基于GAN場景生成的多目標投資組合研究

王 博， 郭書東， 傅安瑞

(南京大學(xué) 工程管理學(xué)院， 江蘇 南京 210093)

一、引 言

投資組合問題一直以來都是金融界關(guān)注的焦點，其主要研究如何將資本分配到一系列證券上，從而實現(xiàn)高收益并降低風(fēng)險。例如：在收益率一定的情況下，如何將投資風(fēng)險最小化，或是在可承受的風(fēng)險范圍內(nèi)，如何實現(xiàn)收益最大化。然而，金融市場的復(fù)雜性和波動性使得證券的未來收益具有極強的不確定性且難以被精確預(yù)測，這大大增加了投資者對投資收益和風(fēng)險進行評估的難度。

目前，研究人員主要采用概率或隸屬度分布、區(qū)間以及場景表示等方法來對證券未來收益的不確定性進行描述。此外，投資組合的風(fēng)險一般可分為系統(tǒng)性風(fēng)險和非系統(tǒng)性風(fēng)險。系統(tǒng)性風(fēng)險主要由市場因素引起，屬于外部風(fēng)險，難以通過分散投資來降低。因此，在早期研究中，學(xué)者們更多關(guān)注的是對非系統(tǒng)性風(fēng)險的度量，常用的評估方法包括方差、絕對離差、熵等。近年來，隨著研究的深入，風(fēng)險價值(Value-at-Risk，VaR)和條件風(fēng)險價值(Conditional Value-at-Risk，CVaR)等先后被提出，從而較好地實現(xiàn)了對系統(tǒng)性風(fēng)險的度量。

基于對未來收益的預(yù)測和對投資風(fēng)險的評估，研究人員建立了相應(yīng)的投資組合優(yōu)化模型，并對求解方法展開了廣泛的研究。投資組合模型通常具有高維、非凸、非線性等特征，屬于典型的NP-hard問題。傳統(tǒng)的求解算法包括分支定界法、動態(tài)規(guī)劃法以及優(yōu)先級列表法等。上述方法雖然便于實現(xiàn)，但是存在數(shù)學(xué)推導(dǎo)繁瑣和難以求解多目標優(yōu)化問題等不足。

近年來，數(shù)據(jù)存儲及人工智能的飛速發(fā)展為投資組合問題的研究提供了新思路和技術(shù)支持?，F(xiàn)有文獻表明，利用大數(shù)據(jù)和深度學(xué)習(xí)算法對證券收益率進行預(yù)測，并采用智能算法對模型進行求解均具有良好成效。

基于上述背景，本文首先采用生成對抗網(wǎng)絡(luò)(Generative Adversarial Networks，GAN)對多個證券收益率可能出現(xiàn)的場景進行預(yù)測，隨后建立相應(yīng)的多目標優(yōu)化模型，并對求解算法進行改進。本文研究框架設(shè)計如下：第二部分介紹投資組合問題的研究背景，并對國內(nèi)外關(guān)于證券收益不確定性的表示方法、投資風(fēng)險的評價方法以及模型的構(gòu)建與求解算法等進行回顧；第三部分對GAN和VaR的基本概念進行介紹，并建立相應(yīng)的多目標投資組合模型；第四部分對已有的多目標遺傳算法(Non-Dominated Sorted Genetic Algorithm-II，NSGA-II)進行改進，從而對模型進行高效求解；第五部分通過真實案例驗證所提方法的有效性；最后，第六部分對本文研究進行總結(jié)和展望。

二、文獻綜述與本文研究

(一)證券收益不確定性描述及投資風(fēng)險評價方法

1.基于隨機變量、模糊變量的投資組合

1952年，Markowitz(1999)首次提出現(xiàn)代投資組合理論，其對證券資產(chǎn)的選擇分為如下兩個階段：第一階段，基于可選證券過去的表現(xiàn)及投資者的自身經(jīng)驗，進行證券價格未來走勢的預(yù)測；第二階段，基于走勢預(yù)測，開展投資組合優(yōu)化并作出決策。當已經(jīng)獲得可選證券集合的期望收益及方差時，理想的投資組合決策應(yīng)使得投資期望均值最大且方差最小。[1]Fried(1970)對投資組合模型中證券資產(chǎn)的收益均值及方差給出了更具體的定義，為均值—方差模型的廣泛使用提供了更扎實的理論基礎(chǔ)。[2]Davis和Norman(1990)在投資模型中引入交易成本，并假設(shè)銀行存款利率為定值、證券價格服從正態(tài)分布，在此背景下尋求最優(yōu)投資策略。案例分析證明在交易費率為定值的情況下，最優(yōu)買賣策略正比于V型區(qū)域邊界下的非線性無界問題的最優(yōu)解。[3]

相較于基于出現(xiàn)頻率的概率分布模型，Tanaka(1995)研究了基于可能性多元分析的投資組合模型。[4]可能性多元分析包括可能性回歸分析、可能性判別分析和可能性投資組合?；趯＜覍τ谧C券給出的重要性等級數(shù)據(jù)，Tanaka等(1995)證明了在投資組合的實際應(yīng)用中，可能性分布模型比概率分布模型具有更優(yōu)異的預(yù)測性。此外，Tanaka等進一步結(jié)合專家經(jīng)驗與證券收益的概率分布來定義證券的重要性等級，并證明了可能性分布模型具有更好的投資組合表現(xiàn)。[5]在此基礎(chǔ)上，考慮到投資者需要權(quán)衡眾多因素才能作出投資決策，而其中的一部分因素可能是模糊不清、難以用概率理論來解釋的，因此，Chu等(1996)引入模糊變量建立了投資組合模型[6]。近期，Wang等(2011)采用模糊風(fēng)險值理論(Fuzzy VaR)作為投資風(fēng)險的評價指標，并建立了相應(yīng)的模糊投資組合模型。本文基于實際情況，將投資者分為兩類：保守型與風(fēng)險偏好型。針對保守型投資者，設(shè)定VaR閾值，在VaR不超過閾值的情況下，盡可能追求期望收益的最大化；針對風(fēng)險偏好型投資者，在設(shè)定最低投資期望收益率的前提下，盡可能最小化VaR。當假定可選證券為模糊變量后，即可根據(jù)其隸屬度函數(shù)獲取VaR值及期望收益率。實驗證明，基于模糊VaR的投資組合模型更易被一般投資者所接受。[7]

2.基于區(qū)間變量的投資組合

在基于隨機變量或模糊變量的投資組合中，一方面證券的概率或者隸屬度分布有時難以精確獲取，另一方面，證券的未來收益未必完全服從某個固定的分布。因此，部分學(xué)者也開展了基于區(qū)間預(yù)測的投資組合研究。Giove等(2006)在投資組合模型中引入了含區(qū)間變量的回歸函數(shù)，通過最小化回歸函數(shù)使得投資組合模型達到最優(yōu)投資表現(xiàn)?；貧w函數(shù)不僅具有較強的數(shù)學(xué)可推導(dǎo)性，而且具有較好的泛化能力，可應(yīng)用于多種投資組合模型中。實驗證明，在理想條件下，區(qū)間投資組合可在不顯著增加計算復(fù)雜度的前提下，解決含大規(guī)模證券的投資組合問題。[8]Bhattacharyya等(2011)采用模糊集(Fuzzy Sets)中的區(qū)間數(shù)將均值—方差模型擴展為均值—方差—傾斜度投資組合模型，并且將交易成本納入模型之中，同時，Bhattacharyya等(2011)在模型中引入了短期回報、長期回報、資產(chǎn)流動性、紅利、證券資產(chǎn)數(shù)量等約束指標，并提出了樂觀型、悲觀型及中立型投資組合模型，隨后采用遺傳算法來求解模型，最終證明了基于區(qū)間變量的投資組合模型具有更優(yōu)異的投資表現(xiàn)。[9]此外，融入上述約束指標能夠使得理論模型更貼近現(xiàn)實。Mohagheghi等(2015)將投資回報的凈現(xiàn)金流定義為模糊區(qū)間數(shù)，提出了一種新的投資組合模型。概括而言，該模型通過定義模糊區(qū)間風(fēng)險指數(shù)、回報指數(shù)、風(fēng)險—回報復(fù)合指數(shù)來對投資方案進行綜合評價?；谡鎸崝?shù)據(jù)的實驗結(jié)果表明，該方法具有較高的投資回報。[10]

3.基于場景生成的投資組合

一般而言，隨機優(yōu)化是求解含不確定信息的組合優(yōu)化類問題的重要手段。在上述基于隨機變量、模糊變量及區(qū)間預(yù)測的投資組合研究中，不確定性描述多以微積分形式存在，難以被隨機優(yōu)化直接利用，而要采用隨機優(yōu)化方法對投資組合問題進行求解，就需具備關(guān)于證券未來收益的一系列有效的場景信息。因此，有學(xué)者對隨機變量或區(qū)間變量進行抽樣組合，形成海量場景。然而，這類方法往往忽略了多個證券收益之間的相關(guān)性，最終導(dǎo)致優(yōu)化結(jié)果不佳。針對上述問題，通過使用場景生成技術(shù)來直接產(chǎn)生未來多個證券組合場景的方法逐漸受到關(guān)注。

1971年，Bradley和Crane(1972)首先解釋了場景生成技術(shù)在金融領(lǐng)域的適用性。[11]不久，Mulvey和Vladimirou(1992)在資產(chǎn)配置方面也驗證了這一點。[12]1996年，Nielsen和Zenios(1996)使用場景生成技術(shù)來進行固定收益投資組合管理。[13]隨后，Consiglio等(2001)將這些技術(shù)推廣至保險行業(yè)。[14]至此，場景生成技術(shù)開始廣泛應(yīng)用于金融領(lǐng)域。

20世紀末，Carino等(1994)提出基于歷史數(shù)據(jù)的統(tǒng)計方法能夠簡單、快速地生成場景，該方法不需要對收益率的分布函數(shù)做任何假設(shè)，也不需要計算證券之間的相關(guān)性，而是將它們隱含在市場觀察到的數(shù)據(jù)之中。[15]因其簡便性，在之后的研究中，基于歷史數(shù)據(jù)的場景生成技術(shù)成為最常用的方法之一。然而，Carino等(1998)通過后續(xù)研究發(fā)現(xiàn)，僅利用歷史數(shù)據(jù)生成場景會存在未來與過去觀察到的價格走勢不同的問題，而且可生成的場景數(shù)量也受到了可用歷史數(shù)據(jù)量的限制。[16]

針對上述不足，Yu(2002)提出了基于歷史數(shù)據(jù)的引導(dǎo)技術(shù)來分析證券收益之間的相關(guān)性。[17]隨后，Kouwenberg和Zenios(2008)也發(fā)現(xiàn)當可用樣本數(shù)量相對較少，并且需要大量觀察值時，使用引導(dǎo)技術(shù)進行場景生成的效果較優(yōu)。[18]類似的，為保證觀測的獨立性，Hall等(1995)提出了塊引導(dǎo)技術(shù)，[19]它是引導(dǎo)技術(shù)的變體，是在原有基礎(chǔ)上通過場景塊來保留各時段原始數(shù)據(jù)的相關(guān)性。其中，塊表示一系列連續(xù)的場景。引導(dǎo)和塊引導(dǎo)技術(shù)的優(yōu)勢在于不受系統(tǒng)選擇錯誤的影響。然而，也有部分研究表明上述方法仍無法改變未來收益可能與過去所觀察到的數(shù)據(jù)存在較大差異的缺陷[20]。

為此，Levy(2003)將蒙特卡羅仿真技術(shù)運用于投資組合領(lǐng)域。蒙特卡羅仿真是一種參數(shù)化的方法，利用給定的分布函數(shù)來生成場景。[21]在實際應(yīng)用中，多元正態(tài)分布是最常采用的分布函數(shù)。此外，Bollerslev等(1988)發(fā)現(xiàn)證券收益的時間序列具有波動性集群效應(yīng)，因此，利用隨機過程可以較好地實現(xiàn)場景生成。[22]其中，最常用的是廣義自回歸條件異方差模型(Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity model，GARCH)，Ding和Engle(2001)將單變量GARCH隨機過程擴展到多元，進一步提升了場景生成的質(zhì)量[23]。

概括而言，在傳統(tǒng)的場景生成方面，常用方法包括引導(dǎo)技術(shù)、塊引導(dǎo)技術(shù)、蒙特卡羅仿真技術(shù)和GARCH等，其中，前兩種場景生成技術(shù)是非參數(shù)的，后兩種則需要對證券收益分布的參數(shù)進行評估。非參數(shù)方法和參數(shù)方法的本質(zhì)區(qū)別在于前者生成的場景是由歷史數(shù)據(jù)決定的，而后者則需要對未來收益的分布函數(shù)進行假設(shè)。非參數(shù)方法的主要優(yōu)點在于計算簡單、易于理解，但由于其嚴重依賴于某個給定的樣本，因此，很難推廣到其他樣本上。此外，如若樣本中的觀測值存在明顯偏差，那么非參數(shù)方法生成的場景也會相應(yīng)地出現(xiàn)較大偏差。相比之下，參數(shù)方法的不足在于其效果過分依賴于所選的分布函數(shù)，故而對分布函數(shù)和相關(guān)參數(shù)的選擇至關(guān)重要。

上述研究主要基于傳統(tǒng)的統(tǒng)計方法，近年來深度學(xué)習(xí)技術(shù)(如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、循環(huán)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等)的出現(xiàn)和不斷發(fā)展為大量歷史數(shù)據(jù)的分析與處理提供了新思路。其中，Goodfellow等(2014)提出的生成對抗網(wǎng)絡(luò)(GAN)是近年來無監(jiān)督學(xué)習(xí)中最具前景的方法之一[24]。GAN包括兩個模型：捕獲數(shù)據(jù)分布的生成器G以及評估樣本來自訓(xùn)練數(shù)據(jù)可能性的判斷器D。兩個模型之間是博弈對抗的關(guān)系：生成模型的目的是生成假樣本，企圖徹底騙過判斷模型；而判斷器通過學(xué)習(xí)真樣本和假樣本，提高自己的鑒別能力，使自己不被假樣本欺騙。兩個模型相互博弈學(xué)習(xí)，直到所生成的假樣本與真樣本很接近則停止訓(xùn)練。目前，GAN已被廣泛用于圖像、電力系統(tǒng)等領(lǐng)域，一系列研究成果表明，GAN具備針對海量、高維歷史數(shù)據(jù)生成帶有時空關(guān)聯(lián)性場景的能力。考慮到證券價格的歷史數(shù)據(jù)同樣存在上述特征，因此，本文將采用GAN生成多個證券的價格和收益率場景，并在此基礎(chǔ)上開展投資組合研究。

(二)投資組合模型與求解方法

1.單期投資組合

早期的投資組合主要通過自我主觀判斷與累積經(jīng)驗來制定投資決策，這一狀況直至20世紀50年代才得到改善。Markowitz(1952)基于概率論，以均值和方差來分別表示某投資組合方案的期望收益和風(fēng)險值，提出了均值—方差投資組合模型。該模型首次將定量分析方法運用到金融投資領(lǐng)域。[25]然而，在實際應(yīng)用中，采用均值—方差模型的前提是效用函數(shù)中的收益率需滿足正態(tài)分布，從而與期望效用理論相匹配，此外，當涉及的投資組合問題階數(shù)過高時，該模型的求解將上升到多次協(xié)方差矩陣，導(dǎo)致計算復(fù)雜度呈指數(shù)式增長。同一時期，Roy(1952)提出了安全第一的投資組合模型，該模型在給定的風(fēng)險水平約束下，證明了投資者的最優(yōu)投資組合即為均值—方差模型的邊界。[26]

針對均值—方差模型中存在的不足，Sharpe(1963)提出了單指數(shù)模型，其假設(shè)投資組合中的各證券均是相互獨立的，且僅與市場相關(guān)，并在模型求解中利用對角線原則來簡化非對角線矩陣元素，降低了均值—方差模型的計算復(fù)雜度。[27]類似的，為避免均值—方差模型求解復(fù)雜度較高這一問題，Perold(1984)引入多因素工具來簡化求解矩陣中的秩問題，[28]而Konno和Suzuki(1992)也使用緊因子分解法對含大規(guī)模證券的投資組合模型進行求解[29]。針對均值—方差投資組合模型中關(guān)于收益分布的假設(shè)問題，徐緒松和侯成琪(2006)提出了非正態(tài)分布條件假設(shè)，引入以擬合優(yōu)度為驗證指標的均值—尺度參數(shù)投資組合模型。[30]近期，石珂琦(2015)在風(fēng)險評價指標CVaR的基礎(chǔ)上提出了GARCH模型來擬合投資方案的預(yù)測收益。[31]

2.多期投資組合

傳統(tǒng)的單期投資組合模型假設(shè)投資決策一旦制定便不再調(diào)整，直到該投資結(jié)束。然而，在實際應(yīng)用中，固定的投資策略難以獲得較高的回報，因此，大多數(shù)投資者更加青睞于靈活的投資策略，以求提高投資收益。此外，采用多期投資組合的另一個重要原因在于投資者不會一成不變地執(zhí)行某個投資策略，而是會根據(jù)證券市場實際情況動態(tài)改變投資策略。相比于單期投資組合模型，多期投資組合模型本質(zhì)上是基于不確定性動態(tài)理論，投資者可以在每個周期階段調(diào)整投資策略來應(yīng)對證券市場的不確定性。在此背景下，多期投資組合受到了學(xué)術(shù)界的廣泛關(guān)注。[32]

Mossin(1968)首先提出了利用動態(tài)規(guī)劃的方法將單階段模型推廣到多階段，即多期投資組合。[33]但受限于模型求解技術(shù)，直至2000年，Li和NG(2000)通過嵌入式途徑得到了多階段均值—方差模型的最優(yōu)策略和有效前沿的解析表達式，從而使多階段投資組合模型的求解得到了突破。[34]近年來，Sun等(2016)提出了多期投資組合的極大、極小模型，并對其相關(guān)解析解進行了研究。[35]針對動態(tài)規(guī)劃策略問題，Zhu等(2004)提出了廣義均值—方差模型，通過求解該模型來獲取最優(yōu)投資策略，即在控制相關(guān)風(fēng)險的前提下最大化期望收益。[36]類似的，Calafiore(2008)提出的具有控制策略的多期投資組合優(yōu)化模型，較好地解決了金融資產(chǎn)配置中的多周期序列問題。[37]Wu和Li(2011)先后研究了具有狀態(tài)轉(zhuǎn)換和不確定退出時間的多期均值—方差投資組合問題，[38]以及多期均值方差框架下非自籌資金的投資組合問題[39]。近期，Liu和Chen(2018)為更好地描述動態(tài)投資風(fēng)險的時變特性和隨機收益過程的模糊性，提出了在制度轉(zhuǎn)換框架下的兩種多期魯棒風(fēng)險測度，該測度基于區(qū)域動態(tài)不確定性集合，為投資者提供了適應(yīng)市場環(huán)境變化的魯棒投資組合策略。[40]

3.多目標投資組合

隨著建模技術(shù)的發(fā)展，多目標投資組合優(yōu)化也逐漸受到了關(guān)注。從起源上來看，意大利經(jīng)濟學(xué)家Pareto最早將涉及到多個目標函數(shù)的問題定義為多目標優(yōu)化。該類優(yōu)化在管理學(xué)領(lǐng)域上被歸納為多目標決策問題，旨在通過求解數(shù)學(xué)模型得到一系列互不支配的Pareto解。[41]針對多目標模型的求解，Geoffrion(1968)提出了加權(quán)和法。[42]隨后，Haimes等(1971)通過保留單個目標，并將其他目標轉(zhuǎn)化為約束條件的方式來解決多目標優(yōu)化問題。[43]

以上求解思路主要是將多個目標函數(shù)轉(zhuǎn)化為單個目標函數(shù)，通過調(diào)整各目標函數(shù)的權(quán)重，實現(xiàn)對多目標優(yōu)化模型的求解。隨著人工智能技術(shù)的不斷發(fā)展，進化(智能)算法逐漸成為求解多目標優(yōu)化問題的有效手段之一。對進化算法而言，近年來，遺傳算法、差分進化算法、免疫算法、蟻群算法、模擬退火算法和粒子群算法逐漸出現(xiàn)并被廣泛用于求解眾多復(fù)雜非線性問題。在多目標優(yōu)化領(lǐng)域，Schaffer(1984)最早提出了基于向量的多目標遺傳算法。[44]Doerner等(2004)采用蟻群算法對多目標投資組合問題進行求解，其中，基于信息素和隨機權(quán)重的方法使得算法的計算效率得到了提升。[45]在此期間，NSGA、SPEA、NSGA-II、SPEA2也不斷地被提出，研究人員已在一系列多目標優(yōu)化問題上驗證了各種算法的有效性。此外，為解決基于Pareto支配關(guān)系算法難以得到最優(yōu)結(jié)果的問題，Qi等(2014)提出了基于自適應(yīng)權(quán)重的MOEA/D算法，將多目標優(yōu)化問題分解成多個標量優(yōu)化子問題，并實現(xiàn)了對整體問題的求解。[46]針對上述投資組合模型及求解方法的文獻分析，本文首先采用GAN進行場景生成，通過訓(xùn)練GAN的生成器和判斷器，直接產(chǎn)生服從歷史數(shù)據(jù)分布的證券未來收益場景；隨后，利用風(fēng)險值(VaR)來評估給定置信度水平下投資組合方案的最大損失值，并建立同時最大化期望收益和最小化風(fēng)險值的多目標投資組合模型；最后，結(jié)合競爭學(xué)習(xí)策略對現(xiàn)有的NSGA-II算法進行改進，從而對模型進行高效求解。

三、預(yù)備知識及數(shù)學(xué)模型

(一)基于GAN的證券未來收益率場景生成

生成對抗網(wǎng)絡(luò)(GAN)是由Goodfellow(2014)首先提出的一種神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，它主要包括兩個深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)：生成器G和判別器D。[24]核心思想源自博弈論中的零和博弈：G通過學(xué)習(xí)真實數(shù)據(jù)的潛在分布來生成以假亂真的數(shù)據(jù)樣本，D也在不斷學(xué)習(xí)以提高自己分辨真?zhèn)蔚哪芰?。在整個訓(xùn)練過程中，G和D兩個神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)交替更新自己的權(quán)重，通過不斷地迭代，最終使雙方達到納什平衡。

具體而言，生成器G的輸入可以是任意一種隨機分布z～Pz(z)(如高斯分布)，G的目標是通過訓(xùn)練使該采樣輸入z的輸出G(z)盡可能逼近真實分布Pg(x)；相對應(yīng)的，判別器D的輸入數(shù)據(jù)來自真實數(shù)據(jù)x以及生成器生成的數(shù)據(jù)G(Z)。經(jīng)過網(wǎng)絡(luò)層映射到標量輸出D(·)，代表輸入數(shù)據(jù)服從真實分布的概率。G和D的損失函數(shù)分別定義如下：

LG= -Ez～Pz(z)[D(G(z))]，

(1)

LD= -Ex～Pg(x)[D(x)]+Ez～Pz(z)[D(G(z))]。

(2)

上述兩個損失函數(shù)可整合成以下統(tǒng)一的目標函數(shù)形式：

(3)

在訓(xùn)練開始階段，判別器D能夠輕易分辨出輸入數(shù)據(jù)來自于哪一部分，但隨著網(wǎng)絡(luò)對抗訓(xùn)練的不斷進行，真實數(shù)據(jù)x和生成數(shù)據(jù)G(Z)之間的差異越來越小，最終使得D無法分辨出輸入數(shù)據(jù)的真?zhèn)?，此時網(wǎng)絡(luò)達到平衡狀態(tài)，表示訓(xùn)練過程完成。

另一方面，證券收益率場景是指多支證券在未來某一天的某項指標(如收盤價)不確定性關(guān)系的采樣近似表示，若能夠得到未來某時段內(nèi)的收益率場景，投資者據(jù)此便能制定出相應(yīng)的最優(yōu)投資組合策略，從而實現(xiàn)期望收益最大化，并規(guī)避風(fēng)險。然而，在實際金融交易過程中，投資者往往無法準確地對收益率場景的先驗分布進行有效估計，因此，傳統(tǒng)的基于概率分布抽樣的場景生成法難以應(yīng)用在分布未知的證券收益率場景生成任務(wù)之中。相比之下，GAN則能夠另辟蹊徑，借助深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)強大的數(shù)據(jù)映射和模型泛化能力，不需要對收益率的分布進行概率模型估計就能直接生成服從歷史數(shù)據(jù)分布的樣本，因此，針對這一優(yōu)勢，本文采用GAN生成若干數(shù)量的未來收益率場景，來對多支證券的收益不確定性進行表示，從而為投資者提供有效的決策信息。值得注意的是，采用GAN進行不確定信息預(yù)測的研究剛剛起步，且現(xiàn)有文獻主要集中于電力系統(tǒng)的負荷、可再生能源發(fā)電的場景生成，鮮有用于證券收益預(yù)測的相關(guān)研究，因此，采用GAN生成證券未來收益場景也是本文的主要創(chuàng)新點之一。

(二)風(fēng)險值理論及場景表示下的風(fēng)險值計算方法

在投資組合領(lǐng)域，假設(shè)證券i的未來收益不確定性表示為ξi，未來損失的不確定性表示為Li，顯然，可知Li= -ξi。風(fēng)險值VaR測算的是在給定置信水平1-β下，該證券可能出現(xiàn)的最低價格(可轉(zhuǎn)化為可能出現(xiàn)的最低收益率，即最大損失)，如下式所示：

(4)

式(4)中，P(Li)為不確定性分布Li的概率密度函數(shù)，λ值即為所求的證券i的VaR值。類似的，對于某個包含n支證券的投資組合策略X= (x1，…，xn)，VaR評估的是在1-β置信水平下該組合可能出現(xiàn)的最大損失，如下式所示：

(5)

需要注意的是，上述VaR的計算公式主要針對連續(xù)變量，例如服從正太分布或威布爾分布的隨機數(shù)，或無分布信息的區(qū)間數(shù)。而如前所述，本文采用具有關(guān)聯(lián)特性的場景來描述證券收益的不確定性，因此，需在此背景下計算相應(yīng)的VaR值，故對上述VaR的計算方法作下列拓展，以計算給定置信水平下考慮多個場景的投資組合風(fēng)險值。

(6)

式(6)中，X=(x1，…，xn)表示某個給定的投資組合策略；sj指代生成的第j個場景，每個sj為n維向量，包括每支證券在該場景下的確定性的收益；m為場景總數(shù)。采用上式，可以找出投資方案X在1-β定置信水平下最壞場景的收益率λ(一般情況下，該收益率為負數(shù)，即相應(yīng)的資產(chǎn)損失值)。

(三)基于場景的多目標投資組合優(yōu)化模型

本文利用GAN較為強大的數(shù)據(jù)生成能力來產(chǎn)生數(shù)個候選證券的未來收益率場景。首先，對所有候選證券在歷史上每一天的收盤價進行組合，并作為一個整體輸入到GAN之中；隨后，通過生成器和判斷器的博弈對抗來對GAN進行訓(xùn)練，使其具備輸出近似服從歷史數(shù)據(jù)分布的股價場景的能力。由于在訓(xùn)練GAN時，輸入的是過去每一天候選股票的收盤價組合，因此，利用訓(xùn)練后的GAN輸出的場景即為可能的未來收盤價組合場景。若采用pj表示第j個組合場景，則所有m個收盤價組合場景可表示為

p1= (p1,1，…，pi,1，…，pn,1)，

pj= (p1,j，…，pi,j，…，pn,j)，

pm= (p1,m，…，pi,m，…，pn,m)。

(7)

可見，S-MOPSM在最大化所有場景下期望收益(目標1)的同時，最小化極端場景的損失(目標2)。通過對模型進行求解，所產(chǎn)生的多目標解集將為投資者提供有效的決策依據(jù)，此外，xi≥0表明本文不考慮賣空操作。

四、求解算法

作為一類非線性多目標優(yōu)化問題，S-MOPSM難以通過經(jīng)典數(shù)學(xué)方法進行求解。如前所述，近些年來，已有大量研究致力于高效多目標進化算法的設(shè)計與開發(fā)，其中包括多目標粒子群算法(Multi-objective Particle Swarm Optimization, MOPSO)和多目標遺傳算法(Multi-objective Genetic Algorithm, MOGA)等。粒子群算法(PSO)通過模仿鳥類覓食行為，利用個體間的信息共享實現(xiàn)種群的演化，最終找到問題的最優(yōu)解。基于此，Wang等設(shè)計了基于變異支配次數(shù)以及強化學(xué)習(xí)的FS-MOPSO算法來緩解經(jīng)典算法的局部最優(yōu)問題。[47-48]不同于PSO，遺傳算法(GA)借鑒生物進化中優(yōu)勝劣汰、適者生存的規(guī)律，通過選擇、交叉、變異等操作使得染色體向更優(yōu)的方向進行演化。Srinivas和Deb(1994)在適應(yīng)度共享的基礎(chǔ)上，提出了非支配排序遺傳算法(NSGA)。[49]然而，由于計算復(fù)雜度高且忽視了精英解的作用，NSGA并未得到廣泛應(yīng)用。因此，Deb等(2000)在NSGA的基礎(chǔ)上，引入非支配快速排序方法和精英解機制，提出了非支配快速排序遺傳算法(NSGA-II)。[50]實驗結(jié)果表明，NSGA-II具有收斂速度快且全局搜索能力強的優(yōu)點。

為進一步提高NSGA-II的求解能力，本文將競爭學(xué)習(xí)機制引入NSGA-II中。在競爭學(xué)習(xí)中，個體通過向精英解學(xué)習(xí)來更新自身染色體。具體而言，首先根據(jù)NSGA-II中的密度估計方法，計算每個精英解的密度；隨后，從當前種群中隨機選擇個體pa，并根據(jù)輪盤賭機制選擇精英解ps，精英解的密度越大，它被選到的概率越大；最后，對pa的位置更新如下:

pa=pa+η*Rand(0，1)*(ps-pa)。

(8)

式(8)中，η為控制參數(shù)。通過引入上述競爭學(xué)習(xí)機制，個體可以向適應(yīng)度更高的解學(xué)習(xí)來更新染色體。圖1展示了本文提出的改進的NSGA-II (Improvded NSGA-II, INSGA-II)求解多目標投資組合問題的流程圖。INSGA-II的具體實施步驟如下所示。

圖1 INSGA-II算法流程圖

步驟1.假設(shè)[X1,X2,K,Xn]表示某個對n支證券的投資方案。首先，針對每個個體，采用隨機函數(shù)在(0,1)內(nèi)初始化[X1,X2,K,Xn]。

步驟2.針對每個個體，對[X1,X2,K,Xn]進行歸一化處理，第i支證券的投資量Xi轉(zhuǎn)化為

(9)

步驟3.對每個個體，其在場景j下的收益率rj可計算為rj=Xsj，隨后，根據(jù)模型(7)分別計算兩個目標函數(shù)，即計算所有場景下收益率的期望和VaR。

步驟4.將當前種群與精英解集合并成一個綜合種群PU(第一次迭代時精英解的個數(shù)為0)。

步驟5.檢查PU中每個個體之間的支配關(guān)系并記錄其支配次數(shù)和被支配次數(shù)。將被支配次數(shù)為0的解挑選進入最新的精英解集。

步驟6.根據(jù)個體之間的支配關(guān)系，將種群分為不同層級：

步驟6.1.設(shè)置k=1；

步驟6.2.將被支配次數(shù)為0的解設(shè)置為第k層級，將第k級中的個體從PU中刪除并重新檢查個體之間的支配關(guān)系，k=k+1；

步驟6.3.若PU為空，則終止種群的層級劃分；否則，轉(zhuǎn)到步驟6.2。

步驟7.根據(jù)密度保留策略，從PU中選取一定數(shù)量的個體組合為臨時種群PT：

步驟7.1.設(shè)置k= 1，nr等于種群個體數(shù)；

步驟7.2.比較第k層級中個體數(shù)nk和nr；

步驟7.3.如果nk小于nr，將nk加入到PT中，nr=nr-nk，k=k+1，轉(zhuǎn)到步驟7.2；否則，參照文獻[50]中的密度計算規(guī)則計算k層級中每個個體的密度，按密度從大到小排列，并將排序前nr的個體加入到PT之中。

步驟8.對PT中的個體，使用經(jīng)典遺傳算法中的選擇、交叉、變異算子以及本文提出的競爭學(xué)習(xí)算子獲得子代種群。

步驟9.如迭代次數(shù)大于等于預(yù)先設(shè)定的數(shù)值，保存精英解并終止算法；否則，轉(zhuǎn)到步驟2繼續(xù)執(zhí)行。

五、案例分析

為驗證所提模型和算法的有效性，本節(jié)選取(1)蘋果、(2)百度、(3)雪佛龍、(4)英國石油公司、(5)瓦萊羅能源公司、(6)通用汽車、(7)克羅格、(8)網(wǎng)易、(9)搜狐、(10)騰訊共10支股票作為候選，考慮于2019年1月1日開始進行為期6個月的投資組合問題。首先，根據(jù)2014年1月1日至2018年12月31日10支股票的歷史數(shù)據(jù)訓(xùn)練GAN，并采用GAN生成未來收盤價場景。其中，GAN的參數(shù)設(shè)置如表1所示。本文中的場景生成算法采用Python語言編寫，模型求解算法采用C++語言編寫，程序在Intel i7-7700 3.6GHZ CPU個人電腦上運行。

表1 GAN參數(shù)設(shè)置

經(jīng)過充分訓(xùn)練，由GAN生成的100個股票未來收盤價場景如圖2所示。通過轉(zhuǎn)換，可得圖3所示的股票未來收益率場景。根據(jù)生成的場景，采用INSGA-II求解S-MOPSM得到帕累托解集(如圖4所示)。在S-MOPSM中，投資風(fēng)險采用VaR刻畫，VaR值越小表示投資風(fēng)險越小，當VaR為負數(shù)時，表示投資方案在給定置信水平下最壞情況出現(xiàn)時仍具有正收益。圖4中的帕累托解顯示，VaR值隨著平均收益的減小而減小。上述現(xiàn)象與理論及實際情況相符，為獲得更高的平均收益，投資者需要將更多的資金投入到平均收益較高的證券之中。然而，證券的平均收益越高意味著潛在的風(fēng)險越大，因此，該投資方案在給定置信水平下最壞場景的投資風(fēng)險也越大。以上分析表明，本文提出的多目標投資組合模型可以有效地反映收益與風(fēng)險之間的對立關(guān)系。

隨后，我們挑選出四個具有代表性的帕累托解，并將其具體投資組合方案列于表2(表中，每一行表示一個解，包含該投資方案的期望收益、風(fēng)險以及在10支股票上的資產(chǎn)分配情況)。由表2所示，資金主要集中分配在第2、4、7、9號4支股票上?？梢姡疚奶岢龅亩嗄繕藘?yōu)化模型能在一定程度上達到分散投資的目的。

圖2 股票價格場景圖

圖3 股票收益率場景圖

圖4 S-MOPSM的帕累托解集

表2 代表性帕累托解具體投資方案

為進一步驗證本文所提預(yù)測方法、投資組合模型及算法的有效性，我們對表2所列四個代表性帕累托解在真實市場中的表現(xiàn)進行分析和討論。首先，收集上述10支股票在投資期間(2019.01-2019.06)的每周收盤價，每支股票各包括26個數(shù)據(jù)，即26個周收盤價；其次，基于各支股票在2019年1月2日(1月1日閉市)的買入價格，將上述每周收盤價轉(zhuǎn)化為每周收益率；最后，按表2所列四個代表性帕累托解的投資組合策略進行資金分配，并檢驗各個解在真實股市中的表現(xiàn)，結(jié)果如圖5所示。

圖5表明，在整個投資期間的真實市場表現(xiàn)中，代表性帕累托解4可以產(chǎn)生最大的投資收益，解3次之，隨后是解2和解1(由區(qū)域1可見)；其次，若考慮整個投資期間出現(xiàn)的最壞情況，解1產(chǎn)生的投資損失最小，解2次之，隨后是解3和解4(由區(qū)域2可見)。此外，如表2所示，四個代表性帕累托解按照從解1到解4順序來看，期望收益越來越大，但在給定置信水平下投資所承受的最大損失也越來越大。這表明，本文通過理論分析得到的結(jié)論與上述基于真實股市數(shù)據(jù)得到的結(jié)果是吻合的。由此可見，本文所采用的場景生成技術(shù)能夠較好地描述收益的不確定性，所建立的數(shù)學(xué)模型及開發(fā)的求解算法也能有效地處理不確定性下的多目標投資組合問題。

為分析置信水平對模型求解的影響，本文對比分析了三種不同置信水平下求得的帕累托解集。圖6表明，采用較低的置信水平獲得的帕累托解集可以支配采用較高置信水平時獲得的帕累托解集。上述現(xiàn)象出現(xiàn)的原因是，較高的置信水平意味著在進行決策時需要考慮更多的極端場景。一般情況下，對同一個決策方案而言，設(shè)置更高的置信水平將使得風(fēng)險評估需要考慮更壞的場景，進而增加了VaR的數(shù)值。因此，投資者可以根據(jù)自身風(fēng)險偏好以及對股市走勢的認知，設(shè)置相應(yīng)的置信水平，從而獲得更符合自身需求的帕累托解集。

圖5 代表性帕累托解真實市場表現(xiàn)

圖6 不同置信水平的帕累托解集

最后，本文將INSGA-II與NSGA-II以及FS-MOPSO進行對比，驗證所提算法的有效性。圖7表明，INSGA-II獲得的帕累托解集能夠較好地支配其他兩種算法的解集，直觀上證明了INSGA-II的效果更佳。為更客觀地衡量所提算法的求解效果，本文采用超體積作為帕累托解集質(zhì)量的評價指標(超體積越大，算法性能越好)。當參考點設(shè)為(0,0.25)時，INSGA-II、NSGA-II和FS-MOPSO得到的帕累托解集的超體積數(shù)值分別為0.1812、0.1806和0.1765。可見，在本文所采用的案例中，INSGA-II優(yōu)于NSGA-II以及FS-MOPSO。

圖7 算法比較

六、結(jié)論及展望

針對投資組合存在的預(yù)測難、優(yōu)化難問題，本文首先利用生成對抗網(wǎng)絡(luò)產(chǎn)生了一系列服從歷史數(shù)據(jù)分布的證券未來收益率場景；隨后，建立了基于不確定性場景表示下的多目標投資組合模型來同時優(yōu)化多個場景下的期望收益及風(fēng)險值；最后，通過引入競爭學(xué)習(xí)機制，改進了經(jīng)典多目標遺傳算法，提升了種群的搜索能力，并對所建多目標投資組合模型進行了求解。

案例分析表明，基于場景生成的多目標投資組合模型可以有效地反映投資收益與風(fēng)險之間的對立關(guān)系，在一定程度上達到分散資金的目的，并且所得理論結(jié)果與真實市場表現(xiàn)相吻合。此外，設(shè)置不同置信水平可以對期望收益和風(fēng)險進行不同程度的權(quán)衡，得到不同的帕累托解集，這表明所建模型具備較好的適應(yīng)性。最后，本文所提算法與部分已有算法相比，求解效果更佳。

后續(xù)擬開展的研究主要包括采用更先進的生成對抗網(wǎng)絡(luò)架構(gòu)，如采用條件GAN、序列GAN等來產(chǎn)生更有效的證券未來收益率場景；將交易成本、交易金額約束、市場流動性等納入所建模型，使得理論結(jié)果更貼近現(xiàn)實。