非平衡單向分類模型中方差分量的Stein型區(qū)間估計(jì)*

黨曉晶，孫同賀

(內(nèi)蒙古科技大學(xué) 礦業(yè)與煤炭學(xué)院，內(nèi)蒙古 包頭 014010)

常用的σ2的區(qū)間估計(jì)也只是以為統(tǒng)計(jì)量，沒有考慮統(tǒng)計(jì)量樣本方差.TATE和KLETT[2]以樣本方差S2為統(tǒng)計(jì)量，導(dǎo)出了總體方差σ2的置信度為1-α，而且具有最短長(zhǎng)度的置信區(qū)間：

求解方程組：

IS(Z2，S2)=[φ(Z2)S2，(φ(Z2)+l)S2] .

非平衡的方差分量模型在實(shí)際應(yīng)用中更加廣泛，將Stein思想推廣到非平衡的方差分量模型中意義重大.

1 模型

將研究非平衡單向分類模型.

yij=μ+αi+eij，i=1，2，…，a，j=1，2，…，ni.

y={1N}μ+diag{1n1，1n2，…，1na}α+e.

E(y)={1N}μ，

即y～N(μ(1N)，∑).

表1 非平衡單向分類模型的方差分析表

其中：

2 統(tǒng)計(jì)量USS

許多學(xué)者將統(tǒng)計(jì)量未加權(quán)的平方和USS引入到非平衡模型的研究中.THOMAS和HULTQUIST[7]利用對(duì)角化的方法構(gòu)造了該統(tǒng)計(jì)量.文中指出USS與SSe獨(dú)立而且近似服從χ2分布.KHURI[8]在非平衡有交互效應(yīng)的兩向分類隨機(jī)效應(yīng)模型中也研究了USS的構(gòu)造問題.本節(jié)以一種簡(jiǎn)潔的方法研究了非平衡單向分類模型中USS的構(gòu)造及其相應(yīng)的性質(zhì).

它的期望和協(xié)方差陣為：

顯然：

P11a=0.

則：

易求得其期望和協(xié)方差陣為：

E(zα)=0 ，

證明：待定的c應(yīng)當(dāng)使‖L-cIa-1‖取得最小值，亦即求‖L-cIa-1‖2的最小值.

令：

f(c)=‖L-cIa-1‖2，

將上式進(jìn)行化簡(jiǎn)得：

f(c)=‖L-cIa-1‖2

=0 .

對(duì)求導(dǎo)數(shù)并令其為零，即：

解方程得：

證明：令

由于

即：

又因?yàn)?/p>

E(za)=0 ，

tr(Ia-1)=a-1 ，

因?yàn)?/p>

所以根據(jù)多元正態(tài)分布的性質(zhì)可知統(tǒng)計(jì)量USS和統(tǒng)計(jì)量SSe是相互獨(dú)立的.

將用涉及到下述統(tǒng)計(jì)量：

上述3個(gè)統(tǒng)計(jì)量相互獨(dú)立，而且它們的分布情況如下：

3 方差分量的Stein型區(qū)間估計(jì)

3.1 方差分量的Stein型置信區(qū)間

以統(tǒng)計(jì)量SSe為基礎(chǔ)，MOLISKI[9]導(dǎo)出了的置信度為1-α長(zhǎng)度最短的置信區(qū)間：

求解方程組

可得系數(shù)ae，be.

取得最大值.

3.2 方差分量的Stein型區(qū)間估計(jì)

求解方程組

可得系數(shù)aα，bα.

定理2：τ2的置信度至少為1-α的Stein型置信區(qū)間為：

證明過程與定理3.1相似，故不贅述.

Imin(SSe，USS)=

4 實(shí)例分析

WILLIAM， SEARLE[11](1978)測(cè)量了1組數(shù)據(jù)，見表2.這5組數(shù)據(jù)來自1條生產(chǎn)線上5種不同菜油的質(zhì)量.顯然，例中的組間誤差要遠(yuǎn)大于觀測(cè)誤差，適合采用統(tǒng)計(jì)量USS.

表2 菜油的質(zhì)量指數(shù)表