一種基于間接平差的免置平設(shè)站方法

曹娟華，朱洪濤，朱嫣，吳維軍，潘旭斌，陳首鋼

一種基于間接平差的免置平設(shè)站方法

曹娟華1, 2，朱洪濤1，朱嫣3，吳維軍1，潘旭斌4，陳首鋼4

(1. 南昌大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，江西 南昌 330031；2. 江西制造職業(yè)技術(shù)學(xué)院，江西 南昌 330095；3. 南昌航空大學(xué) 飛行器工程學(xué)院，江西 南昌 330095；4. 中國(guó)鐵路南寧局集團(tuán)有限公司 桂林高鐵工務(wù)段，廣西 桂林 541001)

置平是全站儀設(shè)站必不可少的先期工作，但手動(dòng)置平操作繁瑣，自動(dòng)化水平低，影響設(shè)站的工作效率。同時(shí)，這種以精確置平為先決條件的設(shè)站方法也不利于移動(dòng)站車載全站儀的快速設(shè)站和測(cè)量。提出一種基于間接平差的免置平設(shè)站方法，以高程、平面及姿態(tài)的聯(lián)立求解為基礎(chǔ)，通過(guò)變量代換、泰勒展開(kāi)、矩陣求逆等方法求全站儀站點(diǎn)位置和姿態(tài)，采用驗(yàn)后精度求權(quán)和平差迭代的方法提高設(shè)站精度。該方法原理清晰，物理意義明確，打破了置平才能設(shè)站的傳統(tǒng)。計(jì)算機(jī)仿真和線路試驗(yàn)表明，該免置平設(shè)站方法具有較高設(shè)站精度，能夠達(dá)到高速鐵路測(cè)量的精度要求。

全站儀；免置平設(shè)站；間接平差

在我國(guó)高速鐵路的建設(shè)階段，無(wú)論是前期的地形勘測(cè)、坐標(biāo)放樣、平面控制網(wǎng)CPⅡ(隧道內(nèi))測(cè)設(shè)、滑模攤鋪機(jī)械引導(dǎo)，還是后期的CPⅢ控制網(wǎng)測(cè)設(shè)、軌道板精測(cè)、軌道線路精測(cè)等，都離不開(kāi)全站儀[1]。以客運(yùn)專線軌道測(cè)量?jī)x(以下稱測(cè)量?jī)x)的軌道線路精測(cè)為例，首先對(duì)三腳架進(jìn)行預(yù)調(diào)平，其次依據(jù)全站儀物理氣泡和電子氣泡分別對(duì)全站儀進(jìn)行粗調(diào)平和精調(diào)平，然后通過(guò)全站儀設(shè)站計(jì)算站點(diǎn)坐標(biāo)和方向，最后對(duì)小車?yán)忡R進(jìn)行測(cè)量從而得到軌道的三維坐標(biāo)。設(shè)站作為軌道測(cè)量的關(guān)鍵步驟，與系統(tǒng)整體測(cè)量效率、測(cè)量精度密切相關(guān)[2]。設(shè)站工作包括了高程和平面兩大部分，高程使用三角高程法計(jì)算，而平面需要計(jì)算東北坐標(biāo)及方向角，相對(duì)復(fù)雜，所以在設(shè)站方法研究中常特指平面站點(diǎn)坐標(biāo)的計(jì)算[3]。置平(通常都是手動(dòng)置平)是全站儀設(shè)站必不可少的先期工作，只有全站儀處于水平狀態(tài)，才能測(cè)量出正確的水平角和天頂距，從而拆分出高程、平面數(shù)據(jù)以調(diào)用現(xiàn)有設(shè)站算法完成設(shè)站工作。依據(jù)現(xiàn)有設(shè)站方法，全站儀必須精確置平才可得到高質(zhì)量的設(shè)站成果。雖然隨著自動(dòng)置平底座的出現(xiàn)，全站儀在自動(dòng)置平底座上進(jìn)行設(shè)站可免除手動(dòng)操作的繁瑣，但其方法本身仍是置平設(shè)站，而且自動(dòng)置平底座破壞了全站儀與其基礎(chǔ)固有的位置關(guān)系。以基于移動(dòng)站車載全站儀的快速型軌道測(cè)量系統(tǒng)(以下稱快速型軌道測(cè)量?jī)x)為例，當(dāng)全站儀站點(diǎn)與軌道中線之間的位置關(guān)系發(fā)生變化，軟件無(wú)法再利用之前的全站儀位置參數(shù)進(jìn)行軌道中線坐標(biāo)求解[4?5]。同時(shí)，在置平設(shè)站方法中，即使最為熟練和細(xì)心的操作人員在不考慮效率的情況下也無(wú)法依據(jù)電子氣泡將全站儀整平到絕對(duì)水平狀態(tài)，為提高設(shè)站和后續(xù)測(cè)量的精度，全站儀還需配備精密的水平補(bǔ)償測(cè)量裝置和水平補(bǔ)償算法[6]，極大增加了系統(tǒng)的成本和復(fù)雜性。綜上所述，現(xiàn)有置平設(shè)站方法在效率、自動(dòng)化和適用性等方面存在局限性，尤其是在特殊場(chǎng)合中的應(yīng)用。本文對(duì)全站儀在免置平的狀態(tài)下的設(shè)站方法進(jìn)行研究，有利于簡(jiǎn)化使用，提高全站儀設(shè)站的工作效率和適應(yīng)性。

1 設(shè)站模型及間接平差

圖1 免置平設(shè)站示意圖

將′?′′′坐標(biāo)系繞′軸旋轉(zhuǎn)一定角度，直到′軸與平面平行，角為旋轉(zhuǎn)前′軸與平面之間的夾角：

將′?′′′坐標(biāo)系繞′軸旋轉(zhuǎn)一定角度，直到′軸與平面平行，此時(shí)Z′軸與軸也處于平行狀態(tài)，角為旋轉(zhuǎn)前′軸與平面之間的 夾角：

將′?′′′坐標(biāo)系繞′軸旋轉(zhuǎn)一定角度，直到′?′′′坐標(biāo)系與?坐標(biāo)系完全平行，角為旋轉(zhuǎn)前′軸與軸之間的夾角：

坐標(biāo)系′?′′′坐標(biāo)系與工程獨(dú)立坐標(biāo)系可能存在空間尺度上的變換(乘上空間尺度因子)，同時(shí)將坐標(biāo)系′?′′′從?坐標(biāo)系下的(X，Y，Z)平移至的坐標(biāo)原點(diǎn)(0，0，0)，此時(shí)，′?′′′坐標(biāo)系與?坐標(biāo)系完全重合：

對(duì)式(1)～(4)進(jìn)行整理：

其中：

一方面，觀測(cè)量中含有觀測(cè)誤差，數(shù)值解精度有限，增加多余觀測(cè)量并采用平差算法可有效提高模型的解算精度。另一方面，1～9之間并非相互獨(dú)立的，存在一定的函數(shù)關(guān)系(如3=?sintan6；6=tantan9)；直接基于進(jìn)行平差，可能導(dǎo)致中元素失真，從而具有局限性。

根據(jù)工程經(jīng)驗(yàn)，全站儀坐標(biāo)系與工程獨(dú)立坐標(biāo)系之間的空間尺度基本相同，以1 000 m為例，其空間尺度變化小于20 cm，尺度因子近似于1，因此，采用式(6)求初值0時(shí)，先令01。

基于上一節(jié)所得到的設(shè)站模型，得到誤差方程：

將0代入式(10)，求解式(7)～(9)中的變量l，l和l。

整理式(7)～(9)，表示成矩陣形式：

式(11)中是CPⅢ控制點(diǎn)的觀測(cè)個(gè)數(shù)，有7個(gè)待定未知數(shù)和3個(gè)改正數(shù)，共3+7個(gè)待定量，而方程組中只有3個(gè)方程，因此方程組有無(wú)窮多組解。為從無(wú)窮多組解中找出最優(yōu)解，根據(jù)最小二乘原理，為其設(shè)定條件：T=min，即改正數(shù)偏差的加權(quán)平方和最小。同時(shí)，T=min，符合數(shù)學(xué)中求函數(shù)自由極值的理論，得到T=0，最后通過(guò)矩陣求逆的方法求解待定改正數(shù)[9]。

式中：為權(quán)陣，以Leica TS15全站儀為例，測(cè)距精度1 mm+1.5 mm/km，根據(jù)坐標(biāo)誤差與全站儀測(cè)距之間的關(guān)系，設(shè)置權(quán)重系數(shù)。

當(dāng)對(duì)8個(gè)控制點(diǎn)進(jìn)行觀測(cè)，可得到24個(gè)觀測(cè)量，具有17個(gè)多余觀測(cè)量，能較大程度提高解算精度，全站儀免置平設(shè)站模型參數(shù)的最終解為：

2 精度評(píng)定與精度改善

由于測(cè)量誤差的存在，Tmin不等于0，因此，可基于T對(duì)設(shè)站精度進(jìn)行評(píng)定。測(cè)量平差的又一功能就是評(píng)定測(cè)量成果的精度，包括單位權(quán)方差的估值、平差值函數(shù)的協(xié)因素和相應(yīng)的中誤差計(jì)算。同時(shí)，還需要導(dǎo)出有關(guān)向量平差后的協(xié)因素陣(或稱驗(yàn)后協(xié)因素陣)。

二次型T可利用已經(jīng)計(jì)算出的和已知的進(jìn)行計(jì)算，也可按式(15)進(jìn)行計(jì)算：

單位權(quán)方差的估值和單位權(quán)中誤差分別為：

根據(jù)協(xié)方差陣與協(xié)因素陣之間的關(guān)系，得到的方差陣：

若各觀測(cè)值的權(quán)比關(guān)系定得不當(dāng)，則會(huì)扭曲平差結(jié)果。上一節(jié)中，根據(jù)測(cè)距精度設(shè)定v的權(quán)值，屬于經(jīng)驗(yàn)定權(quán)方法，簡(jiǎn)單易行，但坐標(biāo)測(cè)量精度除與測(cè)角有關(guān)外，還與當(dāng)時(shí)的測(cè)量環(huán)境有關(guān)，因此經(jīng)驗(yàn)定權(quán)方法在實(shí)際使用上存在一定的局限性。此時(shí)，可依據(jù)式(20)推導(dǎo)的觀測(cè)量精度估計(jì)值重新定權(quán)，多次平差，反復(fù)迭代，直至得到觀測(cè)值正確的權(quán)比關(guān)系。具體的計(jì)算步驟如下：

1) 進(jìn)行觀測(cè)值的驗(yàn)前權(quán)估計(jì)，定出觀測(cè)值的權(quán)的初值p，p和p。

2) 進(jìn)行第一次平差，求得各類觀測(cè)值改正數(shù)平方和T。

4) 反復(fù)進(jìn)行第2)，3)兩步，直到待求未知參數(shù)趨于穩(wěn)定。

3 算法仿真及線路試驗(yàn)

設(shè)站成果的精度評(píng)定主要針對(duì)具體設(shè)站而言，防止設(shè)站時(shí)因測(cè)量誤差大而導(dǎo)致設(shè)站精度無(wú)法滿足要求。課題組前期曾基于矩陣直接進(jìn)行平差，也曾采用1～9間的相互關(guān)系進(jìn)行約束平差，但通過(guò)算法仿真發(fā)現(xiàn)其設(shè)站精度受設(shè)站位置、測(cè)站與被觀測(cè)的CPⅢ點(diǎn)構(gòu)成的網(wǎng)形等的影響。

3.1 算法仿真

圖3 全站儀姿態(tài)?點(diǎn)位誤差

如圖4所示，當(dāng)全站儀傾斜角在?23°到30°之間變化時(shí)，全站儀設(shè)站傾斜角誤差(Δ和Δ)在?0.001 2°到+0.001 2°之間變化。如圖5所示，當(dāng)全站儀方向角在?180°到+180°之間變化時(shí)，全站儀的方向角誤差小于0.000 4°。同理，根據(jù)一系列的計(jì)算結(jié)果(=2 026)，免置平設(shè)站傾角中誤差= 0.000 25°和=0.000 27，方向角中誤差= 0.000 12°。

圖5 全站儀方向角?姿態(tài)誤差

根據(jù)全站儀測(cè)量的極坐標(biāo)法、設(shè)站位置和姿態(tài)誤差的分析結(jié)果，可進(jìn)一步得到待測(cè)點(diǎn)位置的測(cè)量中誤差m。

根據(jù)測(cè)量?jī)x器示值誤差符合性評(píng)定的基本要求[13]，應(yīng)有：

若全站儀(Leica TS60)是配合測(cè)量?jī)x在三腳架上進(jìn)行免置平設(shè)站，然后測(cè)量小車上的棱鏡，以最大測(cè)量距離=80 m計(jì)算，m=1.07 mm。若全站儀是配合快速型軌道測(cè)量?jī)x在小車上進(jìn)行免置平設(shè)站，全站儀站點(diǎn)就是小車特征點(diǎn)，則m=0.37 mm。依據(jù)文獻(xiàn)[14]，軌道中線橫垂向偏差主要來(lái)源于小車特征點(diǎn)測(cè)量誤差，因此，結(jié)合高速鐵路軌道中線±10 mm的定位精度控制要求[15]，測(cè)量中誤差應(yīng)小于1.67 mm，全站儀免置平設(shè)站精度能滿足要求。

3.2 線路試驗(yàn)

溫度：24 ℃～28 ℃；氣壓：1 010～1 012 hPa；相對(duì)濕度：60%～70%；空氣條件：微風(fēng)；儀器：Leica TS60全站儀。

試驗(yàn)方法：1) 關(guān)閉全站儀的水平補(bǔ)償功能，將全站儀安裝于軌檢小車上；2) 將軌檢小車推到指定位置停穩(wěn)并打開(kāi)剎車，在CPⅢ控制點(diǎn)架設(shè)Leica GPR1圓棱鏡，全站儀(免置平狀態(tài))依次觀測(cè)8個(gè)CPⅢ控制點(diǎn)；3) 調(diào)用免置平設(shè)站算法計(jì)算全站儀站點(diǎn)參數(shù)，并以此為基礎(chǔ)依次求解3個(gè)已知待測(cè)點(diǎn)的觀測(cè)結(jié)果。

對(duì)照試驗(yàn)：1) 打開(kāi)全站儀的水平補(bǔ)償功能，安裝于三角架上，依據(jù)物理氣泡和電子氣泡將全站儀調(diào)到水平狀態(tài)(2個(gè)傾斜角均小于0.001°)；2) 打開(kāi)全站儀機(jī)載的設(shè)站程序，依次觀測(cè)8個(gè)控制點(diǎn)；3) 計(jì)算全站儀站點(diǎn)坐標(biāo)和站點(diǎn)殘差，對(duì)3個(gè)已知待測(cè)點(diǎn)進(jìn)行觀測(cè)；

分別記錄設(shè)站殘差和待測(cè)點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算對(duì)應(yīng)項(xiàng)目的觀測(cè)誤差，如表1所示。

表1 站點(diǎn)殘差及待測(cè)點(diǎn)精度對(duì)比

結(jié)果表明：免置平設(shè)站平差方法與置平設(shè)站方法精度相當(dāng)，個(gè)別項(xiàng)目甚至略好于置平設(shè)站；在測(cè)量效率上，免置平設(shè)站明顯優(yōu)于置平設(shè)站。

4 結(jié)論

1) 以空間坐標(biāo)轉(zhuǎn)換建立高程和平面一體化的數(shù)學(xué)模型，通過(guò)變量代換、泰勒展開(kāi)、函數(shù)自由極值、矩陣求逆等方法實(shí)現(xiàn)間接平差。該方法原理清晰，物理意義明確，打破了置平才能設(shè)站的傳統(tǒng)。

2) 采用驗(yàn)后精度求權(quán)使觀測(cè)值的權(quán)比關(guān)系更加合理，采用平差迭代方法使誤差方程的線性化處理方式更有精度保證，兩者聯(lián)合使用進(jìn)一步提高了設(shè)站的精度。

3) 對(duì)免置平設(shè)站方法進(jìn)行了算法仿真，以任意姿態(tài)在任意位置設(shè)站，站點(diǎn)坐標(biāo)點(diǎn)位中誤差0.37 mm，姿態(tài)角中誤差小于0.000 3°。對(duì)待測(cè)點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量，其點(diǎn)位中誤差1.07 mm，表明該免置平設(shè)站方法具有較高設(shè)站精度，能滿足高速鐵路±10 mm的定位精度控制要求。

4) 線路試驗(yàn)表明：免置平設(shè)站方法在設(shè)站殘差和待測(cè)點(diǎn)坐標(biāo)測(cè)量方面，與置平設(shè)站方法精度相當(dāng)，特別是在一些特殊場(chǎng)合，完全可以用其替代現(xiàn)有的置平設(shè)站方法，從而提高設(shè)站效率和設(shè)站適 應(yīng)性。

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A free-stationing method of ETS without leveling based on indirect adjustment

CAO Juanhua1, 2, ZHU Hongtao1, ZHU Yan3, WU Weijun1, PAN Xubin4, CHEN Shougang4

(1. College of mechanical and electrical engineering Nanchang University, Nanchang 330031, China;2. Jiangxi Technical College of Manufacturing, Nanchang 330095, China;3. College of Flight Vehicle Engineering, Nanchang Hangkong University, Nanchang 330031, China;4. Guilin Maintains Department of High Speed Railway, China Railway Nanning Bureau Group Co., Ltd., Guilin 541001, China)

Leveling ETS is an essential preparation work of free-stationing in engineering survey practices. However, the leveling operation is cumbersome and insufficiently automated, which affects the efficiency of free-stationing. Meanwhile, this free-station method based on precise leveling is not applicable to the rapid free-stationing and measurement of mobile ETS. A free-stationing method of ETS without leveling based on indirect adjustment was proposed. Based on the simultaneous solution model of elevation and plane, the methods of variable substitution, Taylor expansion and matrix inversion were used to calculate the position and attitude of ETS. The method of weighted calculation by post inspection accuracy and adjustment iteration were used to improve the accuracy of free-stationing. The principle is clear, physical meaning is sound, and it eliminates the conventional prerequisite procedure of leveling for free-stationing operations. Computer simulations and field measurement trials show that this method has high accuracy and meets the precision requirement of high speed railways.

electronic total station (ETS); free-stationing without leveling; indirect adjustment

U216.3

A

1672 ? 7029(2020)12 ? 2985 ? 08

10.19713/j.cnki.43?1423/u.T20200136

2020?02?23

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51468042)

吳維軍(1983?)，男，浙江慶元人，博士，從事軌道測(cè)量理論研究；E?mail：wwjott@163.com

(編輯 涂鵬)