數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的培育
——以2020年高考全國Ⅲ卷理科第21題為例

四川省成都石室天府中學(xué)(610041) 張 坤

四川省成都市玉林中學(xué)(610041) 周先華

“關(guān)鍵能力是指即將進入高等學(xué)校的學(xué)習(xí)者在面對與學(xué)科相關(guān)的生活實踐或?qū)W習(xí)探索問題情境時,高質(zhì)量地認識問題、分析問題、解決問題所必須具備的能力.”[1]

2020年, 高考數(shù)學(xué)試卷(包括全國卷Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ文理各一套,及新高考卷Ⅰ和Ⅱ),均突出了對關(guān)鍵能力的考查.結(jié)合各學(xué)科素養(yǎng)和高中學(xué)生的身心發(fā)展規(guī)律,“中國高考評價體系”把高考中的關(guān)鍵能力分為三個部分:知識獲取能力群、實踐操作能力群和思維認知能力群.每個部分的主要內(nèi)容如圖1所示.

圖1 關(guān)鍵能力

結(jié)合數(shù)學(xué)學(xué)科的抽象性、嚴謹性和應(yīng)用性等特征,以及社會發(fā)展對數(shù)學(xué)教育的新的需求,為了便于高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué), 我們把高考數(shù)學(xué)中的關(guān)鍵能力分為數(shù)學(xué)閱讀與理解能力、數(shù)學(xué)實驗與探究能力、數(shù)學(xué)思維能力、語言表達能力和數(shù)據(jù)分析能力這五個方面.

下面以2020年高考數(shù)學(xué)全國卷Ⅲ理科第21 題為例,談?wù)勅绾卧诟咧袛?shù)學(xué)教學(xué)中進行關(guān)鍵能力的培育.

一、數(shù)學(xué)閱讀與理解能力

數(shù)學(xué)閱讀與理解,是指學(xué)生在各類數(shù)學(xué)問題情境中基于思維的一種認識活動,在高考數(shù)學(xué)中主要體現(xiàn)在對文字、圖形與數(shù)學(xué)符號等信息的搜索與整理,以及三者之間的相互轉(zhuǎn)化過程中.數(shù)學(xué)閱讀與理解能力既是一種獲取知識的能力,又是能對認識和思維產(chǎn)生十分重要的影響的能力.特別是在高考數(shù)學(xué)探索創(chuàng)新情境和生活實踐情境類試題中,數(shù)學(xué)閱讀與理解能力能幫助考生獲取新知識、探究新問題.

例(2020年高考數(shù)學(xué)全國卷Ⅲ理科第21 題)設(shè)函數(shù)f(x)=x3+bx+c,曲線y=f(x)在點處的切線與y軸垂直.

(Ⅰ)求b.

(Ⅱ)若f(x)有一個絕對值不大于1 的零點,證明:f(x)所有零點的絕對值都不大于1.

這道例題屬于數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)情境試題.對問題中已知條件的認識與理解是探尋解題思路的關(guān)鍵.

數(shù)學(xué)閱讀與理解能力的培育,可從兩方面入手:

1.強化對數(shù)學(xué)基本概念和命題的數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解.只有直達數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解,才能實現(xiàn)對其轉(zhuǎn)化;

2.以數(shù)學(xué)主題閱讀等教學(xué)方式,讓學(xué)生以主題為核心,通過“鏈接、拓展、共建,實現(xiàn)對主題的深度剖析和理解,構(gòu)建知識體系,推動學(xué)生進行系統(tǒng)化、邏輯化的深入思考,發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀理解能力.”[2]

二、數(shù)學(xué)實驗與探究能力

數(shù)學(xué)實驗,是指利用數(shù)學(xué)教具、模型或計算機創(chuàng)設(shè)實驗情境,通過活動與實際操作體驗學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的過程;而數(shù)學(xué)探究是運用數(shù)學(xué)知識解決數(shù)學(xué)問題的一類綜合實踐活動問題,數(shù)學(xué)探究能力主要體現(xiàn)在學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出有意義的數(shù)學(xué)問題、猜測合理的數(shù)學(xué)結(jié)論、提出解決問題的思路和方案、探索并論證結(jié)論等方面的素養(yǎng).在高考數(shù)學(xué)中,數(shù)學(xué)實驗與探究能力,主要用于解決那些關(guān)注對數(shù)學(xué)內(nèi)部的更深入的探索問題和與未來的學(xué)習(xí)與生活相關(guān)聯(lián)的問題,以考查學(xué)生的探索新方法、積極主動解決問題的能力即數(shù)學(xué)探究素養(yǎng),著重體現(xiàn)創(chuàng)新性.

在上例第(Ⅱ)問中,對函數(shù)f(x)的零點之間的關(guān)系進行探究與實驗:

設(shè)f(x)的其中一個零點是m,滿足|m|≤1,且

顯然,若該函數(shù)只有一個零點,則結(jié)論顯然成立;否則,設(shè)方程的另一個零點為n,則

①和②具有形式的一致性,于是嘗試對兩式相減,可得

這是一個關(guān)于m,n的二次式,至少可以有兩種探究方式,分別得到第(Ⅱ)問的解法一、二.

解法一以m為自變量,n為參數(shù).由于|m|≤1,即關(guān)于m的一元二次方程m2+nm+n2-= 0 一定有實數(shù)根,則其判別式Δ =n2-4(n2-)= 3-3n2≥0,所以|n|≤1,結(jié)論得證.

解法二以n為自變量,m為參數(shù),則解關(guān)于n的一元二次方程n2+mn+m2-=0 得n=所以有

令t=|m|(0 ≤t≤ 1),g(t)= (t+g′(t)= 1-則g′(t)= 0 的根是所以g(t)在上遞減,在

上遞減,從而g(t)max==2,所以=1,結(jié)論得證.

顯然,對數(shù)學(xué)實驗與探究能力的提升,是對“中國高考評價體系”中創(chuàng)新性要求的回應(yīng),要在新穎的試題呈現(xiàn)方式或設(shè)問方式中,培育主動思考并創(chuàng)新地完成探究性任務(wù)的能力.數(shù)學(xué)實驗與探究能力的提升的方法:

1.引入數(shù)學(xué)實驗,培養(yǎng)良好的數(shù)學(xué)知識自主探究能力.例如在研究正弦型函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖像與性質(zhì)、平面圖形的翻折等問題時,通過幾何畫板等數(shù)學(xué)工具和小組合作與分享等學(xué)習(xí)方式進行數(shù)學(xué)實驗,強化學(xué)生親身參與,能最有效地激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,并在教師的引導(dǎo)下,提升自主探究能力.

2.強化知識運用,培養(yǎng)良好的數(shù)學(xué)知識實踐探究能力.例如概率與統(tǒng)計板塊知識,在日常生活、社會發(fā)展、科技進步等各個方面均有著廣泛的應(yīng)用,通過應(yīng)用類情境問題的解決與總結(jié),提升實踐探究能力.

三、數(shù)學(xué)思維能力

數(shù)學(xué)思維能力是在數(shù)學(xué)活動中, 通過對數(shù)學(xué)問題的提出、分析、解決、應(yīng)用與推廣等一系列探討,以獲得對數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)和規(guī)律性的認識的能力.數(shù)學(xué)思維具有明顯的概括性、抽象性、邏輯性、精確性、辯證性、直覺、美感、想象與猜測性等特性.

在《中國高考評價體系》中, 構(gòu)建了由“一核”、“四層”和“四翼”組成的中國高考評價體系.關(guān)鍵能力是這個體系的考查內(nèi)容——“四層”的四大組成部分之一.而由于數(shù)學(xué)學(xué)科自身的魅力和在社會發(fā)展中的獨特的作用,數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力則主要體現(xiàn)在數(shù)學(xué)思維方面.或者可以說,數(shù)學(xué)素養(yǎng)中起著最核心作用的,就是數(shù)學(xué)思維能力.因此,抓住了數(shù)學(xué)思維能力,就抓住了數(shù)學(xué)學(xué)科的關(guān)鍵能力.“高考數(shù)學(xué)突出理性思維,將數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力與理性思維、數(shù)學(xué)應(yīng)用、數(shù)學(xué)探究、數(shù)學(xué)文化的學(xué)科素養(yǎng)統(tǒng)一到理性思維的主線上,在數(shù)學(xué)應(yīng)用、數(shù)學(xué)探究等方面突出體現(xiàn)理性思維和關(guān)鍵能力的考查.”[3]可以說,對數(shù)學(xué)思維能力高低的考查,是高考數(shù)學(xué)最重要的內(nèi)容,在“四翼”的各個層次的要求中,均有著完美的體現(xiàn),特別是在綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性方面.

1.形象思維能力

形象思維是以直觀形象和表象為支柱的思維過程.數(shù)學(xué)的研究對象就兩個:數(shù)量關(guān)系和空間形式.因此, 常常在數(shù)(數(shù)量關(guān)系)和形(空間形式)這兩者之間進行相互轉(zhuǎn)換.高考數(shù)學(xué)中的形象思維能力,主要表現(xiàn)為幾何直觀與空間想象能力和數(shù)形結(jié)合的能力.

在前面的例題中,如果以形象思維能力導(dǎo)向,可得出下述解題方法.

解法三由第(1)問求得下面按函數(shù)的零點個數(shù)進行分類討論.

①若f(x)只有一個零點,則結(jié)論成立;

圖2

圖3

②若f(x)有兩個零點,由解得所以f(x)在上單增,上單減,上單增.要僅有兩個零點,其圖像如圖2 或圖3.

③若f(x)有三個零點m,n,t(m ＜n ＜t), 則需解得可將f(x)的圖像看成g(x)=x3-的圖像向上或向下平移|c|個單位得到.其中,函數(shù)g(x)=x3-的圖像如圖4.

圖4

圖5

綜上所證,f(x)所有零點的絕對值都不大于1.

通過研究函數(shù)性質(zhì),作出函數(shù)圖象,再通過觀察研究函數(shù)的特征,是典型的形象思維能力的應(yīng)用.教學(xué)中要通過讓學(xué)生觀摩和操作,反復(fù)滲透數(shù)形結(jié)合思想,從而逐步提升形象思維能力.

2.演繹推理能力

邏輯推理的方式主要包括兩種:一種是由特殊到一般的歸納,表現(xiàn)為歸納概括能力;另一種是從一般到特殊的演繹,表現(xiàn)為演繹推理能力.在高考數(shù)學(xué)中,演繹推理能力一般表現(xiàn)為將所學(xué)數(shù)學(xué)概念與規(guī)則、數(shù)學(xué)命題與模型、數(shù)學(xué)思想與方法等等應(yīng)用于各類試題情境中以解決數(shù)學(xué)實際問題的應(yīng)用.

在上述例題中, 在解法二得出|n|≤的基礎(chǔ)上, (a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2聯(lián)想到柯西不等式,則可得下述更加簡潔的方法.

解法四由解法二得由柯西不等式(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,即ac+bd≤所以=1,結(jié)論得證.

這種命題(公理、定理、性質(zhì)等等),在高中數(shù)學(xué)中非常多,而提升演繹推理能力, 即意味著提高數(shù)學(xué)結(jié)論的應(yīng)用能力.因此,要強化從理解命題的本質(zhì)——即命題來源與產(chǎn)生的角度進行學(xué)習(xí).理解命題的來龍去脈,才能抓住其根本,并在整體上把握命題本身及其蘊含的通性通法和數(shù)學(xué)思想,形成橫向聯(lián)系、縱向融合的整體結(jié)構(gòu).

3.辯證思維能力

辨證思維能力,就是辯證地分析、解決問題的能力.反映在高考數(shù)學(xué)上, 就是要求考生必須從整體上把握數(shù)學(xué)對象,運用矛盾的、發(fā)展的、運動的、變化的觀點來認識.辯證思維常常包含著對數(shù)學(xué)問題認識的兩面性:如個性和共性、絕對與相對、已知與結(jié)果、必然與偶然、具體與抽象、有限與無限…….

上述例題第(Ⅱ)問中,設(shè)f(x)至少一個零點,至多三個零點.辯證地看,當(dāng)然,一個或兩個零點均可以看成有三個零點的特殊情形,即f(x)= 0 有兩個相同的實數(shù)根(或三個根完全相同).可得下述解法.

解法五設(shè)f(x)的零點為t,m,n,其中|t|≤1 且m≤n,則三次方程f(x)=0 一定可以轉(zhuǎn)化為:

(當(dāng)且僅當(dāng)t=n時“=”號成立),從而m2≤1,|m|≤1.同理可證得|n|≤1,結(jié)論證畢.

我們可以通過批判性的數(shù)學(xué)閱讀來提升辯證思維能力,特別是教材的“問題”、“探究”、“數(shù)學(xué)實驗”等閱讀材料中,蘊含著相當(dāng)豐富的辯證思想.

4.批判性思維能力

批判性思維(Critical Thinking)中的Critical 源于希臘詞Kritikos,即分辨力、決斷力和決策能力的意思.批判性思維就是運用理性的能力,分析考察我們的思維是否符合邏輯、是否堅守證據(jù).它包括法則的應(yīng)用、證據(jù)的收集與評估,以及在此基礎(chǔ)上行動計劃的制定和結(jié)論的得出.簡單地說,批判性思維意味著“邏輯+證據(jù)”,它強調(diào)證據(jù)與邏輯的統(tǒng)一,通過批判性思維得到的“科學(xué)真理”中,邏輯與證據(jù)缺一不可,沒有證據(jù)的邏輯和沒有邏輯的證據(jù)都只是研究的一半,都不是批判性思維.因此,批判性思維具有三個典型的能力特征:一是邏輯推理與論證的能力;二是收集、調(diào)查、辨識和運用證據(jù)的研究能力;第三是心智開放的懷疑態(tài)度與對沖突、模糊性的包容.批判性思維不是批判,批判性思維是以提出疑問為起點,以獲取證據(jù)、進行分析推理為過程,以得出有說服力的解答方案為結(jié)果.通過有效培養(yǎng)而成的具有良好批判性思維的人,是更加審慎的思考者——即學(xué)習(xí)怎樣正確地、有邏輯地評估證據(jù),考慮得更廣泛、更全面,從而得出自己的結(jié)論的人.

比如高考數(shù)學(xué)中經(jīng)常使用“正難則反”的思想.上例第(Ⅱ)問中, 根據(jù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)我們推導(dǎo)出f(x)在上單調(diào)遞減, 在上單調(diào)遞增,且f(-1)==

要證明“f(x)所有零點的絕對值都不大于1”,我們來研究它的反面.可得下面的證明方法.

解法六假設(shè)“所有零點中存在一個絕對值大于1 的零點x0”,根據(jù)圖2 和圖3 可知,f(-1)＞0 或f(1)＜0,即

①當(dāng)c ＞時,f(-1)=＞0,f(1)=c+＞0, 而f(-4c)=-64c3+3c+c= 4c(1-16c2)＜0,由零點存在性定理知f(x)在(-4c,-1)上存在唯一零點x0,即f(x)在(-∞,-1)上存在唯一零點,在(-1,+∞)上不存在零點,顯然,此時f(x)不存在絕對值不大于1 的零點,與題設(shè)矛盾.

②當(dāng)c ＜時, 同理可得,f(-1)=而f(-4c)= 64c3+3c+c= 4c(1-16c2)＞0,由零點存在性定理知f(x)在(1,-4c)上存在唯一零點x′0,即f(x)在(1,+∞)上存在唯一零點,在(-∞,1)上不存在零點,顯然,此時f(x)不存在絕對值不大于1 的零點,與題設(shè)矛盾.

綜上,假設(shè)“f(x)所有零點中存在一個絕對值大于1 的零點x0”不成立,所以f(x)所有零點的絕對值都不大于1.

這種通過正難則反,實現(xiàn)對問題的轉(zhuǎn)化的過程,也是批判性思維能力培育與提升的過程.

我們要在數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的批判性思維,就是要建立一種開放的、不確定性的、無限可能的數(shù)學(xué)思維空間,而不是局限于“非黑即白”、唯一正確結(jié)果或“確定性”的思維,不再試圖以一個終極的解決方案來解決數(shù)學(xué)問題,從而激發(fā)學(xué)生的想象力和創(chuàng)造性.它在課堂上主要表現(xiàn)為學(xué)生敢于質(zhì)疑.從這個角度上講,它既是一種思維能力,同時也是一種思維傾向.

5.抽象思維能力

數(shù)學(xué)來源于我們現(xiàn)實生活,但數(shù)學(xué)是對現(xiàn)實世界的抽象.因此,抽象性是數(shù)學(xué)最本質(zhì)的特征,抽象思維是數(shù)學(xué)中思考一切問題的最基本的思維方法.從數(shù)學(xué)概念與規(guī)則的生成、數(shù)學(xué)命題與模型提出以及數(shù)學(xué)方法與思想的形成,無一不是在抽象思維能力的作用之下實現(xiàn)的.高考數(shù)學(xué)中,對抽象思維能力的考查,幾乎貫穿所有試題.

上例第(Ⅱ)問中, 由于f(x)=x3-+c.觀察x3,x這兩項的系數(shù)比為由此聯(lián)想到三倍角公式cos 3x= 4cos3x -3 cosx, 次數(shù)比為3:1 的兩項的系數(shù)比也恰好為由此思考,可得下述解法:

解法七由三倍角的余弦展開式cos 3x= 4cos3x -3 cosx變形為:= 0.令-c=假設(shè)存在θ滿足-c=則有滿足條件.所以方程= 0 有三個解:x1=cosθ,x2=,x3=且三個根都滿足絕對值小于等于1,相當(dāng)于在f(x)=x3-+c函數(shù)有一個零點的絕對值不大于1 的條件下,其它所有零點的絕對值均不大于1.結(jié)論得證.

數(shù)學(xué)抽象思維能力的培養(yǎng),可從三個方面入手:

(1)通過適當(dāng)?shù)膯栴}引導(dǎo),積累學(xué)生從具體到抽象的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗,這是數(shù)學(xué)抽象思維能力提升的基礎(chǔ).例如概念教學(xué)、命題教學(xué)、問題教學(xué)中,要注重對思維方式的展示,讓學(xué)生能更多地經(jīng)歷抽象思維的活動.

(2)通過典型案例,引導(dǎo)學(xué)生從不同的抽象高度認識一個對象.例如從一個角的角平分線到三角形的內(nèi)心,到三角形的面積與它的內(nèi)切圓面積之間的關(guān)系、再到立體幾何中三棱錐的體積與它的內(nèi)切球的體積之間的關(guān)系……,不但梳理了“內(nèi)切”這個主題的由淺入深的、系統(tǒng)的知識結(jié)構(gòu),還通過主題式的教學(xué),逐步提升了數(shù)學(xué)思維能力的層次.

(3)通過類比,培養(yǎng)學(xué)生從形式與結(jié)構(gòu)上思考問題的能力例如類比等差與等比數(shù)列的定義、通項公式、求和公式及其推導(dǎo)過程、基本性質(zhì)等等,就可以探索出它們從運算的“和”與“乘”、“差”與“除”之間的對應(yīng)關(guān)系,引導(dǎo)學(xué)生從形式與結(jié)構(gòu)等更高層而思考問題,提升數(shù)學(xué)抽象思維能力.

(4)通過在教學(xué)中長期滲透與潛移默化,引導(dǎo)學(xué)生形成一般性思考問題的習(xí)慣.例如運用統(tǒng)一的觀點,分析和認識離心率對圓、橢圓、拋物線和雙曲線的圖形的影響.引導(dǎo)學(xué)生得出圓錐曲線的統(tǒng)一定義.

四、數(shù)學(xué)語言表達能力

數(shù)學(xué)語言表達能力,不同于一般的口頭表達和書面溝通與交流.語言表達能力主要表現(xiàn)在能夠始終圍繞所研究的主題,觀點明確、論述有理有據(jù),嚴謹?shù)乇磉_出數(shù)學(xué)運算與論證過程.在高考數(shù)學(xué)中,填空題的答題結(jié)果要求數(shù)學(xué)語言準確、簡潔;而解答題中對數(shù)學(xué)語言表達能力的邏輯性和條理性提出了更高的要求.對應(yīng)于“四翼”的綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性.

上例第(Ⅱ)問中,還可應(yīng)用函數(shù)與不等式的思想,可得下述解法.要注意其文字表達的準確性.

解法八設(shè)x0是函數(shù)y=f(x)的絕對值不大于1 的零點.則+c= 0, 所以c=(|x0|≤1),令g(x)=-x3+(|x|≤1), 所以g′(x)=-3x2+令g′(x)=-3x2+≥0 得函數(shù)g(x)在區(qū)間上遞增, 在上遞減.且,g(1)=,g(-1)=所以g(x)的值域為即.

又令y=f(x)的其它零點為x1.則+c= 0,所以,所以解此不等式組,得

即其它零點的絕對值均不大于1.結(jié)論得證.

在利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性、將函數(shù)與不等式有機地結(jié)合起來解題時,要求考生能打破常規(guī)思路進行發(fā)散性的化歸與轉(zhuǎn)化,對考生的數(shù)學(xué)思維能力的廣泛度、深度度和數(shù)學(xué)語言表達能力等各方面都提出了相當(dāng)高的要求.

五、數(shù)據(jù)分析能力

數(shù)據(jù)分析能力,也是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)中重要組成部分.數(shù)據(jù)分析能力主要表現(xiàn)為四個方面:收集和整理數(shù)據(jù),理解和處理數(shù)據(jù),獲得和解釋結(jié)論,概括和形成知識.[4]在高考數(shù)學(xué)中,數(shù)據(jù)分析能力強調(diào)分析帶有隨機性的數(shù)據(jù)的能力.在當(dāng)今這個大數(shù)據(jù)時代,數(shù)據(jù)分析能力就是“用數(shù)學(xué)眼光發(fā)現(xiàn)問題”的能力,是用數(shù)學(xué)的思想方法概括和描述生產(chǎn)生活中的現(xiàn)象,并理性地分析和解決問題的能力.在2020年高考數(shù)學(xué)全國ⅠⅠⅠ卷文、理科的第18 題中,以當(dāng)前社會普遍關(guān)注的空氣質(zhì)量和公園鍛煉的人數(shù)為情境,考查學(xué)生對概率統(tǒng)計的基本思想和模型的應(yīng)用,體現(xiàn)了“中國高考評價體系”的四翼的“應(yīng)用性”.

數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的提升是一個長期的過程,需要在教學(xué)中由淺入深、循序漸進地滲透式展開.數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的主要載體是數(shù)學(xué)教材, 而數(shù)學(xué)教材中的概念、法則、命題、公式、性質(zhì)、定理和方法等等都主要是在數(shù)學(xué)思維的能力作用下的結(jié)果.而且,一般情況下,這些結(jié)果是隱藏了大部分數(shù)學(xué)思維過程的系統(tǒng)化的數(shù)學(xué)知識.所以,數(shù)學(xué)教學(xué)中,可以根據(jù)“普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準”和“高考評價體系”中對數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的要求,針對學(xué)情,把那些被隱藏著的思維過程有序而生動地展現(xiàn)在學(xué)生面前,以取得積極的數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力特別是數(shù)學(xué)思維能力的訓(xùn)練效果.[5]