變系數(shù)Cattaneo方程的有限差分法

畢彥明 尹 哲

( 山東師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，250358，濟(jì)南 )

1 引 言

傳統(tǒng)的Fourier定律和Fick定律廣泛并成功地應(yīng)用于研究熱傳導(dǎo)和擴(kuò)散問題中.由于這兩個定律均不涉及時間項,其中就隱含了無限的傳播速度.嚴(yán)格來說,這是非物理的研究領(lǐng)域.Cattaneo模型[1]提供了一個以有限傳播速度為特征的熱傳導(dǎo)模型.Ghazizadeh等人[2]給出了分?jǐn)?shù)階Cattaneo方程的顯式和隱式有限差分算法,在對顯式差分格式進(jìn)行穩(wěn)定性分析的時候引入了CFL數(shù),并證明了該格式的穩(wěn)定性條件.黃雅婷等人[3]給出了Cattaneo方程的四階緊致差分格式.然而,一些研究表明,在某些實際應(yīng)用中擴(kuò)散系數(shù)會隨著空間或時間變化,例如,在由不同熱傳導(dǎo)性質(zhì)材料組成的混合材料的熱傳導(dǎo)問題中,擴(kuò)散系數(shù)會隨著空間的變化而變化,并滿足如下的Cattaneo方程

(1)

其中Ω:={(x,t)∈R2:0≤x≤L,0

變系數(shù)方程常用于描述一些與非均勻介質(zhì)相關(guān)的傳播過程,如聲波在非均勻無損流體介質(zhì)中的傳播[4],非均勻介電常數(shù)介質(zhì)中電偶極子的原子發(fā)射率[5],非均勻介質(zhì)中外周期勢對Levy飛行的影響[6]等.R Ciegis[7]提出了數(shù)值求解雙曲型導(dǎo)熱問題,其中導(dǎo)熱系數(shù)與時間相關(guān),構(gòu)造并研究了顯式和隱式歐拉格式,為了使隱式歐拉格式規(guī)則化,提出了一種簡單的時間步長和空間步長之間的線性關(guān)系,自動引入數(shù)值粘性,并給出了數(shù)值實驗結(jié)果.趙璇等人[8，9]給出了帶有可變擴(kuò)散系數(shù)的分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程的一個緊致有限差分格式和一個box-type有限差分格式，并給出了分?jǐn)?shù)階變系數(shù)Cattaneo方程的緊致C-N格式. 李曉麗等人[10]介紹了分?jǐn)?shù)階Cattaneo方程的塊中心有限差分法,其擴(kuò)散系數(shù)也是與時間相關(guān)的,并證明了該方法的無條件穩(wěn)定性和全局收斂性.在非均勻介質(zhì)中,擴(kuò)散系數(shù)在空間變化,假設(shè)D(x)足夠光滑且滿足0

2 格式建立

在點(xi,tk)處,由泰勒展開式得

(2)

(3)

(4)

(5)

由(4)式和(5)式相減并除以h,得

(6)

其中Rik=O(τ2+h2).

整理可得顯式差分格式為

(7)

2.2隱式差分格式下面,提出一種無條件穩(wěn)定的隱式差分格式.用第k+1層和第k-1層去逼近空間變系數(shù)項,令

(8)

結(jié)合(2)式、(3)式、(6)式和(8)式可得

整理得到隱式差分格式為

(9)

該隱式差分格式是無條件穩(wěn)定的,其截斷誤差為O(τ2+h2).

3 數(shù)值模擬

算例1令方程(1)中ε=0.1,D(x)=x2+1,u0(x)=sinπx,u1(x)=0, 精確解u(x,t)=t3sinπx,其中源項為

f(x)=6ε2tsinπx+3t2sinπx+π2t3sinπx(x2+1)-2xπt3cosπx，

應(yīng)用差分格式(7)和(9)求解上述問題.

表1 顯式格式L2誤差

表2 隱式格式L2誤差

由表1和表2可以看出,顯式格式和隱式格式都是關(guān)于空間與時間2階收斂的.