數(shù)學(xué)證明，在小學(xué)課堂真實(shí)發(fā)生

黃雅娓

課前思考：

“三角形的內(nèi)角和是 180°”，許多學(xué)生在課前都已經(jīng)知道，但學(xué)生們只是停留 在“知道”這一層面。至于為什么內(nèi)角和是180°，是怎么證明出來(lái)的，就不知其所以然了。而這節(jié)課采用的一般教學(xué)方法是先不外乎“量”、“拼”等實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，這屬于不完全歸納法，課上研究的個(gè)例有限。法國(guó)著名數(shù)學(xué)家帕斯卡所提出的證明方法，從演繹證明的角度來(lái)推導(dǎo)三角形內(nèi)角和，是很好的完全歸納。帕斯卡是這樣證明的：長(zhǎng)方形的四個(gè)角都是直角，四個(gè)角的和是360°;當(dāng)長(zhǎng)方形沿對(duì)角線一分為二后，就變成兩個(gè)直角三角形，每個(gè)直角三角形的內(nèi)角和就是360°÷2=l80°;任何一個(gè)銳角三角形或鈍角三角形都可以沿高分為兩個(gè)直角三角形，兩個(gè)直角三角形的內(nèi)角總和為180°+180°=360°，其中有兩個(gè)直角（這兩個(gè)不屬于三角形內(nèi)角）拼在一起成了一條直線，所以銳角三角形一個(gè)內(nèi)角的和是360°-90°×2=180°;帕斯卡的證明過(guò)程中利用到了內(nèi)角的變化，所以內(nèi)角的概念是非常關(guān)鍵的。那么這節(jié)課能否拋開傳統(tǒng)的“量、拼”等不完全歸納的方法，從數(shù)學(xué)演繹證明的角度“分割——轉(zhuǎn)化——求證”，上成一節(jié)完全歸納的數(shù)學(xué)證明課呢？。

學(xué)習(xí)活動(dòng)：

活動(dòng)一：內(nèi)角，變，變，變

師：這是一個(gè)三角形。誰(shuí)來(lái)介紹一下你認(rèn)識(shí)的三角形？

引出內(nèi)角：剛才你們說(shuō)的三角形有三個(gè)角，這三個(gè)角就是三角形的內(nèi)角。這節(jié)課我們就重點(diǎn)來(lái)研究?jī)?nèi)角的變化。

師：觀察談?wù)摚嚎纯?，?，角2，角3發(fā)生了什么變化。（用幾何畫板拉動(dòng)三個(gè)內(nèi)角）

師：觀察四次變化的結(jié)果，你發(fā)現(xiàn)了什么？

生1：三角形的三個(gè)內(nèi)角在拉動(dòng)中，有內(nèi)角變大，就會(huì)內(nèi)角變小。

生2：無(wú)論怎么變，三個(gè)角的內(nèi)角和是不變的，都是180°。

活動(dòng)二：探究直角三角形內(nèi)角和

師：三角形內(nèi)角和是180°，你是怎么知道的？

學(xué)生起點(diǎn)：（1）書上看到或聽說(shuō)?（2）量出來(lái)?（3）三個(gè)內(nèi)角拼成平角

（方法2和方法3不是這節(jié)要研究的主要方法，不作為主講方法。）

（4）長(zhǎng)（正）方形四個(gè)角都是直角，就是4個(gè)90°，對(duì)半切一半就是180°。

師：所有直角三角形的內(nèi)角和都可以用這樣的方法（4）來(lái)驗(yàn)證么？怎么證明？

生：所有的長(zhǎng)方形都可以沿著對(duì)角線分割成兩個(gè)完全一樣的直角三角形。

小結(jié)：剛才我們運(yùn)用了轉(zhuǎn)化思想，把長(zhǎng)方形分割成兩個(gè)直角三角形，從而求證出直角三角形的內(nèi)角和，看來(lái)“轉(zhuǎn)化——求證”這是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)好方法。

活動(dòng)三：練習(xí)與拓展

練習(xí)一：基礎(chǔ)練習(xí)，你能求出三角形第三個(gè)角么？（略）

練習(xí)二：你能算出四邊形的內(nèi)角和么？把你的想法畫一畫，算一算。

練習(xí)三：如果給你五邊形、六邊形，你打算怎樣求它們的內(nèi)角和？用這樣的證明方法你還能求什么圖形的內(nèi)角和呢？

預(yù)設(shè)學(xué)生思路：

總結(jié)：課前還有同學(xué)提出三角形內(nèi)角和可以用度量角或者把三個(gè)內(nèi)角拼成一個(gè)平角的方法，感興趣的同學(xué)可以回家試試，看看不一樣的思路又是怎么研究三角形的內(nèi)角和的！

課后反思

本堂課的教學(xué)設(shè)計(jì)，很明顯有兩個(gè)“變”和一個(gè)“不變”。

一、變：從“實(shí)驗(yàn)證明”到“數(shù)學(xué)證明”

本課最突出變化是課堂上沒(méi)有用傳統(tǒng)研究方法“量”和“拼”，“ 量”容易有誤差，“拼”破壞了原有三角形的完整性，這兩種方法都屬于實(shí)驗(yàn)證明。而本課采用了法國(guó)著名的大數(shù)學(xué)家帕斯卡數(shù)學(xué)證明的方式來(lái)研究三角形內(nèi)角和。有些老師可能為認(rèn)為這種推理證明的方法太難，不大適合小學(xué)生，然而事實(shí)上學(xué)生們是有這方面的準(zhǔn)備的，在長(zhǎng)方形和直角三角形中已經(jīng)積累了一定的嚴(yán)格證明的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。針對(duì)本節(jié)課知識(shí)層面不難的情況下來(lái)經(jīng)歷一場(chǎng)數(shù)學(xué)證明的頭腦風(fēng)暴，感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性與邏輯性，給學(xué)生更加嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)素養(yǎng)熏陶，不外乎是一次很好地機(jī)會(huì)。而內(nèi)角概念的建立成了本課的研究起點(diǎn)。在三角形的角拉動(dòng)的過(guò)程中，感知一個(gè)內(nèi)角變大（小），另兩個(gè)內(nèi)角就會(huì)變小（大）。但是無(wú)論怎么變，三角形的內(nèi)角和是不變的。整個(gè)證明過(guò)程，我們從特殊三角形（直角）入手，這是最接近學(xué)生知識(shí)本源的地方，慢慢扶著，一步一步，學(xué)生在經(jīng)歷數(shù)學(xué)證明的過(guò)程中，感受數(shù)學(xué)本身真正的魅力，并為后續(xù)的普通三角形的證明打下基礎(chǔ)。

二、變：從“不完全歸納”到“完全歸納”

“量”“拼”等實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證的方法都是對(duì)個(gè)例進(jìn)行研究，一堂課所能研究的個(gè)例畢竟有限，嚴(yán)格意義上來(lái)說(shuō)，這時(shí)候得到的，還只是一種規(guī)律、一種猜想，還需要經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)的嚴(yán)格證明，或者大量的實(shí)驗(yàn)論證然后才能運(yùn)用，這就是“不完全歸納”，而小學(xué)階段大部分的探索研究都屬于“不完全歸納”。而本課的教學(xué)設(shè)計(jì)，從特殊三角形（直角）入手，先研究了所有的長(zhǎng)方形都能分割成兩個(gè)直角三角形，從而得出所有其內(nèi)角和，緊接著運(yùn)用本結(jié)論來(lái)求證銳角和鈍角三角形的內(nèi)角和。所有的銳角或鈍角三角形都能分割成兩個(gè)直角三角形，得出這兩種三角形的內(nèi)角和。又因?yàn)槿切伟唇欠诸悓儆谕耆诸?，從而得出所有的三角形的?nèi)角和，這就是一個(gè)完美的“完全歸納”的過(guò)程，開闊了學(xué)生的眼界，再一次體驗(yàn)到數(shù)學(xué)求證的嚴(yán)謹(jǐn)美！

三、“不變”： “轉(zhuǎn)化——求證” 一路相隨

整個(gè)課堂，無(wú)論是教學(xué)直角三角形內(nèi)角和，還是獨(dú)立研究銳角、鈍角三角形，又或者是后面的放手拓展四邊形形內(nèi)角和，更或者是五邊形、六邊形……我們可以感受的是里面所蘊(yùn)含的最本質(zhì)的數(shù)學(xué)思考方法是不變的，那就是“轉(zhuǎn)化——求證”，這條暗線一直貫穿整堂課。數(shù)學(xué)證明過(guò)程是有思維含量的，但是學(xué)生們是有“法”可依，有章可循，并能發(fā)現(xiàn)用這一方法可以解決所有多邊形內(nèi)角和。在這一過(guò)程中，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維得到真正的一次歷練，空間觀念和轉(zhuǎn)化思想得到大幅提升。

完全歸納的數(shù)學(xué)證明課在小學(xué)課堂上是少之又少，因?yàn)檫@不僅需要教師的自身數(shù)學(xué)素養(yǎng)，也需要學(xué)生具有一定的數(shù)學(xué)求證思維和空間觀念，而這不是一蹴而就的，正需要我們珍惜每一次機(jī)會(huì)，為學(xué)生慢慢鋪好求證道路。