以歷史上的數(shù)學(xué)現(xiàn)象為知識(shí)生長(zhǎng)的基點(diǎn)

摘? 要：數(shù)學(xué)知識(shí)有三個(gè)順序：歷史順序、邏輯順序和心理順序. 在高中數(shù)學(xué)課堂上，教師可以有意識(shí)地把數(shù)學(xué)史融入平時(shí)的數(shù)學(xué)教學(xué)中. 結(jié)合平時(shí)的高中數(shù)學(xué)教學(xué)，從高中數(shù)學(xué)的教學(xué)目標(biāo)及對(duì)課程標(biāo)準(zhǔn)的分析出發(fā)，通過(guò)6個(gè)教學(xué)片斷的設(shè)計(jì)，闡明了如何以歷史上的數(shù)學(xué)現(xiàn)象為知識(shí)生長(zhǎng)的基點(diǎn)，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的提升. 同時(shí)，對(duì)數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)課堂進(jìn)行了反思，旨在更好地研究“數(shù)學(xué)現(xiàn)象”視角下的概念教學(xué).

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)現(xiàn)象;數(shù)學(xué)史;概念教學(xué);知識(shí)生長(zhǎng)

數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)課堂中的融入方式可以是多種多樣的，教師應(yīng)該根據(jù)教學(xué)的需要選擇合適的資料和教學(xué)方式. 融入數(shù)學(xué)史的教學(xué)必然滲透著美育，學(xué)會(huì)審美不僅可以讓學(xué)生陶冶情操，而且能夠改善其思維品質(zhì). 本文以人教A版《普通高中教科書(shū)·數(shù)學(xué)》中的“數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念”為例，就如何在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中融入數(shù)學(xué)史談?wù)劰P者的一些看法.

一、教學(xué)目標(biāo)及課程標(biāo)準(zhǔn)分析

本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)為：通過(guò)方程的解，認(rèn)識(shí)復(fù)數(shù);理解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示，理解兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的含義.

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》對(duì)本節(jié)內(nèi)容的教學(xué)要求是：了解復(fù)數(shù)概念形成的重要發(fā)展階段，體會(huì)其中的理性思維、創(chuàng)新精神和數(shù)學(xué)文化.

教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)該透視數(shù)學(xué)史，向?qū)W生介紹虛數(shù)及復(fù)數(shù)概念的引入所經(jīng)歷的曲折過(guò)程，這既展示了數(shù)學(xué)家的想象力、創(chuàng)造力，以及不屈不撓、精益求精的精神，也讓學(xué)生感受到了數(shù)學(xué)的文化和精神，有助于學(xué)生理解復(fù)數(shù)的概念和意義.

二、教學(xué)片斷設(shè)計(jì)

片斷1：分析現(xiàn)象，提出問(wèn)題.

學(xué)生活動(dòng)1：分析數(shù)學(xué)史中涉及的數(shù)學(xué)現(xiàn)象，發(fā)現(xiàn)并提出問(wèn)題.

問(wèn)題1：將數(shù)字10分成兩部分，使他們的乘積等于40，如何求這兩部分？

讓學(xué)生自主探究，提出用方程解決問(wèn)題的方案. 例如，設(shè)其中一部分的值為[x]，得到的方程為[x2-][10x+40=0]. 學(xué)生在解方程中發(fā)現(xiàn)，由于負(fù)數(shù)不能開(kāi)平方根，該方程在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無(wú)解.

【設(shè)計(jì)說(shuō)明】問(wèn)題1是卡爾丹在《大衍術(shù)》中提出的，他采用創(chuàng)設(shè)“新數(shù)”的方法來(lái)解決，為日后虛數(shù)的誕生埋下伏筆. 此處省略歷史背景，直接拋出問(wèn)題，易于學(xué)生接受并分析該問(wèn)題在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無(wú)解的結(jié)果，設(shè)置情境沖突，提出實(shí)數(shù)集有進(jìn)一步擴(kuò)充的必要. 此片斷通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)現(xiàn)象的分析，讓學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)矛盾，從而提出新的問(wèn)題.

片斷2：展示歷程，歸納要素.

學(xué)生活動(dòng)2：課前讓學(xué)生收集素材，說(shuō)明數(shù)系的擴(kuò)充是生產(chǎn)實(shí)踐與社會(huì)發(fā)展的需要.

為了讓素材具有邏輯性，課前規(guī)定素材收集的順序：（1）自然數(shù)的產(chǎn)生;（2）引入負(fù)數(shù)，數(shù)集由自然數(shù)集擴(kuò)充為整數(shù)集;（3）引入分?jǐn)?shù)，數(shù)集由整數(shù)集擴(kuò)充為有理數(shù)集;（4）引入無(wú)理數(shù)，數(shù)集由有理數(shù)集擴(kuò)充為實(shí)數(shù)集. 數(shù)的產(chǎn)生和發(fā)展既是社會(huì)生產(chǎn)實(shí)踐的需要，也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)可以刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界的簡(jiǎn)潔之美，為社會(huì)的發(fā)展提供動(dòng)力.

學(xué)生活動(dòng)3：通過(guò)解方程，讓學(xué)生了解數(shù)系的擴(kuò)充是數(shù)學(xué)內(nèi)部發(fā)展的需求，并歸納出數(shù)系的擴(kuò)充所涉及的相關(guān)要素.

問(wèn)題2：在自然數(shù)集中，方程[x+3=0]有解嗎？

問(wèn)題3：在整數(shù)集中，方程[2x-1=0]有解嗎？

問(wèn)題4：在有理數(shù)集中，方程[x2-2=0]有解嗎？

上述方程都是無(wú)解的. 將數(shù)集由原有的自然數(shù)集擴(kuò)充為整數(shù)集，問(wèn)題2就有解，解決辦法是“添加”負(fù)數(shù). 依此類推，問(wèn)題3的解決辦法是“添加”分?jǐn)?shù);問(wèn)題4的解決辦法是“添加”無(wú)理數(shù). 在這個(gè)教學(xué)片段中，教師應(yīng)該讓學(xué)生感受到，在數(shù)集的擴(kuò)充過(guò)程中原有的運(yùn)算及其性質(zhì)仍然適用.

【設(shè)計(jì)說(shuō)明】此部分從生產(chǎn)實(shí)踐與社會(huì)發(fā)展的需要和數(shù)學(xué)內(nèi)部發(fā)展的需求兩個(gè)方面說(shuō)明數(shù)系歷次擴(kuò)充的必要性和合理性. 計(jì)數(shù)的需要產(chǎn)生自然數(shù)，為表示具有相反意義的量引入負(fù)數(shù)，為測(cè)量與分配的需要引入分?jǐn)?shù)，無(wú)理數(shù)的發(fā)現(xiàn)引發(fā)第一次數(shù)學(xué)危機(jī)，這些歷程均可以讓學(xué)生收集相關(guān)材料來(lái)說(shuō)明. 解方程的過(guò)程，讓學(xué)生挖掘出數(shù)系的擴(kuò)充需要有兩個(gè)關(guān)鍵要素：每一次數(shù)系的發(fā)展，新的數(shù)集都是在原來(lái)數(shù)集的基礎(chǔ)上“添加”一種新的數(shù)得來(lái)的;在新的數(shù)集中，原有的運(yùn)算及其法則仍然適用. 歷史上數(shù)系的擴(kuò)充都是從這兩個(gè)關(guān)鍵要素上考慮，以解決某些運(yùn)算在原來(lái)數(shù)集中不可以實(shí)施的矛盾. 由此可見(jiàn)，數(shù)學(xué)應(yīng)用過(guò)程中的規(guī)律和邏輯之美，也為解決片斷1中方程在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無(wú)解的問(wèn)題提供了啟示.

片斷3：透視歷史，發(fā)現(xiàn)新數(shù).

學(xué)生活動(dòng)4：通過(guò)對(duì)虛數(shù)發(fā)現(xiàn)歷史的回顧，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)引入虛數(shù)單位[i]的合理性.

歷史回顧1：1545年，卡爾丹在《大衍術(shù)》中寫(xiě)道：要把10分成兩部分，使兩者乘積為40，這是不可能的，不過(guò)我卻用下列方式解決. [10=5+-15+][5--15]，[40=5+-155--15].

問(wèn)題5：假如我們承認(rèn)[-15]是“數(shù)”，那么[-15+][-15]和[-15 · -15]的結(jié)果是什么？

問(wèn)題6：假如我們承認(rèn)[-15]是“數(shù)”，那么[-4]，[-9]之類的“數(shù)”是否可以用[-1]來(lái)表示？是否可以計(jì)算[-1+-4+-9]的結(jié)果？

歷史回顧2：1637年，法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡兒把類似于[-1]的新數(shù)，起名為虛數(shù)，即“虛的數(shù)”，與“實(shí)數(shù)”相對(duì)應(yīng).

問(wèn)題7：如果把[-1]作為“數(shù)”，有什么不妥當(dāng)?shù)牡胤絾幔?/p>

歷史回顧3：1777年，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉在其論文中首次用到符號(hào)“[i]”，滿足[i2=-1]，且稱為虛數(shù)單位.

問(wèn)題8：引入虛數(shù)單位[i]后，[-15]之類的“數(shù)”可以怎樣表示？這樣表示是否合理？

問(wèn)題9：如果要進(jìn)一步擴(kuò)充數(shù)系，考慮前面數(shù)系擴(kuò)充的要素，對(duì)[i]應(yīng)該如何規(guī)定？

作為“新數(shù)”，[-15]必然與前面所講的數(shù)系擴(kuò)充的要素“在新的數(shù)集中，原有的運(yùn)算及其法則仍然適用”相矛盾. 透視歷史的進(jìn)程，發(fā)現(xiàn)虛數(shù)單位[i]并規(guī)定其意義，從而產(chǎn)生“新數(shù)”解決矛盾. 教學(xué)中，說(shuō)明其合理性和必要性是這個(gè)環(huán)節(jié)的關(guān)鍵.

【設(shè)計(jì)說(shuō)明】虛數(shù)的發(fā)現(xiàn)經(jīng)歷了長(zhǎng)達(dá)兩百多年的歷史，這里面凝聚著數(shù)學(xué)家的努力、堅(jiān)持和創(chuàng)造. 在一節(jié)課的學(xué)習(xí)中，讓學(xué)生生成虛數(shù)顯然是不真實(shí)的，但通過(guò)對(duì)歷史的梳理，可以讓學(xué)生經(jīng)歷虛數(shù)發(fā)展的過(guò)程，從而讓學(xué)生對(duì)虛數(shù)概念的形成有更深的體驗(yàn). 對(duì)于[5±-15]，卡爾丹說(shuō)過(guò)，無(wú)論我多么不愿意，這兩個(gè)數(shù)確實(shí)符合我們的要求. 于是，他成為第一個(gè)承認(rèn)虛數(shù)的人. 可見(jiàn)假設(shè)[-15]是“新數(shù)”的教學(xué)是卡爾丹和笛卡兒透過(guò)歷史對(duì)我們的指導(dǎo)，只有基于這個(gè)假設(shè)，學(xué)生才能?chē)L試對(duì)這類數(shù)進(jìn)行加、減、乘、除運(yùn)算，發(fā)現(xiàn)這類數(shù)符合運(yùn)算法則. 接下來(lái)，教學(xué)中通過(guò)對(duì)[-4]，[-9]與[-1]的關(guān)系的分析，引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)的本質(zhì)上認(rèn)識(shí)[i2=-1]，體會(huì)歐拉用虛數(shù)單位[i]這一符號(hào)來(lái)表示[-15]這類“數(shù)”的創(chuàng)造性、必要性和實(shí)用性. 上述教學(xué)片斷中，通過(guò)數(shù)學(xué)史在教學(xué)過(guò)程中的演繹，讓學(xué)生體會(huì)形成虛數(shù)的過(guò)程中的兩個(gè)要素的應(yīng)用. 學(xué)生從邏輯上和心理上都自然而然地接受了虛數(shù)單位[i]，正是合理有效使用數(shù)學(xué)史的價(jià)值. 虛數(shù)單位[i]的產(chǎn)生，正是基于歐拉對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，他所獨(dú)具的非凡的思維品質(zhì)創(chuàng)造出[i]這個(gè)兼具數(shù)學(xué)邏輯之美和簡(jiǎn)潔之美的新數(shù)，可見(jiàn)審美之關(guān)鍵. 片斷3通過(guò)合理呈現(xiàn)數(shù)學(xué)現(xiàn)象，讓學(xué)生親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念生成的過(guò)程，使他們感受概念形成的思維與現(xiàn)實(shí)的互動(dòng)，讓他們體驗(yàn)思維的魅力和數(shù)學(xué)的智慧.

片斷4：激活聯(lián)想，抽象概念.

學(xué)生活動(dòng)5：應(yīng)用實(shí)數(shù)集的運(yùn)算法則，使用[i]創(chuàng)造一些新數(shù)，從中抽象出復(fù)數(shù)的相關(guān)概念.

問(wèn)題10：根據(jù)虛數(shù)單位[i]和實(shí)數(shù)，你能根據(jù)加、減、乘的運(yùn)算，創(chuàng)造一些數(shù)嗎？

問(wèn)題11：你所創(chuàng)造的新數(shù)，可否歸納總結(jié)其一般特點(diǎn)，并用一般的結(jié)構(gòu)表示？

問(wèn)題12：在什么條件下，復(fù)數(shù)[z=a+bi a，b∈R]是實(shí)數(shù)？

問(wèn)題13：復(fù)數(shù)集[C]和實(shí)數(shù)集[R]之間有什么關(guān)系？

使用新數(shù)[i]和運(yùn)用實(shí)數(shù)集的運(yùn)算法則是數(shù)系擴(kuò)充的必要條件，通過(guò)學(xué)生活動(dòng)，我們可以獲得[6i]，[-4+2i]，[2-i]，[4+3i]之類的數(shù)，讓學(xué)生從中歸納出復(fù)數(shù)的一般形式[a+bi]，并且讓學(xué)生分析出[a]，[b]均為實(shí)數(shù)這一重要條件. 事實(shí)上，學(xué)生也會(huì)提出[i2]，[1-ii]之類的數(shù)，教師可以通過(guò)分析[i2=-1]，讓學(xué)生課后思考這些數(shù)是否都可以用結(jié)構(gòu)[a+bi a，b∈R]來(lái)表示.

【設(shè)計(jì)說(shuō)明】歸納是推理的一個(gè)重要形式，在應(yīng)用數(shù)系擴(kuò)充的兩個(gè)要素下，讓學(xué)生從自己列舉的復(fù)數(shù)中抽象歸納出復(fù)數(shù)的結(jié)構(gòu)，并生成復(fù)數(shù)集的概念. 通過(guò)對(duì)復(fù)數(shù)[z=a+bi a，b∈R]的實(shí)數(shù)條件的探討，自然引出虛數(shù)、純虛數(shù)、復(fù)數(shù)的實(shí)部、復(fù)數(shù)的虛部等相關(guān)概念. 在探究復(fù)數(shù)在何時(shí)為實(shí)數(shù)的條件下，學(xué)生自然可以探索到實(shí)數(shù)集[R]是復(fù)數(shù)集[C]的真子集，這就說(shuō)明在引入新數(shù)[i]并應(yīng)用實(shí)數(shù)集運(yùn)算法則的規(guī)定下，實(shí)數(shù)集[R]擴(kuò)充為復(fù)數(shù)集[C].

片斷5：數(shù)學(xué)應(yīng)用，理解概念.

學(xué)生活動(dòng)6：通過(guò)例題解答，讓學(xué)生進(jìn)一步理解復(fù)數(shù)及相關(guān)概念，并從中發(fā)現(xiàn)復(fù)數(shù)相等的條件.

問(wèn)題14：說(shuō)明下列復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部，并指出哪些是實(shí)數(shù)，哪些是虛數(shù)，哪些是純虛數(shù). 4，[3+2i]，0，[12-3i]，[-3-12i]，[-0.2i]，[6i2].

問(wèn)題15：實(shí)數(shù)[m]取什么值時(shí)，復(fù)數(shù)[z=mm-1+][m-1i]是實(shí)數(shù)？虛數(shù)？純虛數(shù)？

問(wèn)題16：[a=0]是復(fù)數(shù)[z=a+bi a，b∈R]為純虛數(shù)的充分條件嗎？

問(wèn)題17：實(shí)數(shù)[m]取什么值時(shí)，復(fù)數(shù)[z=mm-1+][m-1i]是[6+2i]？

問(wèn)題18：試說(shuō)明兩個(gè)復(fù)數(shù)[z1=a+bi a，b∈R]和[z2=c+di? c，d∈R]相等的充要條件.

問(wèn)題19：已知[2x-1+i=y-3-yi]，[x，y∈R]，求[x]與[y].

通過(guò)一系列問(wèn)題，讓學(xué)生明晰復(fù)數(shù)的結(jié)構(gòu)，并進(jìn)一步理解復(fù)數(shù)的相關(guān)概念，此處對(duì)[6i2]的辨析就是讓學(xué)生對(duì)復(fù)數(shù)的結(jié)構(gòu)深入了解. 問(wèn)題16的設(shè)計(jì)，讓學(xué)生進(jìn)一步辨析純虛數(shù)的概念.

【設(shè)計(jì)說(shuō)明】讓學(xué)生從具體問(wèn)題中進(jìn)一步理解復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部，以及復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)應(yīng)滿足的條件. 從具體實(shí)例出發(fā)，讓學(xué)生探究?jī)蓚€(gè)復(fù)數(shù)相等的充要條件，并應(yīng)用兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的概念解決問(wèn)題.

片斷6：回顧總結(jié)，拓展延伸.

學(xué)生活動(dòng)7：讓學(xué)生對(duì)本節(jié)課的內(nèi)容進(jìn)行回顧總結(jié)，并對(duì)一些內(nèi)容拓展延伸.

拓展延伸1：試探求形如[1-ii]，[1-i3]的數(shù)的實(shí)部和虛部.

拓展延伸2：閱讀卡爾丹求解一元三次方程的相關(guān)歷史介紹，體會(huì)一元三次方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的根所具有的對(duì)稱美.

拓展延伸3：實(shí)數(shù)能比較大小，復(fù)數(shù)能否比較大小呢？試判斷，并說(shuō)明理由.

拓展延伸4：作為一種新的數(shù)學(xué)工具，復(fù)數(shù)在數(shù)學(xué)、物理等多個(gè)領(lǐng)域中都有著廣泛的應(yīng)用，你能否找一些復(fù)數(shù)應(yīng)用的例子？

【設(shè)計(jì)說(shuō)明】讓學(xué)生回顧數(shù)系擴(kuò)充的歷程，并對(duì)數(shù)系擴(kuò)充的條件進(jìn)行總結(jié)，指出復(fù)數(shù)的引入完成了中學(xué)階段數(shù)系的最后一次擴(kuò)充. 拓展延伸的內(nèi)容，有對(duì)今后所學(xué)的復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則的引導(dǎo);有從復(fù)數(shù)的幾何意義上探索復(fù)數(shù)的數(shù)形結(jié)合之美，探索一元三次方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的根所具有的對(duì)稱美;也有讓學(xué)生收集復(fù)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用的例子. 通過(guò)對(duì)歷史和現(xiàn)實(shí)的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生感受虛數(shù)不“虛”，體會(huì)數(shù)系擴(kuò)充的必要性和重要性.

三、教學(xué)反思

1. 揭示問(wèn)題本質(zhì)，材料貼近學(xué)情

在高中數(shù)學(xué)內(nèi)容中，涉及數(shù)學(xué)史的資源非常豐富. 教師在選擇的時(shí)候，必須考慮所選擇的數(shù)學(xué)史是否能揭示問(wèn)題的本質(zhì)，是否貼近學(xué)生的學(xué)情.“數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念”一節(jié)內(nèi)容，選擇的數(shù)學(xué)史關(guān)鍵在于說(shuō)明兩個(gè)問(wèn)題：一是通過(guò)數(shù)學(xué)家經(jīng)歷的問(wèn)題和矛盾，指出實(shí)數(shù)系擴(kuò)充的必要性;二是數(shù)學(xué)家經(jīng)過(guò)不懈努力，通過(guò)創(chuàng)設(shè)新數(shù)[i]來(lái)構(gòu)建復(fù)數(shù)系. 因此，教師選擇的歷史材料，必須圍繞教學(xué)目標(biāo)，并且要考慮章節(jié)的整體規(guī)劃和學(xué)生的學(xué)情. 事實(shí)上，歐拉使用虛數(shù)單位[i]只是復(fù)數(shù)歷史發(fā)展進(jìn)程中的一個(gè)重要節(jié)點(diǎn). 在此之后，高斯研究復(fù)數(shù)與平面上的點(diǎn)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，復(fù)數(shù)與向量的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，闡述復(fù)數(shù)加法和乘法的幾何意義，之后才比較完整和系統(tǒng)地建立了復(fù)數(shù)的理論. 教師可以在本章后續(xù)的“復(fù)數(shù)的幾何意義”的教學(xué)中介紹相關(guān)歷史，并引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)復(fù)數(shù)不能比較大小. 但是，這些都不是虛數(shù)的本質(zhì)屬性，在沒(méi)有高斯平面之前很久，虛數(shù)就被認(rèn)識(shí)了，而復(fù)數(shù)的“序”也可以用另外的形式建立起來(lái)，如字典順序.

選擇數(shù)學(xué)史，要充分考慮學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)和能力. 例如，一元三次方程求根公式的引入，確實(shí)符合數(shù)學(xué)史的發(fā)展，但是從教學(xué)實(shí)際來(lái)說(shuō)，學(xué)生認(rèn)識(shí)一元三次方程的求根公式需要一定的基礎(chǔ)和時(shí)間，這個(gè)引入不太符合學(xué)生的接受能力. 本節(jié)課的教學(xué)從卡爾丹《大衍術(shù)》中的問(wèn)題引入，既揭示了復(fù)數(shù)起源于負(fù)數(shù)開(kāi)平方問(wèn)題，也考慮到學(xué)生具有解二次方程的基礎(chǔ)，便于學(xué)生抓住問(wèn)題的本質(zhì)和矛盾的焦點(diǎn)，迅速進(jìn)入學(xué)習(xí)狀態(tài).

數(shù)學(xué)史為我們提供了什么？提供了數(shù)學(xué)現(xiàn)象，它是可以用來(lái)觀察、思考以形成認(rèn)知和表達(dá)的. 千萬(wàn)不能把數(shù)學(xué)史當(dāng)作知識(shí)來(lái)教. 如果那樣，數(shù)學(xué)史就失去了它的文化韻味和發(fā)展功能.

2. 理清發(fā)展脈絡(luò)，有機(jī)串聯(lián)歷史

課堂教學(xué)中，教師必須根據(jù)教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)要求和學(xué)生的學(xué)情，選擇合適的數(shù)學(xué)史，并將之串聯(lián)，這樣才能使整個(gè)課堂教學(xué)主題明確、脈絡(luò)清晰.

在實(shí)際教學(xué)中，圍繞本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)“通過(guò)方程的解，認(rèn)識(shí)復(fù)數(shù)”，從給出方程在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無(wú)解的矛盾引入，通過(guò)研究一系列給出方程的解的情況，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)系從自然數(shù)集、整數(shù)集、有理數(shù)集到實(shí)數(shù)集擴(kuò)充的歷程，并從中歸納出數(shù)系擴(kuò)充必須符合的兩個(gè)要素，為實(shí)數(shù)系的擴(kuò)充做好鋪墊. 在此過(guò)程中，通過(guò)史料，學(xué)生也發(fā)現(xiàn)數(shù)系的擴(kuò)充是人類文明發(fā)展的需要. 由于計(jì)數(shù)的需要，發(fā)明了自然數(shù)集;由于測(cè)量和分配的需要，發(fā)明了非負(fù)有理數(shù)集;由于刻畫(huà)相反意義的量的需要，發(fā)明了有理數(shù)集;由于度量正方體對(duì)角線長(zhǎng)度的需要，發(fā)明了實(shí)數(shù)集. 接下去，通過(guò)與學(xué)生一起回顧卡爾丹、笛卡兒、歐拉三位數(shù)學(xué)大師對(duì)復(fù)數(shù)發(fā)現(xiàn)的貢獻(xiàn)，讓學(xué)生經(jīng)歷與數(shù)學(xué)大師一起發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的過(guò)程. 必須要指出的是，數(shù)學(xué)大師的足跡接近復(fù)數(shù)和虛數(shù)的進(jìn)程歷時(shí)兩個(gè)多世紀(jì)，大師們?cè)趧e人習(xí)以為常的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題并窮追不舍的精神，值得學(xué)生追隨并學(xué)習(xí).

透視歷史的過(guò)程，教師把思維的能力教給學(xué)生，讓學(xué)生自己探究、評(píng)判和選擇. 龐加萊指出，教育工作者的任務(wù)就是讓孩子的思維經(jīng)歷其祖先之所經(jīng)歷，迅速通過(guò)某些階段而不跳過(guò)任何階段. 數(shù)學(xué)史記載著人類獲取知識(shí)的來(lái)龍去脈，教師通過(guò)思考、整理將它再現(xiàn)于課堂，發(fā)揮其蘊(yùn)涵于數(shù)學(xué)知識(shí)的深刻教育價(jià)值，必將對(duì)學(xué)生思維的成長(zhǎng)有非凡的意義.

3. 透視歷史現(xiàn)象，滲透美育教學(xué)

對(duì)數(shù)學(xué)美的認(rèn)真審視和正確應(yīng)用，是富有智慧的教學(xué)的表現(xiàn). 它能培養(yǎng)教師的教學(xué)能力，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生感受到藝術(shù)的感染，提高發(fā)現(xiàn)的能力，形成積極的人生態(tài)度.

在教學(xué)設(shè)計(jì)上，本節(jié)課通過(guò)對(duì)歷史現(xiàn)象的分析和方程解的探究?jī)蓷l線索，借助社會(huì)發(fā)展和數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史，讓學(xué)生逐步感受復(fù)數(shù)的概念生成，在這個(gè)過(guò)程中滲透數(shù)學(xué)美，讓學(xué)生獲得對(duì)數(shù)學(xué)美的審美能力，培養(yǎng)了學(xué)生對(duì)美的鑒賞和追求.

實(shí)際教學(xué)過(guò)程中，通過(guò)方程解的討論探究出數(shù)系擴(kuò)充所需的兩個(gè)要素，歐拉創(chuàng)造性提出虛數(shù)單位[i]構(gòu)建復(fù)數(shù)系，通過(guò)對(duì)一些復(fù)數(shù)的討論歸納復(fù)數(shù)的結(jié)構(gòu)，這些都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔之美、邏輯之美. 課后，讓學(xué)生探究一元三次方程的相關(guān)歷史和復(fù)數(shù)的幾何意義，這既是教學(xué)中的一種合適的留白，又通過(guò)探究活動(dòng)讓學(xué)生體會(huì)了對(duì)稱美對(duì)復(fù)數(shù)發(fā)現(xiàn)的重要意義.

在數(shù)學(xué)的歷史上，數(shù)學(xué)家們一直在討論數(shù)學(xué)中有關(guān)美學(xué)方面的特征. 開(kāi)普勒說(shuō)過(guò)，數(shù)學(xué)是這個(gè)世界之美的原型. 可見(jiàn)，發(fā)現(xiàn)美是數(shù)學(xué)發(fā)展的一個(gè)重要?jiǎng)恿? 教師通過(guò)透視歷史，與學(xué)生一起領(lǐng)略數(shù)學(xué)美，既是自身教學(xué)能力、審美能力的一種提高，也能讓學(xué)生在情感上享受美，激起學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，從而提升學(xué)好數(shù)學(xué)知識(shí)的信心.

四、結(jié)束語(yǔ)

蘇霍姆林斯基說(shuō)過(guò)，教育的藝術(shù)就在于能看到取之不盡的人類精神世界的各個(gè)方面. 作為人類認(rèn)識(shí)過(guò)程中的一種現(xiàn)象，數(shù)學(xué)知識(shí)有它的三個(gè)順序：歷史順序、邏輯順序和心理順序. 把數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)，就是讓我們有意識(shí)地利用這三種順序. 對(duì)于很多數(shù)學(xué)知識(shí)，這三種順序是一致的，教學(xué)中要遵循這個(gè)順序. 但是也有一些是不一致的，這時(shí)就要選擇尊重學(xué)生的心理順序，因?yàn)檫@樣的順序讓學(xué)生覺(jué)得自然，容易產(chǎn)生愉悅感，也就是產(chǎn)生美感.

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收稿日期：2021-06-23

基金項(xiàng)目：江蘇省第十三批教研重點(diǎn)自籌課題——“數(shù)學(xué)現(xiàn)象”視角下的概念教學(xué)（2019JK13-ZB37）.

作者簡(jiǎn)介：任曉松（1975— ），男，中學(xué)高級(jí)教師，主要從事高中數(shù)學(xué)教育教學(xué)研究.