？

這是課堂小結，學生能小結到“單調性定義”的知識，也能小結到“數(shù)形結合”的思想，教師在學生回答的基礎上從知識、方法和思想層面進行提煉強調，突顯數(shù)學的理性思維.課堂結束.

“函數(shù)的單調性”是“函數(shù)概念與性質”這一章的重要內容，從“圖象升降的直觀表現(xiàn)”和“函數(shù)值隨自變量的增大而增大(減小)的自然語言”到“用數(shù)學符號表達出函數(shù)的單調性”，這既是思維方式的飛躍，也是語言表達的創(chuàng)新.教師要引導學生從幾何直觀發(fā)現(xiàn)函數(shù)的性質走向從代數(shù)角度來研究函數(shù)的性質.從形和數(shù)兩個方面來理解單調性，是本節(jié)課的知識目標；掌握“觀察、比較、歸納、抽象”等研究函數(shù)的一般科學方法，是本節(jié)課的方法目標；感悟數(shù)形結合、體會符號化和形式化、培養(yǎng)理性思維，是本節(jié)課的思想目標.“提升學生的數(shù)學素養(yǎng)，引導學生會用數(shù)學眼光觀察世界，會用數(shù)學思維思考世界，會用數(shù)學語言表達世界”[1]是本節(jié)課應該關注的“道”.

高品位的課堂教學需要高位的教學目標：注重“器”的理解，注重“術”的掌握，注重“道”的生成.

3 結束語

課堂教學的設計與開展，關鍵是教學目標的設定和教學過程的實施，也就是“教什么”和“怎么教”的問題.[2]其中，教學目標是第一要素，決定著課堂教學的價值追求，在以“立德樹人”為育人目標和“核心素養(yǎng)”為課程目標的課程改革新時代尤為重要.高位的課堂教學目標要基于課程目標和單元目標，在理解教學內容的基礎上，既關注知識方法，又關注思想觀念，構建“器、術、道”融合的高品位的課堂教學，著力提升學生的關鍵能力，促進學生學科素養(yǎng)的發(fā)展.