規(guī)則波中船舶艏搖運(yùn)動失穩(wěn)及橫甩臨界波高分析

王麗元，李?焱，封培元，劉?震，劉?崢，唐友剛

規(guī)則波中船舶艏搖運(yùn)動失穩(wěn)及橫甩臨界波高分析

王麗元1，李?焱1，封培元2，劉?震3，劉?崢1，唐友剛1

(1. 天津大學(xué)建筑工程學(xué)院水利工程仿真與安全國家重點(diǎn)實(shí)驗室，天津 300350；2. 上海市船舶工程重點(diǎn)實(shí)驗室，上海 200011；3. 中國船舶及海洋工程設(shè)計研究院，上海 200011)

本文研究了船舶艏搖運(yùn)動失穩(wěn)及發(fā)生橫甩運(yùn)動的臨界波高．建立船舶艏搖運(yùn)動響應(yīng)單自由度方程模擬船舶艏搖運(yùn)動，以內(nèi)傾船為例，分別采用多尺度法和龍格庫塔法求解艏搖運(yùn)動方程．基于多尺度法求出了運(yùn)動方程的1階近似解，給出了艏搖運(yùn)動是否發(fā)生失穩(wěn)的條件以及穩(wěn)定運(yùn)動的參數(shù)域．針對解析方法得到的穩(wěn)定域和非穩(wěn)定域范圍，分別選取穩(wěn)定域和不穩(wěn)定域內(nèi)的典型工況，數(shù)值求解船舶橫艏搖運(yùn)動方程，得到船舶艏搖角的運(yùn)動時歷曲線，通過數(shù)值方法對解析結(jié)果進(jìn)行驗證．分析遭遇頻率為船舶固有頻率的2倍及不同波高下的運(yùn)動響應(yīng)特性，通過艏搖角的時間歷程曲線和相圖判斷船舶是否發(fā)生橫甩失穩(wěn)現(xiàn)象，得出了船舶的艏搖運(yùn)動幅值隨波高的變化趨勢．船舶在2倍頻下的艏搖運(yùn)動隨波高變化出現(xiàn)分岔，由分岔圖確定船舶發(fā)生橫甩的臨界波高．研究表明，本文建立的艏搖運(yùn)動和橫甩分析模型，采用非線性動力學(xué)的分岔方法分析船舶的艏搖運(yùn)動失穩(wěn)和預(yù)報橫甩的臨界條件，可以用于進(jìn)行波浪中船舶的橫甩分析，是一種可行的方法．船舶艏搖運(yùn)動方程中的參數(shù)激勵項隨波高的增加逐漸增加，達(dá)到臨界波高后，船舶的艏搖角響應(yīng)幅值會大幅度地增加，船舶發(fā)生橫甩失穩(wěn)運(yùn)動．

橫甩；規(guī)則波；非線性動力學(xué)；分岔

船舶橫甩運(yùn)動失穩(wěn)模式是指船舶在波浪中航行時，舵對船舶失去操縱作用，出現(xiàn)大幅轉(zhuǎn)艏的運(yùn)動，在這個過程中船舶可能伴隨大幅橫搖[1]．Vassalos?等[2]綜合過去對船舶橫甩現(xiàn)象的研究進(jìn)展，認(rèn)為隨浪航行時發(fā)生橫甩的原因為船舶的縱向和橫向運(yùn)動之間存在的強(qiáng)非線性耦合作用，提出了船舶發(fā)生橫甩運(yùn)動的兩種運(yùn)動失穩(wěn)模式：第1種模式是船舶以一個接近波速的高航速前進(jìn)時，船舶遇到的遭遇頻率很低，船舶在這個波浪條件的遭遇頻率下可能會突然發(fā)生大幅度的艏搖運(yùn)動，騎浪是橫甩的前提條件；第2種橫甩失穩(wěn)模式是船舶的累積艏搖運(yùn)動，此時波浪的條件為波陡較大，但是船的航速并不是很高，此時船舶與波浪之間的遭遇頻率也不高，在此條件下，船舶經(jīng)歷幾個波浪的沖擊后會發(fā)生大幅艏搖運(yùn)動．陶醉?等[3-4]認(rèn)為船舶的橫甩運(yùn)動是一種分岔行為，即符合第2種橫甩模式，采用非線性動力學(xué)的方法求解參強(qiáng)激勵聯(lián)合作用下的船舶艏搖運(yùn)動非線性響應(yīng)方程，研究表明船舶在遇到較小的參數(shù)激勵和強(qiáng)迫激勵后，船體會發(fā)生大幅的艏搖運(yùn)動，并最終導(dǎo)致船舶的舵失去控制發(fā)生橫甩．Araki等[5]和Umeda等[6-8]、唐友剛?等[9]、劉亞柳[10]建立船舶運(yùn)動4自由度非線性系統(tǒng)運(yùn)動方程，計算了船舶運(yùn)動數(shù)學(xué)模型中平衡點(diǎn)的不穩(wěn)定流形．通過數(shù)值模擬，驗證非線性動力學(xué)中的異宿分岔理論可以很好地求解船體橫甩傾覆的臨界條件．于立偉等[11]基于船舶操縱性和耐波性統(tǒng)一理論，建立6自由度弱非線性統(tǒng)一模型，研究船舶騎浪/橫甩運(yùn)動，分別對船體的弗勞德數(shù)和波浪條件進(jìn)行敏感性分析，驗證6自由度弱非線性統(tǒng)一模型在研究船舶運(yùn)動失穩(wěn)問題中的正確性．顧民等[12]通過模型試驗研究船舶的橫甩運(yùn)動特性，Hashimoto等[13]通過數(shù)值計算與模型試驗的比較來檢驗波浪縱蕩力，研究非線性橫搖水動力對船舶橫甩傾覆數(shù)值預(yù)報的重要性.另外，也可采用第2代完整穩(wěn)性直接評估的方法研究預(yù)報船舶的橫甩運(yùn)動[14]．

目前針對第2種橫甩模式的研究較少，本文建立了船舶艏搖運(yùn)動響應(yīng)的單自由度方程，以某內(nèi)傾船為例，分別采用非線性動力學(xué)的多尺度法和數(shù)值解法龍格庫塔法來求解艏搖運(yùn)動方程．基于多尺度法求解1階近似解，給出艏搖運(yùn)動是否發(fā)生失穩(wěn)的條件，即參數(shù)激勵項和遭遇頻率與類固有頻率之間的頻率比之間的關(guān)系，在二者的組合下可以確定船舶是否發(fā)生橫甩失穩(wěn)現(xiàn)象，給出穩(wěn)定域范圍．從穩(wěn)定域和不穩(wěn)定域中選取典型工況，采用龍格庫塔法計算船舶在遭遇頻率為固有頻率的2倍、不同波高下的運(yùn)動響應(yīng)特性，通過分析艏搖角時間歷程和相圖判斷船舶是否發(fā)生橫甩失穩(wěn)現(xiàn)象，通過數(shù)值方法對解析解進(jìn)行驗證．同時，得出了船舶的艏搖運(yùn)動幅值隨波高的變化趨勢．基于2倍頻下的船舶艏搖運(yùn)動隨波高變化的分岔圖，確定船舶發(fā)生艏搖失穩(wěn)運(yùn)動的臨界波高．

1?建立艏搖運(yùn)動方程

船舶艏搖運(yùn)動的船體坐標(biāo)系固定在船體上，以船舶的重心為原點(diǎn)，具體的船體坐標(biāo)系如圖1所示．

經(jīng)典的船舶運(yùn)動的操縱性方程為

在本模型中假設(shè)舵的舵角轉(zhuǎn)動幅度不大，可認(rèn)為船在縱蕩方向上的船速為常數(shù)，忽略式(1)中的縱向運(yùn)動方程，得到式(2)[15-16]．

將式(3)代入式(2)中，將其進(jìn)行無量綱化，即

式中：為船長；為吃水．

利用式(4)求出船舶的艏搖和橫蕩運(yùn)動，引入操舵?zhèn)鬟f函數(shù)并對方程兩側(cè)做拉普拉斯變換，可得

在＝0時刻，考慮到

式(7)可以用來描述船舶的艏搖響應(yīng)運(yùn)動，略去高階項，將其化簡后，得到簡化的船舶艏搖響應(yīng)運(yùn)動方程[17]為

式(8)表示船舶的艏搖運(yùn)動，所以船舶艏搖運(yùn)動的方程可以寫為

在式(9)中引入船舶在波浪中受到的艏搖波浪力矩，則式(9)可改寫為

1.1?K和T參數(shù)的確定

本文采用采用回歸公式估算的方法確定內(nèi)傾船的、參數(shù)．李宗波等[18]增加船舶的數(shù)量和種類，通過擬合給出無量綱化的、參數(shù)的估算公式為

無量綱化的、參數(shù)與、參數(shù)之間的關(guān)系可以表示為

本文的無量綱化的、參數(shù)采用經(jīng)驗公式(12)求出，之后將其代入到式(13)中求出內(nèi)傾船的艏搖響應(yīng)運(yùn)動的和參數(shù)．

1.2?舵控制參數(shù)確定

本文使用自動舵控制系統(tǒng)，選擇比例微分舵(PD舵)，其舵控制規(guī)律[3]為

1.3?波浪力矩計算

將前面計算得到的各個參數(shù)代入到式(11)中，則得到船舶在波浪中的艏搖運(yùn)動方程為

1.4?艏搖運(yùn)動方程

令

將其代入到式(16)中，將艏搖運(yùn)動方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)的微分方程，則船舶的艏搖非線性運(yùn)動方程為

2?算?例

以某內(nèi)傾船為例，分別采用解析方法和數(shù)值方法判斷內(nèi)傾船是否發(fā)生橫甩運(yùn)動，給出內(nèi)傾船發(fā)生橫甩運(yùn)動的臨界條件，并通過兩種方法結(jié)果的比較，驗證解析方法的正確性．內(nèi)傾船的主尺度如表1所示．

表1?內(nèi)傾船主尺度

Tab.1?Main dimensions of the tumblehome

船舶艏搖波浪力矩可采用水動力計算軟件SESAM求解，將HydroD模塊中計算得到的結(jié)果導(dǎo)出不同浪向下的艏搖波浪力矩，如圖2所示．

圖2?艏搖1階波浪力矩函數(shù)

2.1?解析方法計算結(jié)果

將式(20)代入式(19)，整理得到

假設(shè)式(21)的解為

根據(jù)經(jīng)典多尺度法得到方程的1階近似解[15]為

根據(jù)消除永年項條件，即

令式(26)的近似解為

其中r、i都表示為實(shí)數(shù)．將式(27)代入式(26)中后，將方程的實(shí)部和虛部分離開，可得

設(shè)方程(28)的解為

其中r和i都為常數(shù)．將式(29)代入到式(28)中，可得到

由式(30)可以得到艏搖運(yùn)動的穩(wěn)定域范圍如圖3所示．圖中上部區(qū)域是不穩(wěn)定區(qū)域，即船舶艏搖運(yùn)動發(fā)生失穩(wěn)的條件，由圖中可以看出，頻率比為2時，船舶艏搖運(yùn)動方程中的參數(shù)激勵項在達(dá)到0.420左右時就會發(fā)生船舶的橫甩失穩(wěn)運(yùn)動，而在其他頻率比下，船舶的艏搖運(yùn)動不易失穩(wěn)即難以出現(xiàn)橫甩．通過解的穩(wěn)定性分析，可以確定發(fā)生橫甩的臨界條件．

圖3?解的穩(wěn)定性區(qū)域

2.2?數(shù)值模擬計算結(jié)果

通過第2.1節(jié)解析方法的研究，針對表1給出的內(nèi)傾船，當(dāng)船舶的弗勞德數(shù)＝0.34且波浪的波長與船長之間的比例為2時，遭遇頻率為艏搖類固有頻率的2倍，即為研究的1/2亞諧共振條件，船舶容易發(fā)生艏搖運(yùn)動失穩(wěn)．針對圖3的計算結(jié)果，分別選取穩(wěn)定域和不穩(wěn)定域內(nèi)的兩個典型工況，采用龍格庫塔數(shù)值方法求解船舶艏搖運(yùn)動方程(17)，得到船舶艏搖角的時間歷程曲線，對解析結(jié)果進(jìn)行驗證．

當(dāng)波高為0.5m時，此時參數(shù)激勵項＝0.396，根據(jù)圖3可知，此時處于解的穩(wěn)定區(qū)域，船舶艏搖運(yùn)動響應(yīng)時間歷程和相圖分別如圖4和圖5所示．從圖4中可以看出，當(dāng)船舶運(yùn)動80s之后，最終進(jìn)行穩(wěn)定的周期艏搖運(yùn)動，艏搖運(yùn)動的幅值為0.05rad，船舶在此波浪條件下未發(fā)生橫甩失穩(wěn)運(yùn)動，因為波高為0.5m時，參數(shù)激勵幅值僅為0.396，此時參數(shù)激勵項還很小，不能激起系統(tǒng)的亞諧共振，所以在此波浪條件下，船舶艏搖運(yùn)動的相圖構(gòu)成一個閉合的圓圈，此時船舶的艏搖運(yùn)動是穩(wěn)定的，未發(fā)生失穩(wěn)現(xiàn)象，與圖3結(jié)果相符．

圖4?波高0.5m艏搖角時間歷程曲線

圖5?波高0.5m船舶艏搖運(yùn)動相圖

當(dāng)波高取1.0m時，此時參數(shù)激勵項＝0.566，根據(jù)圖3可知，此時處于解的不穩(wěn)定區(qū)域，在此工況下，船舶艏搖運(yùn)動響應(yīng)時間歷程曲線和相圖如圖6和圖7所示．由圖6看出，船舶在經(jīng)過幾個周期的艏搖后，艏搖運(yùn)動的幅值越來越大，會逐漸超過0.79rad，即艏搖擺動的幅度超過45°，此時船舶的艏搖運(yùn)動失去穩(wěn)定性，發(fā)生橫甩現(xiàn)象．分析其原因如下：當(dāng)遭遇頻率為固有頻率的2倍、波高增大到1.0m時，參數(shù)激勵項增加，此時參數(shù)激勵對艏搖運(yùn)動的作用明顯增加，引起艏搖運(yùn)動發(fā)生亞諧共振，導(dǎo)致船舶艏搖運(yùn)動喪失穩(wěn)定性，船舶發(fā)生橫甩現(xiàn)象．從圖7中可以看到，艏搖運(yùn)動的相圖此時不再是一個閉合圓圈，而是螺旋線，即運(yùn)動幅值不斷增加．此時船舶的艏搖運(yùn)動不穩(wěn)定，發(fā)生艏搖失穩(wěn)現(xiàn)象，即出現(xiàn)橫甩，與圖3結(jié)果相符．

圖6?波高1.0m艏搖角時間歷程曲線

圖7?波高1.0m船舶艏搖運(yùn)動相圖

考慮2倍頻率關(guān)系，改變波高，計算艏搖運(yùn)動響應(yīng)幅值，計算結(jié)果如圖8所示．根據(jù)圖8，當(dāng)波高小于0.72m時，船舶的艏搖運(yùn)動的響應(yīng)幅值低于0.79rad，即低于45°，所以不會發(fā)生橫甩運(yùn)動．因為在此波浪條件下，系統(tǒng)的參數(shù)激勵項很小，不足以引起船舶的艏搖運(yùn)動的失穩(wěn)．當(dāng)波浪的波高大于0.72m時，船舶的艏搖角的響應(yīng)幅值就會高于45°，艏搖運(yùn)動將會喪失穩(wěn)定性，船舶發(fā)生橫甩運(yùn)動．隨著波高不斷增加，艏搖運(yùn)動方程中的參數(shù)激勵逐漸增加，當(dāng)波高大于0.72m時，參數(shù)激勵項也達(dá)到了引起船舶艏搖運(yùn)動的臨界失穩(wěn)條件，所以船舶的艏搖角響應(yīng)幅值會大幅度增加，導(dǎo)致橫甩發(fā)生．

圖8?2倍頻艏搖角響應(yīng)幅值隨波高變化

2.3?橫甩運(yùn)動分岔特性的時域驗證

波浪條件如前所述，以波浪的波高為分岔參數(shù)，畫出船舶艏搖角響應(yīng)值隨波高變化的分岔圖，如圖9所示．從圖中可以看出，在2倍頻波浪條件下，當(dāng)波浪的波高低于0.7m時，系統(tǒng)發(fā)生穩(wěn)定的周期運(yùn)動，在分岔圖上表示為一個紅色的點(diǎn)．當(dāng)波浪的波高大于0.7m時，對應(yīng)分岔圖中的藍(lán)色圓點(diǎn)，表示發(fā)生橫甩失穩(wěn)運(yùn)動，如第2.2節(jié)中艏搖角時間歷程曲線所示，艏搖角越來越大，船舶發(fā)生橫甩失穩(wěn)現(xiàn)象．

圖9?2倍頻下船舶艏搖角隨波高變化分岔圖

為了進(jìn)一步研究艏搖運(yùn)動方程中的分岔特性，取波高分別為0.71m、0.72m及0.73m，計算船舶艏搖運(yùn)動時間歷程曲線，如圖10所示．

圖10?2倍頻下3種波高時船舶艏搖角時間歷程曲線

從圖10的時間歷程曲線可以看出，在遭遇頻率為船舶艏搖運(yùn)動類固有頻率2倍的條件下，當(dāng)波高為0.71m時，船舶的時間歷程曲線是往復(fù)搖擺運(yùn)動，運(yùn)動的幅值為0.1rad，此時參數(shù)激勵的幅值未達(dá)到亞諧共振的激勵臨界值，船舶的艏搖運(yùn)動是穩(wěn)定的，并未發(fā)生橫甩失穩(wěn)運(yùn)動；當(dāng)波高增加到0.72m時，艏搖運(yùn)動的時間歷程發(fā)生改變，艏搖角逐步增大，艏搖運(yùn)動失穩(wěn)，出現(xiàn)橫甩，原因是此時參數(shù)激勵項的值隨波高增大，達(dá)到了艏搖運(yùn)動亞諧共振對應(yīng)的參數(shù)激勵項臨界值，所以系統(tǒng)發(fā)生了亞諧共振現(xiàn)象；當(dāng)波高繼續(xù)增加到0.73m后，艏搖運(yùn)動時歷曲線與0.72m波高下對應(yīng)的艏搖運(yùn)動曲線也明顯不同，艏搖運(yùn)動發(fā)散的速度明顯加快，分析其原因是強(qiáng)參數(shù)激勵下艏搖運(yùn)動發(fā)生了亞諧共振現(xiàn)象．圖10中時間歷程曲線與圖9中的分岔圖所對應(yīng)的分岔參數(shù)值吻合，進(jìn)一步驗證了船舶艏搖運(yùn)動中的分岔特性．

3?結(jié)?論

(1) 本文建立的艏搖運(yùn)動和橫甩分析模型，可以用于波浪中船舶的橫甩分析．

(2) 本文采用非線性動力學(xué)的分岔方法，分析船舶的艏搖運(yùn)動失穩(wěn)和預(yù)報橫甩的臨界條件，是一種可行的方法．

(3) 船舶艏搖運(yùn)動方程中的參數(shù)激勵項隨著波高的增加逐漸增加，達(dá)到臨界波高后，船舶的艏搖角響應(yīng)幅值會大幅度增加，船舶發(fā)生橫甩失穩(wěn)運(yùn)動．

(4) 當(dāng)遭遇頻率為船舶艏搖類固有頻率2倍、超過臨界波高時，船舶極易發(fā)生橫甩從而導(dǎo)致傾覆．船舶運(yùn)營時要?dú)w避危險工況，保證船舶的航行安全．

下一步工作是開展相關(guān)水池模型試驗，驗證本文理論分析結(jié)果．同時，以更多的船型參數(shù)資料為基礎(chǔ)，研究船型參數(shù)對船舶艏搖運(yùn)動穩(wěn)定性的影響，為工程實(shí)踐提供建議和指導(dǎo)．

致?謝：

中國船舶工業(yè)集團(tuán)公司中國船舶及海洋工程設(shè)計研究院范佘明研究員對于本文的研究工作進(jìn)行了多次指導(dǎo)，在此深表謝意．

［1］ Cristian A，Belev B. Considerations on broaching phenomenon and its influence on loss of ship stability in following seas[J]. Analele Universitatii Maritime Constanta，2013，14(20)：13-16.

［2］ Vassalos D，Maimun A. Broaching-to：Thirty years on[C]//Proceedings of International Conference on Stability on Ships in Ocean Vehicles. Florida，USA，1994.

［3］ 陶?醉，張緯康，王?波. 船舶低速橫甩機(jī)理研究[J]. 船舶力學(xué)，2005，9(1)：36-42.

Tao Zui，Zhang Weikang，Wang Bo. Study on mechanism of broaching under low velocity[J]. Journal of Ship Mechanics，2005，9(1)：36-42(in Chinese).

［4］ 陶?醉，張緯康. 操縱性方程在船舶橫甩研究中的應(yīng)用[J]. 船海工程，2002(3)：23-27.

Tao Zui，Zhang Weikang. Maneuvering applied in the study of brocaching area[J]. Ship & Ocean Engineering，2002(3)：23-27(in Chinese).

［5］ Araki M，Umeda N，Hashimoto H，et al. An improvement of broaching prediction with a nonlinear 6 degrees of freedom model an improvement of broaching prediction with a nonlinear 6 degrees of freedom model[J]. Journal of the Japan Society of Naval Architects and Ocean Engineers，2012，14：85-96.

［6］ Umeda N，Usada S，Mizumoto K，et al. Broaching probability for a ship in irregular stern-quartering waves：Theoretical prediction and experimental validation[J]. Journal of Marine Science and Technology，2016，21(1)：23-37.

［7］ Umeda N. Nonlinear dynamics of ship capsizing due to broaching in following and quartering seas[J]. Journal of Marine Science and Technology，1999，4(1)：16-26.

［8］ Umeda N，Hashimoto H. Qualitative aspects of nonlinear ship motions in following and quartering seas with high forward velocity[J]. Journal of Marine Science and Technology，2002，6(3)：111-121.

［9］ 唐友剛，李紅霞. 隨浪和尾斜浪中船舶橫甩的非線性動力學(xué)特性[C]//第十一屆全國非線性振動、第八屆全國非線性動力學(xué)和運(yùn)動穩(wěn)定性學(xué)術(shù)會議. 石家莊，2007：622-627.

Tang Yougang，Li Hongxia. Nonlinear dynamic characteristics of ship’s broaching in following and oblique waves[C]//The Proceeding of 11th Nonlinear Vibration/ the Proceeding of 8th Nonlinear Dynamics and Motion Stability. Shijiazhuang，China，2007：622-627(in Chinese).

［10］ 劉亞柳. 隨浪中船舶騎浪橫甩非線性失穩(wěn)模式研究[D]. 天津：天津大學(xué)，2019.

Liu Yaliu. Research on Nonlinear Motion Characteristics of Surf-Riding/Broaching and Surf-Riding Probability of a Ship in Following Waves[D]. Tianjin：Tianjin University，2019(in Chinese).

［11］ 于立偉，馬?寧，顧解忡. 基于操縱耐波統(tǒng)一模型的船舶波浪中失穩(wěn)運(yùn)動數(shù)值計算[C]//中國造船工程學(xué)會船舶力學(xué)學(xué)術(shù)委員會第八次全體會議文集. 大連，2014：255-263.

Yu Liwei，Ma Ning，Gu Xiechong. Numerical calculation of ship’s instability motion in waves based on unified model[C]//The 8th Proceeding of Chinese Society of Naval Architects and Marine Engineers Academic Committee of Ship Mechanics. Dalian，China，2014：255-263(in Chinese).

［12］ 顧?民，儲紀(jì)龍，韓?陽，等. 內(nèi)傾船型騎浪/橫甩薄弱性衡準(zhǔn)和模型試驗研究[C]// 2017年中國造船工程學(xué)會優(yōu)秀學(xué)術(shù)論文集. 北京，中國，2018：6-12.

Gu Min，Chu Jilong，Han Yang，et al. Study on the surf-riding/broaching vulnerability criteria and model test of a tumblehome ship[C]// The Proceedings of the 2017 Best Papers in China’s Society of Naval Architecture and Marine Engineering. Beijing，China，2018：6-12(in Chinese).

［13］ Hashimoto H，Umeda N，Matsuda A. Importance of several nonlinear factors on broaching prediction[J]. Journal of Marine Science and Technology，2004，9(2)：80-93.

［14］ Rinauro B，Begovic E. Vulnerability assessment of surf-riding-broaching and pure loss of stability for systematic series D1 model[J]. Ships and Offshore Structures，2019，14(Suppl 1)：357-363.

［15］ 劉?崢. 船舶騎浪橫甩及純穩(wěn)性喪失狀態(tài)非線性動力學(xué)特性研究[D]. 天津：天津大學(xué)，2020.

Liu Zheng. Research on Nonlinear Dynamics Characteristics of Ship’s Surf-Riding，Broaching and Pure Loss of Stability[D]. Tianjin：Tianjin University，2020(in Chinese).

［16］ 王麗元. 船舶縱浪航行非線性隨機(jī)運(yùn)動響應(yīng)預(yù)報方法研究[D]. 天津：天津大學(xué)，2020.

Wang Liyuan. The Research on Predicting Method on Ship Nonlinear Stochastic Motion Response in Longitude Wave[D]. Tianjin：Tianjin University，2020(in Chinese).

［17］ 野本謙作. 船舶操縱性和控制及其在船舶設(shè)計中的應(yīng)用[R]. 徐鏗，胡相鴻，譯. 無錫：中國船舶科學(xué)研究中心，1982.

Nomoto K. Application of Ship Manoeuvrability and Controllability to Ship Design[R]. Xu Qiang，Hu Xianghong，Trans. Wuxi：China Ship Scientific Research Center，1982(in Chinese).

［18］ 李宗波，張顯庫，張?楊. 基于SPSS技術(shù)的船舶操縱性指數(shù)K、T預(yù)報[J]. 航海技術(shù)，2007(5)：2-5.

Li Zongbo，Zhang Xianku，Zhang Yang. Prediction of maneuverability indecis for ships using SPSS[J]. Marine Technology，2007(5)：2-5(in Chinese).

Analysis of the Yaw Motion Instability and Critical Wave Height of Ship Broaching Motion in Regular Wave

Wang Liyuan1，Li Yan1，F(xiàn)eng Peiyuan2，Liu Zhen3，Liu Zheng1，Tang Yougang1

(1. State Key Laboratory of Hydraulic Engineering Simulation and Safety，School of Civil Engineering，Tianjin University，Tianjin 300350，China；2. Shanghai Key Laboratory of Ship Engineering，Shanghai 200011，China；3. Marine Design & Research Institute of China，Shanghai 200011，China)

This research focuses on the instability of a ship’s yaw motion and the critical wave height of the broaching. A single-degree-of-freedom equation of the yaw motion was established. Taking a tumblehome ship as an example，an analytical method(multi-scale method) and a numerical simulation method(Runge-Kutta method)were applied to solve the yaw motion equation. With the multi-scale method，a first-order approximate solution of the equation was obtained. Moreover，the conditions for the instability of the yaw motion and the range of the stability region were obtained. Considering the range of stable and unstable regions obtained by the analytical method，the typical conditions in the stable and unstable regions were selected. A numerical method was used to solve the equation of the yaw motion，and the time history series of the yaw angle was obtained. The analytical results were verified by comparing them with those of the numerical methods. The nonlinear dynamic characteristics of the ship under different conditions wherein the encounter frequency is twice the natural frequency were calculated by numerical simulations. The time history and phase diagram of the yaw motion were calculated to determine if the ship underwent broaching and was unstable，and the tendency of the ship yaw motion amplitude with wave height was also obtained. Finally，a bifurcation diagram of the ship’s yaw motion was drawn to determine the critical wave height of broaching. The yaw motion and broaching motion model are established in this paper using the nonlinear dynamic bifurcation method to analyze the instability of the ship’s yaw motion and predict the critical wave height of the broaching motion. This analytical method can be used to analyze the ship’s broaching motion in regular waves，and the feasibility of the method is proved. The parameter excitation term in the ship’s yaw motion equation gradually increases with an increase in the wave height. After reaching the critical wave height，the amplitude of the ship’s yaw angle response will greatly increase，and the ship will undergo a broaching motion.

broaching；regular wave；nonlinear dynamic；bifurcation

U661.33

A

0493-2137(2021)05-0450-08

10.11784/tdxbz202003041

2020-03-22；

2020-05-16.

王麗元（1987—??），女，博士研究生，wangliyuan_tju@126.com.

唐友剛，tangyougang_td@163.com.

國防預(yù)研基金資助項目(K10471)；國家自然科學(xué)基金資助項目(51709240)；中國博士后科學(xué)基金資助項目(2019M651042)；天津大學(xué)自主創(chuàng)新基金資助項目(2006).

Supported by the National Defense Pre-Research Fund(No. K10471)，the National Natural Science Foundation of China(No. 51709240)，the China Postdoctoral Science Foundation(No. 2019M651042)，the Innovative Project Funded by Tianjin University(No. 2006).

(責(zé)任編輯：金順愛)