傅科擺的幾何分析1)

王睿垠 袁 威 馮 放 金長江

*(東北農(nóng)業(yè)大學文理學院，哈爾濱150030)

?(東北農(nóng)業(yè)大學工程學院，哈爾濱150030)

1851年，傅科 (Jean Foucault，1819–1868年)在200英尺長的繩索上搭建了一個由重鐵球構成的單擺來證實地球的自轉(zhuǎn)[1]。傅科觀察到，地球的自轉(zhuǎn)會導致單擺的擺動面轉(zhuǎn)動[2]。擺動面轉(zhuǎn)動角度會隨緯度變化，每天擺動面(垂直向下看北半球為順時針)轉(zhuǎn)動角度為 2πsinθ(θ表示擺所處的緯度)，如北極每天轉(zhuǎn)動角度為 2π、赤道處轉(zhuǎn)動角度為 0(如圖1所示)。從傅科公開展示他的實驗之后，傅科擺在物理學、物理學教育以及科學史中發(fā)揮了重要作用[3]，其基本原理還應用到電動力學、核物理學、量子力學、固體力學等其他物理方向[4]。

目前國內(nèi)很多科技館都有傅科擺裝置，但即使是學過大學物理課程的學生，仍不能很好地理解傅科擺的工作原理。擺平面的轉(zhuǎn)動現(xiàn)象，可以通過大學物理中的旋轉(zhuǎn)參考系和科里奧利力來解釋，由于概念較為抽象，因此對非物理專業(yè)的學生來說理解擺的行為與地球自轉(zhuǎn)的關系仍然是個難點。傅科擺提供了一個在幾何學背景下進行數(shù)學建模的典型實例[5]，一些傅科擺的研究由于直接應用黎曼幾何方法[6-7]，因此在方法上顯得與牛頓力學毫無關聯(lián)。本文把傅科擺的行為與幾何聯(lián)系在一起，給出了研究傅科擺的幾何方法，并且通過與牛頓力學方法比較證明了兩種方法的等價性。本文旨在讓學生了解幾何方法在力學實踐的重要性[8]，以期通過傅科擺的幾何描述引起讀者應用微分幾何解決力學問題的興趣。

圖1 地球上不同緯度的傅科擺

1 傅科擺的牛頓力學分析

分析傅科擺的牛頓力學方法，可以參考一些文章和教材[9-13]。給定固定于地球上的體坐標系x，y，z(即觀察者自身坐標系)，如圖2所示。假設擺的長度L很長，忽略擺球在z方向的位移以及地球轉(zhuǎn)動產(chǎn)生的離心力，可以得到擺球的運動方程

式中，m為擺球的質(zhì)量，r為擺球的矢徑，g為重力加速度，Ω為地球角速度矢量。

圖2 傅科擺的坐標系

由于x，y遠小于L，T～=mg，可以得到繩索張力T在坐標軸的投影為

式(1)科氏加速度項中

計算時忽略了z方向的位移，即˙z=0。把式(1)向x，y方向投影，根據(jù)式(2)和式(3)，可以得到傅科擺的運動方程為

式中，ω2=g/L，ΩZ=Ωsinθ。

取μ=x+iy，式(4)寫成微分方程為

考慮到Ωz遠小于ω，方程的解為

式中，括號內(nèi)是沒有地球自轉(zhuǎn)影響時擺的運動，而e－iΩzt表示了擺平面如何轉(zhuǎn)動。取μ0=x0+iy0=Aeiωt+Be－iωt，則擺平面的轉(zhuǎn)動方程為

x0(t)，y0(t)為初始條件。地球轉(zhuǎn)動一天的時間為t0=2π/Ω。當?shù)厍蜣D(zhuǎn)動一圈時，由式(7)可以算出擺平面轉(zhuǎn)過的角度為Ωzt0=Ωsinθ(2π/Ω)=2πsinθ。

2 傅科擺的空間解釋

與大學物理中用科里奧利力解釋傅科擺不同，這里從另一個角度來研究傅科擺。相對于靜止坐標系，擺平面在平直空間移動時不會發(fā)生任何偏轉(zhuǎn)。假設地球是不轉(zhuǎn)的，傅科擺在球體上沿緯度不變的方向移動一周，對于擺來說，擺平面轉(zhuǎn)動的角度和地球自轉(zhuǎn)的效果是相同的[14]。直觀上很容易解釋矢量(即擺球速度矢量)沿固定緯度方向的轉(zhuǎn)動[15]。把沿固定緯度的路徑外接一個圓錐，圓錐可以拓撲同胚于二維平面，這樣圓錐展開面上的直線即為曲面上的直線，球面上矢量的平移如圖3所示。

圖3 固定緯度的路徑

從圖3可以看到，地球是圓錐內(nèi)接球，矢量繞固定緯度走一圈，方向的改變量為α，將圓錐展后可以直接計算結(jié)果。圓錐的母線長為R/tanθ，同緯度圓的周長為 2πRcosθ，故矢量轉(zhuǎn)過的角度為α=2πRcosθ/(R/tanθ)=2πsinθ。如果傅科擺處于地球緯度為θ的位置，那么擺平面一天轉(zhuǎn)過的角度為2πsinθ，該結(jié)果與牛頓力學的矢量分析結(jié)果相同。

3 傅科擺的幾何分析

研究傅科擺在任意軌道上的轉(zhuǎn)動時，上述解釋不能適用，因此考慮采用微分幾何的分析方法來研究傅科擺。

先考慮擺平面在曲面上的偏轉(zhuǎn)問題。二維生物在球面上看球體與鳥在空中看球體是不同的。二維生物僅能感知經(jīng)度和緯度的二維空間，對于三維空間中的任何事件或物體，二維生物只能通過投影到切平面上來感知。三維向量在地球的切平面上可以寫為v=ae1+be2+cn，如圖3所示，二維生物只能感知到切平面上的ae1+be2。任何空間中，直線的特征是物體沿該直線勻速運動時，加速度矢量為零。通過類比，二維球面上的直線(測地線)可以定義為：當物體勻速運動并且切于球面的加速度為零時，物體經(jīng)過的路徑為直線。二維生物感知到勻速運動物體在ae1+be2方向的加速度為零(但沿n方向加速度可以不為零)的任何曲線都是直線，可以證明該直線就是球面上的大圓。如果傅科擺的擺球速度矢量平移方向是測地線方向，擺平面是不會轉(zhuǎn)動的，否則會有沿切平面方向的加速度，擺平面一定轉(zhuǎn)動。

再看矢量隨坐標線平移的變化，如圖4所示。矢量在切平面上的變化，就是幾何分析中的協(xié)變導數(shù)。

圖4 矢量沿坐標線的平移

協(xié)變導數(shù)的定義為：不考慮矢量在垂直切平面方向上的變化，只考慮在切平面內(nèi)的變化，定義e1在u1方向的協(xié)變導數(shù)為

從圖4看到

式(8)可以寫為

e1為切平面上的切矢量，u1為曲面坐標，Γ為克里斯托費爾符號(克氏符)?？紤]e1在u2方向以及e2在u1，u2方向的移動，可以寫成統(tǒng)一形式

式(11)的第二個等式采用了愛因斯坦求和約定，上下相同的角標代表在所有維度上求和。的三個角標可以考慮如下：i角標為沿該坐標線平移，j角標為平移的那一個切矢量，上角標k為在該切矢量上的投影。

切平面上的任意矢量可以表示為

該矢量的協(xié)變導數(shù)可以寫為

式(13)去掉了在曲面垂直方向的分量，給出了矢量在切平面內(nèi)的變化，即協(xié)變導數(shù)給出了二維生物在曲面上運動時感受到的加速度。如果計算出曲面上的克氏符，就可以通過式(13)給出任意矢量沿不同坐標的協(xié)變導數(shù)，即給出沿坐標線的加速度。下面給出計算克氏符的過程，由式(11)有

其中

gkl為度規(guī)張量矩陣。式(14)兩邊乘以度規(guī)張量矩陣的逆矩陣，就可以求出曲面的克氏符。

下面給出傅科擺擺球速度矢量在球面固定緯度上平移即協(xié)變導數(shù)為零時需要滿足的方程。球面上的坐標如圖5所示，球面上一點的矢徑可以寫為

圖5 球面上的坐標與切平面上的切矢量

取u1=φ和u2=θ，故球面上的切矢量為

為了后續(xù)計算方便，改寫為單位矢量度規(guī)張量矩陣和其逆矩陣為

如果速度矢量在切平面內(nèi)沒有變化，意味著二維生物感受到的加速度為零，即沿u1方向的協(xié)變導數(shù)為零

協(xié)變導數(shù)為零，則兩個分量必須為零，有如下方程

該方程簡寫為

考慮到這是一個線性系統(tǒng)，參考線性控制理論的結(jié)論[16]，如果矩陣A有k個實數(shù)特征值，2s個復特征值，式(24)的解為

式中，ci，dj，fj為常數(shù)；wi為實特征值對應的特征向量；wj為復特征值對應的特征向量；B為取實部；C為取虛部；λi為實特征值；λj為復特征值。

矩陣A的特征值為 (-isinθ，isinθ)，特征向量為 (1，-i)T，(1，i)T，故有比較圖5和圖2的坐標系，任意矢量的分量取v1=x，v2=y，故方程(23)的解為

x0和y0為初始值。比較式(27)和式(7)可以得到

即Ωt=φ，這說明幾何方法和牛頓力學方法的解是完全相同的。

幾何方法說明傅科擺擺平面轉(zhuǎn)動的原因是由于垂直擺平面的方向不受任何力，擺球速度矢量要在球面的切平面上平移，而速度矢量平移的結(jié)果就是擺平面要發(fā)生轉(zhuǎn)動。

4 傅科擺的幾何分析和牛頓力學方法之間的聯(lián)系

4.1 采用幾何法反推牛頓力學方程

雖然幾何法給出了和牛頓力學方法同樣的解，但是幾何方法沒有給出傅科擺的牛頓力學方程。因此，本文利用式(27)的解進行反推，推導出擺平面以角速度Ωz轉(zhuǎn)動時的動力學方程。歐式空間靜止的局部坐標系為 (t，x0，y0，z0)，擺平面轉(zhuǎn)動時局部坐標系相對靜止坐標系的旋轉(zhuǎn)如圖6所示，可以給出坐標變換的公式

式中，Ωz為繞z軸的角速度。

設矢量場X=xi(?/?qi)，Y=yj(?/?qj)，Z=zk(?/?qk)；f，g為普通函數(shù)，根據(jù)協(xié)變導數(shù)的定義式(13)，容易證明

圖6 旋轉(zhuǎn)坐標系下的加速度分析

根據(jù)式 (30)，可以得到協(xié)變導數(shù)在不同坐標系下變化規(guī)律為

由式(15)知，歐式空間的度規(guī)張量矩陣為單位矩陣，則所有，并且由式(29)得到

其逆矩陣為

根據(jù)式(32)求出中不為零的克氏符號為

設粒子運動時的軌跡為c(t)=(q1(t)，q2(t)，···，qn(t))，切矢量為

切矢量沿曲線方向的協(xié)變導數(shù)為處于靜止坐標系時，由牛頓定律寫出單擺的運動方程為

-ω2x和-ω2y分別為擺球在坐標方向的受力，則方程(35)可以寫為

代入式(32)求出不為零的，寫成分量形式為

式中，項為離心力，由于地球自轉(zhuǎn)的角速度遠小于單擺的角頻率，因此舍去該項，式(38)變?yōu)?/p>

式(39)和牛頓力學方法給出的式(4)完全一樣，因此幾何方法和牛頓力學方法是等價的。

4.2 結(jié)合球面上的矢量平移推導牛頓力學方程

為了更直觀理解傅科擺的運動，分析如圖6所示，傅科擺擺球在地球上的矢徑為r，擺球的運動速度為

根據(jù)式(22)給出矢量沿固定緯度的協(xié)變導數(shù)為

這時取v為速度矢量

式(40)可以改寫為

式(42)只考慮了擺球的加速度沿著e1和e2方向，而沒有考慮e1和e2隨時間的變化，下面考慮e1隨時間的變化。從圖6可以看到，由于地球轉(zhuǎn)動，e1的變化沿y方向，大小為

同樣e2的變化沿x的負方向，大小為

考慮到φ=Ωt，式 (42)的各分量要乘以Ω才能得到對時間的導數(shù)，進而得到在切平面的加速度。式(42)和式(44)結(jié)合，給出沿x方向的加速度為

同樣沿y方向的加速度為

不考慮離心力，僅考慮擺球在坐標方向的受力為-ω2x和-ω2y，式 (45)和式 (46)變?yōu)?/p>

式 (47)仍和牛頓力學方法給出的式 (4)完全一樣，并且矢量平移描述的方法更加直觀。

5 結(jié)論

在傅科擺的研究中，由于幾何法不考慮動坐標系為非慣性坐標系下的科里奧利力，因此避免了在特定條件下確定科里奧利力，與牛頓力學方法相比幾何法顯得更加簡潔和抽象。幾何方法說明，傅科擺擺平面轉(zhuǎn)動的原因是在球面上平移速度矢量的結(jié)果。本文采用幾何法和牛頓力學法推導出的運動方程以及方程的解完全相同，證明了兩種方法是等價的。