例談“絕對(duì)值”帶來(lái)的增效

唐俊才

摘要：“絕對(duì)值”是七年級(jí)數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)重點(diǎn)，也是學(xué)生學(xué)習(xí)的一個(gè)難點(diǎn)。從距離出發(fā)理解絕對(duì)值將是本知識(shí)點(diǎn)的關(guān)鍵所在，在某種意義上說(shuō)，距離是理解絕對(duì)值概念的核心;距離決定絕對(duì)值性質(zhì)的非負(fù)性;距離與數(shù)結(jié)緣再現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想;距離是解決絕對(duì)值相關(guān)問(wèn)題的敲門(mén)磚。拓展“絕對(duì)值”理解的廣度和深度，勢(shì)必帶來(lái)減負(fù)增效的結(jié)果。

關(guān)鍵詞：絕對(duì)值;距離;典例

從以教定學(xué)的原則出發(fā)，絕對(duì)值是學(xué)生剛步入初中學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，也是我們教學(xué)的重點(diǎn)。教師對(duì)“絕對(duì)值”理解的深度和廣度以及教學(xué)所站的高度，將直接決定學(xué)生收獲的是知識(shí)，還是能力，還是思想與方法，甚至影響學(xué)生后繼學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和信心，也是教學(xué)該知識(shí)點(diǎn)減量提效的關(guān)鍵所在。為此，這里與大家分享一下我對(duì)絕對(duì)值得理解和教學(xué)。

一、距離是理解絕對(duì)值概念的核心。

在數(shù)軸上，一個(gè)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值。不難看出，這個(gè)概念的關(guān)鍵詞就是距離，且指兩點(diǎn)之間的距離，其中一點(diǎn)是原點(diǎn)，另一點(diǎn)就是所給數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)。如-5這個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)0之間的距離是5，實(shí)際上就是，因?yàn)樵c(diǎn)所表示的數(shù)是0，所以簡(jiǎn)寫(xiě)成。這樣，實(shí)際上就是數(shù)5與2對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離，學(xué)生就不會(huì)簡(jiǎn)單理解為，僅僅看成3的絕對(duì)值。對(duì)數(shù)抽上任意兩點(diǎn)間的距離公式學(xué)生也就容易理解了。同時(shí)，從“距離”出發(fā)定義“絕對(duì)值”，突出了相反數(shù)、絕對(duì)值兩個(gè)概念之間的緊密聯(lián)系，即互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)就是絕對(duì)值相等而符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)。

二、距離決定絕對(duì)值性質(zhì)的非負(fù)性。

絕對(duì)值表示的是數(shù)軸上的一段距離，也就是數(shù)軸上數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)與原點(diǎn)之間的線段長(zhǎng)度。這就決定了絕對(duì)值表示的數(shù)不可能為負(fù)數(shù)。因此一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值只能是它本身，一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值只能是它的相反數(shù)，零的絕對(duì)值是零，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，其絕對(duì)值最小為0.如“當(dāng)為何值時(shí)，有最小值或有最大值”;又如：“已知，求的值”。實(shí)際上都是絕對(duì)值的非負(fù)性決定其最小值為0，獲得解決問(wèn)題的方法。

三、距離與數(shù)結(jié)緣再現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想。

數(shù)與形是數(shù)學(xué)中兩個(gè)最古老、最基本的元素，是數(shù)學(xué)大廈深處的兩塊基石。所有數(shù)學(xué)問(wèn)題都圍繞數(shù)與形的提煉、演變、發(fā)展而展開(kāi)。在初中，數(shù)軸的出現(xiàn)第一次把數(shù)與點(diǎn)對(duì)應(yīng)，呈現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想;緊接著絕對(duì)值概念的出現(xiàn)，實(shí)際上是把一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值演繹成數(shù)軸上數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)與原點(diǎn)之間線段的長(zhǎng)度，這里隱含著數(shù)與點(diǎn)的對(duì)應(yīng)、距離與數(shù)的絕對(duì)值對(duì)應(yīng)，這種數(shù)學(xué)結(jié)合思想不是我們老師硬塞給學(xué)生，而是通過(guò)分析找到形是什么，數(shù)是什么，他們之間是怎樣對(duì)應(yīng)的？以此讓學(xué)生自發(fā)總結(jié)出數(shù)形結(jié)合思想，達(dá)到觸類(lèi)旁通之目的。

四、距離是解決絕對(duì)值相關(guān)問(wèn)題的敲門(mén)磚。

在絕對(duì)值相關(guān)問(wèn)題中，抓住絕對(duì)值概念的關(guān)鍵詞“距離”，諸多問(wèn)題都將化繁為簡(jiǎn)，化難為易。

（一）絕對(duì)值的運(yùn)算問(wèn)題

例：化簡(jiǎn)下列各式

分析：此題的核心是絕對(duì)值，絕對(duì)值的實(shí)質(zhì)是“距離”，所以不管絕對(duì)值里面符號(hào)多么復(fù)雜，其結(jié)果一定非負(fù)，很容易得出（1）結(jié)果為如果絕對(duì)值外面有其它符號(hào)或數(shù)，實(shí)際上就是絕對(duì)值出來(lái)的非負(fù)數(shù)與絕對(duì)值外面的數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，（2）由于，因此絕對(duì)值后得出的結(jié)果是，再與-2相乘得最后結(jié)果。這比利用絕對(duì)值的代數(shù)意義求解來(lái)得更快更準(zhǔn)。

（二）絕對(duì)值中的實(shí)際問(wèn)題

例：某司機(jī)在筆直的東西路上開(kāi)車(chē)接送乘客，他早上從A地出發(fā)，如以向東行駛為正方向，他一天的行程記錄如下：（單位：千米）

-12，+5，+15，-24，-3，+10，+9

（1）該司機(jī)最后是否回到了A地？

（2）若該車(chē)每公里好有0.08升，則這車(chē)一天共耗有多少升？

分析：（1）從加法的角度分析，和為0即回到A地，否則沒(méi)有回到A地;從距離角度考慮，東西行駛里程等距即回到A地，也就是看正數(shù)的絕對(duì)值和是否與負(fù)數(shù)的絕對(duì)值和相等。（2）本小題關(guān)鍵是求一天的行程，而絕對(duì)值反映的就是距離。所以里程等于各數(shù)的絕對(duì)值和。

（三）絕對(duì)值中的參數(shù)問(wèn)題

例：已知，求

分析：從一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身，一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)思考，得，解得或-2;從距離角度思考，與3對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離為5，那么對(duì)應(yīng)的點(diǎn)就應(yīng)該在3對(duì)應(yīng)點(diǎn)的左右兩邊，且距離5個(gè)單位，即可求得或-2。

（四）絕對(duì)值中的非負(fù)問(wèn)題

（五）絕對(duì)值的化簡(jiǎn)求值問(wèn)題

例：（1）有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的位置如圖所示：

（2）已知a、b、c是非零有理數(shù)，且a+b+c=0，求的值。

分析：（1）根據(jù)數(shù)軸上個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)，先判斷絕對(duì)值里面各式的符號(hào)，再由絕對(duì)值的代數(shù)意義：一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身，一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，零的絕對(duì)值是零，去掉絕對(duì)值符號(hào)即可求得值為-2（2）根據(jù)a、b、c是非零實(shí)數(shù)，且a+b+c=0可知a，b，c為兩正一負(fù)或兩負(fù)一正，按兩種情況分別討論代數(shù)式的可能的取值，或-1，或1，所以其值為0。

（六）絕對(duì)值中的極值問(wèn)題

例1：數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離等于這兩點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)的差的絕對(duì)值.例：如圖所示點(diǎn)A、B在數(shù)軸上分別對(duì)應(yīng)的數(shù)為，則A、B兩點(diǎn)間的距離表示為 。

【參考文獻(xiàn)】

[1]《數(shù)學(xué)教育》之“絕對(duì)值的非負(fù)性，以小見(jiàn)大”

[2]《小議絕對(duì)值得概念及運(yùn)用》江蘇 劉顯偉