一元函數(shù)微分和多元函數(shù)全微分的教學(xué)新探

王珺 徐富強(qiáng) 郝江鋒

摘要：微分概念是微積分的核心概念，它直接影響到后續(xù)積分概念的學(xué)習(xí)。一元函數(shù)微分和多元函數(shù)全微分一直是教學(xué)的難點(diǎn)，其原因在于教材對(duì)于微分介紹較少，且微分的定義從字面表達(dá)上與“無限細(xì)分，以直代曲”的重要思想脫節(jié)。著重從幾何角度出發(fā)，在課堂教學(xué)中帶領(lǐng)學(xué)生分析“微分”和“全微分”的定義中“無限細(xì)分，以直代曲”的深刻含義，并在此基礎(chǔ)上避開晦澀難懂的理論證明和推導(dǎo)，通過幾何直觀，用通俗易懂的語言解釋全微分與連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)、方向?qū)?shù)以及偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)之間的關(guān)系。

關(guān)鍵詞：微分;全微分;幾何;以直代曲

中圖分類號(hào)： G642.1 ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A

1 引言

微積分是高等數(shù)學(xué)的重要組成部分，20世紀(jì)杰出的數(shù)學(xué)家約翰·馮·諾伊曼在論述微積分時(shí)寫道：“微積分是現(xiàn)代數(shù)學(xué)取得的最高的成就，對(duì)它的重要性怎樣估計(jì)也是不會(huì)過分的[1]?！蔽⒎e分儼如一座橋梁，使學(xué)生們通過它從基礎(chǔ)性的初等數(shù)學(xué)走向富于挑戰(zhàn)性的高等數(shù)學(xué)，并且面對(duì)令人眼花繚亂的轉(zhuǎn)換，從有限量轉(zhuǎn)向無限量，從離散性轉(zhuǎn)向連續(xù)性，從膚淺的表象轉(zhuǎn)向深刻的本質(zhì)[1]。而在微積分中，微分又是核心概念。對(duì)于微分概念正確理解與否，會(huì)直接影響后續(xù)學(xué)生對(duì)積分概念的理解以及微元法的應(yīng)用，而在一元函數(shù)微分和多元函數(shù)全微分的教學(xué)過程中，大部分學(xué)生反映概念太過抽象，對(duì)“微分”和“全微分”定義的理解只能停留在表面，不能深刻理解定義的深層含義，而且在國內(nèi)大部分教材上[2-4]，介紹“微分”的篇幅遠(yuǎn)遠(yuǎn)少于“導(dǎo)數(shù)”，甚至有學(xué)生認(rèn)為：前面有了導(dǎo)數(shù)的概念，微分這個(gè)概念是多余的。導(dǎo)致學(xué)生有這些想法的主要原因在于無論是“微分”還是“全微分”的定義，從字面意思看，與樸素的微分思想“無限細(xì)分，以直代曲”脫節(jié)，并且許多教材[2-4]在引入微分定義之前，都會(huì)將一塊正方形金屬薄片熱脹冷縮的問題作為引例，而在這個(gè)引例中也沒有體現(xiàn)出“無限細(xì)分，以直代曲”的思想，這讓學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)更是一頭霧水。本文從幾何角度出發(fā)，避免抽象的理論推導(dǎo)，層層深入，帶領(lǐng)學(xué)生重點(diǎn)分析在“微分”和“全微分”的定義中蘊(yùn)含著“無限細(xì)分，以直代曲”的重要思想，進(jìn)而從幾何角度形象直觀地解釋多元函數(shù)全微分與連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)、方向?qū)?shù)和偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)之間的關(guān)系。

2 一元函數(shù)微分教學(xué)新探

定義1[2] 設(shè)函數(shù)y=f（x）在某區(qū)間內(nèi)有定義，x0及x0+Δx在這區(qū)間內(nèi)，如果增量

Δy=f（x0+Δx）-f（x0）

可表示為

Δy=AΔx+O（Δx），（1）

其中A是不依賴于Δx的常數(shù)，那么稱函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0是可微的，而AΔx叫做函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0相應(yīng)于自變量增量Δx的微分，記作dy，即

dy=AΔx

下面將從幾何角度解釋定義1，從中挖掘“無限細(xì)分，以直代曲”的深刻含義。

定義1中包含了兩個(gè)概念：一元函數(shù)在一點(diǎn)可微的概念和在一點(diǎn)微分的概念。首先，從幾何角度解釋函數(shù)f（x）在一點(diǎn)可微。從定義1中可知，只要（1）式成立，函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0處便可微，但（1）式太過抽象，現(xiàn)將（1）式做如下等價(jià)變形：

f（x0+Δx）=f（x0）+AΔx+O（Δx），（2）

令x=x+Δx，則（2）式等價(jià)于

f（x）=f（x0）+A（x-x0）+O（Δx），（3）

（3）式左邊表示點(diǎn)（x0，f（x0））附近的曲線，將（3）式右端前兩項(xiàng)和記為

y=f（x0）+A（x-x0），（4）

式為一個(gè)關(guān)于x的一次函數(shù)，且點(diǎn)（x0，f（x0））滿足（4）式，即（4）式表示一條通過點(diǎn)（x0，f（x0））的非豎直直線（即：不平行于y軸的直線），其中常數(shù)A為該直線的斜率。

因此，一元函數(shù)f（x）在一點(diǎn)可微的定義可以重新描述為：如果存在一條過點(diǎn)（x0，f（x0））的非豎直直線近似替代點(diǎn)（x0，f（x0））附近的曲線f（x），使得誤差達(dá)到O（Δx），則函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0處可微。

但是這種幾何解釋仍然不夠直觀，究竟怎樣的直線才能使得近似替代的誤差達(dá)到O（Δx）呢？從上文中我們不得而知！從而引入一元函數(shù)可微的充要條件。

定理1[2] 函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0可微的充要條件是函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0可導(dǎo)，且A=f '（x0）。

定理1告訴我們，如果滿足誤差能夠達(dá)到O（Δx）的直線確實(shí)存在，則該直線的斜率A=f '（x0），即該直線必為點(diǎn)（x0，f（x0））處的切線。

于是一元函數(shù)f（x）在一點(diǎn)處可微的幾何意義為：如果曲線y=f（x）在點(diǎn)（x0，f（x0））處有一條不平行于y軸的切線，則函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)（x0，f（x0））處可微，或者可以更形象地解釋為：將曲線f（x）在點(diǎn)（x0，f（x0））附近放大，當(dāng)放大到某一程度，曲線看上去像一條非豎直的直線，則函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0可微。這比單純從（1）式去理解函數(shù)可微的含義要直觀形象很多。

反之，如曲線f（x）在點(diǎn)（x0，f（x0））處沒有非豎直的切線，則函數(shù)f（x）在點(diǎn)（x0，f（x0））處不可微，即只有三種情況不可微：（1）曲線不連續(xù)，則不可微（如圖1（a））;（2）曲線連續(xù)但出現(xiàn)尖點(diǎn)，則不可微，例如：y=|x|在點(diǎn)x=0處為尖點(diǎn)，曲線在尖點(diǎn)處沒有切線，所以不可微（如圖1（b））;（3）曲線連續(xù)但出現(xiàn)豎直切線，則不可微，例如：在點(diǎn)x=0處有豎直切線（紅色實(shí)線），所以不可微（如圖1（c））。

（a）曲線在x0處不連續(xù) ? ? ? ? （b） 曲線在x=0處為尖點(diǎn)不可微 ? ?（c）曲線在x=0處有豎直切線

接著，再從幾何角度分析函數(shù)f（x）在一點(diǎn)微分的概念，由定理1可知，f（x）在點(diǎn)x0處的微分為：dy=f '（x0）Δx，習(xí)慣上Δx=dx，則dy=f '（x0）dx。

從圖2[2]中可以看出，dy=f '（x0）dx正是圖2中的線段PM，其中藍(lán)色直線為曲線f（x）在點(diǎn)x0處的切線。因此，對(duì)于微分dy我們可以這樣理解：當(dāng)對(duì)自變量x進(jìn)行細(xì)分，得到x的微分dx，則因變量y也相應(yīng)地進(jìn)行了細(xì)分，即圖2中的線段PN，此時(shí)將點(diǎn)（x0，f（x0））處的切線近似替代點(diǎn)（x0，f（x0））附近的曲線，即用線段PM代替線段PN，便得到因變量的微分dy=f '（x0）dx。

綜上所述，定義1蘊(yùn)含著“無限細(xì)分，以直代曲”的深刻思想，這也是后續(xù)學(xué)習(xí)積分概念的基礎(chǔ)，積分正是微分的相反過程，即“無限求和”，而積分符號(hào)“∫”是一個(gè)拉長的字母“S”，也表示著“求和（summa）”的意思。在求不規(guī)則圖形的面積和體積，以及曲線的弧長等問題中，所利用的“微元法”正是“無限細(xì)分，無限求和”思想的重要體現(xiàn)，即：先無限細(xì)分，再在局部上“以不變代變”或“以直代曲”，求得所求量的近似值，然后在無限變化的過程中實(shí)現(xiàn)從“近似”到“精確”的轉(zhuǎn)變，從而得到所求量[5]。另外“微分”概念雖然與“導(dǎo)數(shù)”概念互為充要條件，相互等價(jià)，但并不是多余的概念，兩者反映的問題是完全不一樣的，“導(dǎo)數(shù)”表示函數(shù)在一點(diǎn)處自變量變化所引起的函數(shù)因變量變化的快慢程度，而“微分”表示函數(shù)在一點(diǎn)處自變量的微小變化所引起的函數(shù)因變量改變的近似值[4]。

3 多元函數(shù)全微分教學(xué)新探

定義2[6] 設(shè)函數(shù)z=f（x，y）在點(diǎn)（x0，y0）的某鄰域內(nèi)有定義，如果函數(shù)在點(diǎn)（x0，y0）的全增量

Δz=f（x0+Δx，y0+Δy）-f（x0，y0）

可表示為

Δz=AΔx+BΔy+O（ρ） ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （5）

其中A、B不依賴于Δx，Δy而僅與x0、y0有關(guān)，則稱函數(shù)z=f（x，y）在點(diǎn)（x0，y0）可微分，而AΔx+BΔy稱為函數(shù)z=f（x，y）在點(diǎn)（x0，y0）的全微分，記作dz，即

dz=AΔx+BΔy.

不難發(fā)現(xiàn)，定義2是定義1的推廣，因此定義2的幾何意義可以從定義1的幾何意義推廣而來。將（5）式等價(jià)變形為：

f（x0+Δx，y0+Δy）=f（x0，y0）+AΔx+BΔy+O（ρ） ? ? ? ? ? ? ?（6）

令x=x0+Δx，y=y0+Δy，則（6）式等價(jià)于

f（x，y）=f（x0，y0）+A（x-x0）+B（y-y0）+O（ρ） ? ? ? ? ? ? ? （7）

其中為xoy平面上點(diǎn)（x0，y0）與點(diǎn)（x0+Δx，y0+Δy）之間的距離，（7）式左端表示點(diǎn)（x0，y0，f（x0，y0））附近的曲面，將（7）式右端前三項(xiàng)的和記為

z=f（x0，y0）+A（x-x0）+B（y-y0），（8）

式為一個(gè)三元一次方程，且點(diǎn)（x0，y0，f（x0，y0））滿足（8）式，由空間解析幾何的知識(shí)可知：（8）式表示一張通過點(diǎn)（x0，y0，f（x0，y0））的平面，且該平面法向量為n=（A，B，-1），又因?yàn)榉ㄏ蛄縩不可能與z軸垂直，所以該平面不與z軸平行，是一張非豎直的平面。

因此，二元函數(shù)f（x，y）在一點(diǎn)可微的定義可以重新描述為：如果存在一張過點(diǎn)P（x0，y0，f（x0，y0））的非豎直平面近似替代點(diǎn)P（x0，y0，f（x0，y0））附近的曲面f（x，y），使得誤差達(dá)到O（ρ），則函數(shù)f（x，y）在點(diǎn)（x0，y0）處可微。

上述二元函數(shù)f（x，y）可微的幾何解釋仍然不直觀，繼續(xù)給出函數(shù)f（x，y）在一點(diǎn)可微的必要條件。

定理2[6]（可微的必要條件） 如果函數(shù)z=f（x，y）在點(diǎn)（x0，y0）可微分，則該函數(shù)在（x0，y0）的偏導(dǎo)數(shù)必定存在，且函數(shù)。

定理2告訴我們，如果使得誤差達(dá)到O（ρ）的平面確實(shí)存在，則該平面的法向量為n=（fx（x0，y0），fy（x0，y0），-1），即該平面必為點(diǎn)（x0，y0，f（x0，y0））處的切平面：

z=f（x0，y0）+fx（x0，y0）（x-x0）+fy（x0，y0）（y-y0），

于是二元函數(shù)f（x，y）在一點(diǎn)處可微的幾何意義為：如果曲面z=f（x，y）在點(diǎn)（x0，y0，f（x0，y0））處有一張不平行于z軸的切平面，則函數(shù)z=f（x，y）在點(diǎn)（x0，y0，f（x0，y0））處可微，或者可以更形象地解釋為：將曲面f（x，y）在點(diǎn)（x0，y0，f（x0，y0））附近放大，當(dāng)放大到某一程度，曲面看上去像一條非豎直的平面，則函數(shù)f（x，y）在點(diǎn)（x0，y0）可微。反之，如曲面f（x，y）在點(diǎn)（x0，y0，f（x0，y0））處沒有非豎直的切平面，則函數(shù)f（x，y）在點(diǎn)（x0，y0，f（x0，y0））處不可微。

接著，再分析函數(shù)f（x，y）在點(diǎn)（x0，y0）處全微分的幾何意義。由定理2，當(dāng)函數(shù)z=f（x，y）在點(diǎn)（x0，y0）可微時(shí)，函數(shù)的全微分為，習(xí)慣上，Δx=dx，Δy=dy，則。

如圖3所示[7]，圖中淺藍(lán)色的平面為曲面f（x，y）在點(diǎn)P（x0，y0，f（x0，y0））處的切平面，則函數(shù)f（x，y）在點(diǎn)（x0，y0）處全微分可以這樣理解：對(duì)于曲面z=f（x，y），當(dāng)自變量x，y進(jìn)行細(xì)分，得到微分dx和dy，相應(yīng)地應(yīng)變量z也進(jìn)行了細(xì)分，即圖3中的線段MQ，此時(shí)將點(diǎn)P處的切平面近似替代點(diǎn)P附近的曲面，即用線段MN代替線段MQ，從而得到因變量的微分。這同樣體現(xiàn)出“無限細(xì)分，以直代曲”的思想。

4 全微分與連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)、方向?qū)?shù)以及偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)關(guān)系的幾何解釋

多元函數(shù)微分學(xué)中，連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)、方向?qū)?shù)和全微分的概念，以及這四者之間的關(guān)系是教學(xué)的難點(diǎn)，在國內(nèi)大部分教材上[2-4]，講解這四個(gè)概念之間關(guān)系時(shí)，都是從這四個(gè)概念的定義出發(fā)，通過嚴(yán)格的理論證明或者利用具體反例研究它們之間的關(guān)系，理論性較強(qiáng)。根據(jù)上文，二元函數(shù)可微的幾何意義是曲面具有非豎直切平面，因此我們同樣可以從幾何角度直觀解釋全微分與連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)、方向?qū)?shù)以及偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)之間的關(guān)系。

4.1 全微分與連續(xù)關(guān)系的幾何解釋

二元函數(shù)連續(xù)的幾何意義[8]：連續(xù)函數(shù)的圖形是一個(gè)無孔隙、無裂縫而綿密的曲面。從幾何直觀上，一張曲面如果在一點(diǎn)有非豎直切平面，則曲面在該點(diǎn)肯定無孔隙、無裂縫;反之，如果曲面出現(xiàn)尖點(diǎn)，在尖點(diǎn)處雖然無孔隙、無裂縫，但曲面在尖點(diǎn)處沒有切平面，例如，可以在課堂上給學(xué)生展示這樣一個(gè)小實(shí)驗(yàn)：將一張A4打印紙揉成一個(gè)紙團(tuán)，再展開，A4紙出現(xiàn)了許多折痕，在折痕處紙是沒有孔隙，沒有裂縫的，但是在折痕處它沒有切平面。因此，對(duì)于多元函數(shù)，可微必連續(xù)，但連續(xù)不一定可微。

4.2 全微分與偏導(dǎo)數(shù)、方向?qū)?shù)關(guān)系的幾何解釋

二元函數(shù)z=f（x，y）的偏導(dǎo)數(shù)和方向?qū)?shù)是曲面z=f（x，y）沿不同方向變化率的精確刻畫，其中偏導(dǎo)數(shù)是曲面z=f（x，y）沿坐標(biāo)軸正方向的變化率，方向?qū)?shù)是曲面z=f（x，y）沿任一方向的變化率。

如果曲面z=f（x，y）在一點(diǎn)處具有非豎直切平面，則在曲面z=f（x，y）上過該點(diǎn)的任意曲線都會(huì)在該點(diǎn)都有切線，而這些切線的斜率正是曲面沿該切線方向的變化率，因此從這可以看出，如果函數(shù)z=f（x，y）在一點(diǎn)處可微，則函數(shù)z=f（x，y）在這點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)和方向?qū)?shù)都存在。反之，如圖4所示，曲面在尖點(diǎn)M處沿各個(gè)方向的方向?qū)?shù)都存在，但在曲線上過點(diǎn)M作曲線，曲線在點(diǎn)M 處不具有切線，所以曲面在點(diǎn)M處沒有切平面，因此函數(shù)在一點(diǎn)處僅僅偏導(dǎo)數(shù)或者方向?qū)?shù)存在，則不能推出函數(shù)在該點(diǎn)處可微。

4.3 全微分與偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)關(guān)系的幾何解釋

定理3[6] （可微的充分條件）如果函數(shù)z=f（x，y）的偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)（x，y）連續(xù)，則函數(shù)在該點(diǎn)可微分。

從幾何直觀上，曲面光滑，則曲面一定有切平面。曲面光滑指曲面上各點(diǎn)處都具有切平面，且當(dāng)點(diǎn)在曲面上連續(xù)移動(dòng)時(shí)，切平面也連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)[2]，而法向量和切平面垂直，切平面連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)的同時(shí)，法向量也在連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)。當(dāng)曲面方程為二元函數(shù)z=f（x，y）時(shí)，其法向量為：n=（fx，fy，-1），因此正如定理3所說，當(dāng)偏導(dǎo)數(shù)fx，fy連續(xù)時(shí)，法向量在連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)，則曲面光滑，曲面必有切平面，且此法向量n=（fx，fy，-1）不與z軸垂直，即切平面不與z軸平行，所以對(duì)應(yīng)函數(shù)z=f（x，y）可微。反之，曲面有切平面，但曲面不一定光滑，即函數(shù)z=f（x，y）可微，不能推出偏導(dǎo)數(shù)fx，fy連續(xù)，如下面例1。

例1[8] 函數(shù)

的圖形為：

通過[8]可知，函數(shù)f（x，y）在點(diǎn)（0，0）處可微，而偏導(dǎo)數(shù)fx，fy在點(diǎn)（0，0）不連續(xù)，即曲面在點(diǎn)（0，0）處有切平面z=0，但由于曲面在點(diǎn)（0，0）附近無限震蕩，越接近點(diǎn)（0，0）震蕩的頻率越高，所以曲面在原點(diǎn)（0，0）處不光滑。

5 結(jié)束語

在“微分”和“全微分”的教學(xué)過程中，大部分學(xué)生會(huì)熟練掌握“微分”和“全微分”的計(jì)算方法，但對(duì)“微分”和“全微分”蘊(yùn)含的本質(zhì)思想?yún)s不是很了解。本文在微分和全微分的教學(xué)過程中，避免了抽象、晦澀難懂的理論證明和推導(dǎo)，從幾何角度形象地解釋了“微分”和“全微分”的定義，充分體現(xiàn)出微分的重要思想“無限細(xì)分、以直代曲”。同時(shí)，我們也形象生動(dòng)地給出了全微分與連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)、方向?qū)?shù)以及偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)的關(guān)系。采用新的教學(xué)方法完成“微分”和“全微分”的教學(xué)，學(xué)生普遍反映較好，并且這也為后續(xù)講解“積分”的概念做好充分的準(zhǔn)備。

參考文獻(xiàn)：

[1]William Dunham（著），李伯民，汪軍，張懷勇（譯）. 微積分的歷程—從牛頓到勒貝格[M]. 北京：人民郵電出版社，2017：1.

[2]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系. 高等數(shù)學(xué)上冊(cè)（第6版）[M]. 北京：高等教育出版社，2012：113-116.

[3]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系. 數(shù)學(xué)分析上冊(cè)（第3版）[M]. 北京：高等教育出版社，2002：111-112.

[4]巢湖學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院. 應(yīng)用高等數(shù)學(xué)上冊(cè)[M]. 合肥：中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2016：72-74.

[5]朱家生. 數(shù)學(xué)史[M]. 北京：高等教育出版社，2005：110.

[6]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系. 高等數(shù)學(xué)下冊(cè)（第6版）[M]. 北京：高等教育出版社，2009：70-73.

[7]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系. 數(shù)學(xué)分析下冊(cè)（第3版）[M]. 北京：高等教育出版社，2002：107-115.

[8]滕文凱. 二元函數(shù)微分學(xué)分析性質(zhì)的相互關(guān)系及其幾何意義[J]. 承德民族師專學(xué)報(bào)，1994（2）：1-8.

基金項(xiàng)目：安徽省高等學(xué)校省級(jí)重點(diǎn)教學(xué)研究項(xiàng)目“基于超星學(xué)習(xí)通的混合式教學(xué)模式研究與實(shí)踐——以大學(xué)數(shù)學(xué)公共基礎(chǔ)課為例”（2019jyxm0393）;巢湖學(xué)院校級(jí)一流課程建設(shè)項(xiàng)目“高等數(shù)學(xué)”（chylkc034）;巢湖學(xué)院精品在線開放課程“線性代數(shù)”（ch18zxkc17）;巢湖學(xué)院重點(diǎn)教學(xué)研究項(xiàng)目“基于SPOC和翻轉(zhuǎn)課堂的線性代數(shù)混合式教學(xué)改革與實(shí)踐”（ch19jxyj11）

作者簡介：王珺（1984—），女，安徽安慶人，碩士，講師，研究方向?yàn)橛?jì)算數(shù)學(xué)