走近古老而美麗的數(shù)論

陳冰

本尼迪克特·格羅斯（左）和唐·查吉爾（右）兩位數(shù)論方面的專家獲2021年“ 復(fù)旦- 中植科學(xué)獎”。

12月19日至20日，第六屆“復(fù)旦-中植科學(xué)獎”頒獎典禮暨2021復(fù)旦科技創(chuàng)新論壇在上海舉行。

美國國家科學(xué)院院士、美國藝術(shù)與科學(xué)院院士、美國哈佛大學(xué)和加州大學(xué)圣地亞哥分校數(shù)學(xué)榮休教授本尼迪克特·格羅斯（Benedict Hyman Gross），美國國家科學(xué)院院士、荷蘭皇家藝術(shù)與科學(xué)院外籍院士、德國馬科斯-普朗克數(shù)學(xué)研究所原所長、榮休教授唐·查吉爾（Don Bernard Zagier），兩位數(shù)論（高斯眼中的“數(shù)學(xué)女王”）方面的專家獲2021年“復(fù)旦-中植科學(xué)獎”。

本尼迪克特·格羅斯和唐·查吉爾共同建立了格羅斯-查吉爾（Gross-Zagier）公式。該公式將Heegner點的高度與相應(yīng)橢圓曲線Zeta函數(shù)的中心導(dǎo)數(shù)聯(lián)系在一起，并推動Birch和Swinnerton-Dyer（BSD）猜想取得重大突破。此外，這一公式應(yīng)用在諸多長時間懸而未決的問題上，對近幾十年來的數(shù)論發(fā)展產(chǎn)生了深遠影響。

格羅斯教授在自守形式以及其他領(lǐng)域也作出了大量奠基性的工作，其中顏-格羅斯-普拉薩德（Gan-Gross-Prasad）猜想已成為當今數(shù)學(xué)研究的核心之一。

查吉爾教授在模形式和特殊函數(shù)上開展了許多影響深遠的工作，解決了從拓撲、模空間到幾何、數(shù)學(xué)物理等多個領(lǐng)域中的大量問題。

2021年“復(fù)旦-中植科學(xué)獎”得主唐·查吉爾出席頒獎典禮，并發(fā)表了《古老而美麗的數(shù)論》的演講。

一支筆，一疊紙，紙上整齊地用漢字寫著“九章算數(shù)”，旁邊是密密麻麻但清晰可見的行行數(shù)學(xué)公式，領(lǐng)獎臺中央，唐·查吉爾——2021年“復(fù)旦-中植科學(xué)獎”得主正在嘗試通過古老中國的九章算術(shù)將古老而美麗的數(shù)論講給臺下的人。

數(shù)論中有最古老的一個分支是丟番圖方程，該理論是關(guān)于尋找多項式方程的整數(shù)解與分數(shù)解。其中一類特殊的方程叫做橢圓曲線，典型問題是給定一個數(shù)，比如13，它是否可寫成兩個分數(shù)的立方和？

對于橢圓曲線，半個世紀前，英國數(shù)學(xué)家貝赫和斯維訥頓-戴爾提出了一個猜想（BSD猜想），后成為美國Clay數(shù)學(xué)研究所發(fā)布的七個“千禧年大獎難題”。任何一個猜想的解答，只要發(fā)表在數(shù)學(xué)期刊上，并經(jīng)過兩年的驗證期，解決者就會被頒發(fā)100萬美元獎金。但這七個問題中，目前只有一個得到解決。

“我將以通俗的方式解釋這一猜想，以及格羅斯與我所證明的部分結(jié)果。這是很久以前的工作，但是相關(guān)的研究領(lǐng)域在今天仍然是活躍并且激動人心的?！?0歲的唐·查吉爾說。

幻燈片下，出現(xiàn)的是查吉爾用中文寫的，“史上最‘賤’的數(shù)學(xué)題，你能找到a，b和c的正整數(shù)解嗎？”這是幾年前在德國，一位與他討論的中國數(shù)學(xué)家給他看的?！拔业耐抡f，在中國互聯(lián)網(wǎng)上，忽然出現(xiàn)了一個數(shù)論的問題，提到有95%的人解不出這道題，我覺得應(yīng)該是99.999998%的人沒有辦法解決?！?/p>

接著，查吉爾向臺下觀眾展示這道題的解題過程，并說：“這個題目看似簡單，但人為痕跡非常明顯，給出一個最小解，沒有任何一臺計算機能解答，世界上只有一臺‘計算機’能解決這個題，就是人的大腦。它跟橢圓曲線理論是有關(guān)系的。在過去200年間，逐漸顯示出它是一個非常深刻的理論，甚至可以幫助我們解決這么復(fù)雜的問題。有意思的是，結(jié)論非常復(fù)雜，但題目看上去，極其簡單?！?/p>

從 1982 年到 1985 年，格羅斯教授在布朗大學(xué)擔任副教授。在這段時間里，他開始與查吉爾在 Heegner 點以及橢圓曲線上的 L 級數(shù)上展開了合作，并因此獲得了本屆復(fù)旦- 中植科學(xué)獎。這項工作引發(fā)了三次方程的大有理解的構(gòu)造，以及虛二次域上高斯類數(shù)問題的解決，還為 BSD 猜想提供了重要的理論證據(jù)。

2021年“復(fù)旦- 中植科學(xué)獎”得主唐·查吉爾出席頒獎典禮，并發(fā)表了《古老而美麗的數(shù)論》的演講。

本尼迪克特·格羅斯通過視頻方式分享自己獲獎的喜悅。

盡管這項工作的證明過程艱難、證明結(jié)果深刻，但查吉爾卻稱這是一個“并不漂亮”的公式?！拔覀儺斈甑淖C明從數(shù)學(xué)上講，并不是最漂亮的。當大家讀到證明的最后，都相信這個公式是對的，但并沒有一個更深層次的理由讓大家一看到這個公式就明白這應(yīng)該是對的。從邏輯上講證明是對的，但是它為什么對？大家不知道?！?/p>

能簡單閱讀中文的唐·查吉爾用中文寫的九章算術(shù)和史上最“賤”數(shù)學(xué)題。

數(shù)學(xué)家常用諸如“漂亮”和“優(yōu)美”這樣的詞，而不是聽起來更為科學(xué)的“正確”或“可信”來形容數(shù)學(xué)。數(shù)學(xué)何以是優(yōu)美的？美是主觀的，在查吉爾看來，數(shù)學(xué)的美是一種結(jié)構(gòu)性的內(nèi)在的東西，套用一句中國話來說是“知其然，也要知其所以然”。很多時候證明一個定理，知其然，是知道它是對的。知其所以然，是為什么是對的？去理解更深層的結(jié)構(gòu)，在他看來，就是數(shù)學(xué)的美。

13歲高中畢業(yè)，進入麻省理工學(xué)院，16歲大學(xué)畢業(yè)，19歲完成博士論文，20歲獲得博士學(xué)位。查吉爾的經(jīng)歷讓人驚嘆。

可是有誰能想到，他曾經(jīng)一度被誤認為智力存在某些缺陷的孩子。

“當時，我在學(xué)校的日子過得很糟糕，什么都學(xué)不好，我對任何事都不感興趣、也聽不懂?！蓖ㄟ^一系列智力測試，學(xué)校建議他嘗試跳級，此后，他就開始了不停的跳級，11歲時，他已經(jīng)開始進入高中學(xué)習，他表現(xiàn)的非常出色。“我非常用功，法語、數(shù)學(xué)、物理、經(jīng)濟每門課我都非常喜歡，我想可以成為語言學(xué)家、數(shù)學(xué)家、歷史學(xué)家，但我知道我不能做所有事情。所以我做了個決定——成為數(shù)學(xué)家，我在腦海中不停地告訴自己。之后，成為一名數(shù)學(xué)家已經(jīng)變成了我的本能?！?/p>

他也曾一度懷疑自己有沒有選錯方向，13歲進入麻省理工學(xué)院的查吉爾在別人花4年讀完一個專業(yè)時，他選擇在4年內(nèi)完成數(shù)學(xué)和物理兩個學(xué)位，在讀物理期間，他意識到，“我只是把一個物理問題轉(zhuǎn)化成一個數(shù)學(xué)問題”，他在物理上沒有數(shù)學(xué)上的天賦，做數(shù)學(xué)應(yīng)該更好一點。

“因為這是我所決定的，我在11歲就告訴自己的，我要成為一名數(shù)學(xué)家，這將是我的所愛，這讓我很開心，時至今日，我仍舊能感受到對數(shù)學(xué)的巨大熱情，即使我已經(jīng)70歲了。”

查吉爾謙虛地說：“我不是個天才，這更像是一種自我挑戰(zhàn)，沒有人催促我，給自己不斷設(shè)立目標，看自己能走多遠，這是一種樂趣，就像很多運動員在很小的時候就能夠成為世界冠軍一樣是一種長期的、艱苦的訓(xùn)練的結(jié)果?！?/p>

“區(qū)分什么叫天才和非天才的一個辦法是：當一個人做出貢獻時，如果沒有這個人證明這個數(shù)學(xué)定理，那么可能過了二三十年，別人也還是會做出來的。而所謂的天才，指的是說如果沒有這個人的話，這個東西可能就永遠不會存在。”

“在處理已有數(shù)據(jù)時，解決它需要的更多是技巧，如果要去發(fā)明一種前人不知道的數(shù)學(xué)，要找出一個前人根本不知道會存在的東西，需要的是想象力?！辈榧獱栐谡劦礁窳_斯與他得到公式前說：“格羅斯曾說‘應(yīng)該有這樣一個東西在那里，我們把它做出來吧’。因為我有很強的計算能力，他稱我為‘數(shù)學(xué)殺手’，但在證明獲獎的這一公式時，格羅斯是想象力更豐富的那一個?！?/p>

當然，查吉爾有著他自己的想象力，在他讀完博士之后幾十年的職業(yè)數(shù)學(xué)家的生涯里，他會用幾年的時間去思考一個問題。盡量思考得深刻;盡量去往深處去鉆，去理解理論的內(nèi)在的結(jié)構(gòu)，他覺得這個是做數(shù)學(xué)?！皩τ谖?，我在意的不是速度，而是思考的深度?！?/p>

選擇、決定、去做，把它變成正確的事情，它就成了正確的事情。

“當你年輕時，你覺得有一件正確的事情，你必須去找到這件事，卻不知道究竟是哪一件。我選擇一件，把它變成正確的事情，它就是正確的事情?！?/p>

查吉爾在11歲就堅定地選擇了追隨數(shù)學(xué)之美。

對他來說，一天中做數(shù)學(xué)的時間可以從1分鐘都沒有到十七八個小時，也許有一周都不會去做數(shù)學(xué)相關(guān)的工作，只是享受生活，讀讀書、彈鋼琴，但也有可能有很長的時間，每天除了睡覺之外，都在想一個數(shù)學(xué)問題，對他來說，做數(shù)學(xué)，從事數(shù)學(xué)是用來放松的事情，真正的研究不是工作?！拔也皇窃诠ぷ?，我是在思考。”

查吉爾的研究興趣主要集中在數(shù)論以及模形式上，但這些興趣點總能聯(lián)系到數(shù)學(xué)的其他部分，從代數(shù)幾何到組合學(xué)，甚至到?？臻g、可積系統(tǒng)、微分方程和數(shù)學(xué)物理。他目前的主要項目，即與加魯法利迪斯等人正在進行的工作，有著很強的跨學(xué)科性質(zhì)，糅合了來自三維拓撲、（空行問題）代數(shù)數(shù)論、K 理論、漸近分析、模形式理論乃至量子場論的結(jié)果和想法。他的工作也以對顯式計算和數(shù)值技術(shù)有著濃厚的興趣而著稱。

喜歡語言和歷史的他，能夠熟練地使用德語、英語、法語和意大利語，還會說少許的土耳其語，他也努力在學(xué)習中文，“我的夫人現(xiàn)在在研究古代中國和日本的數(shù)學(xué)，我也參與其中，我發(fā)現(xiàn)中文是最有趣的語言之一，非常的美。我回到德國后也會請老師教我中文”。

現(xiàn)在能簡單閱讀中文的他，在乘坐來上海的班機時，隨身帶著中文版狄更斯的《遠大前程》，他希望能與更多的中國數(shù)學(xué)研究者和青年學(xué)生進行溝通交流，“這些年輕人學(xué)得都很好，他們都在做對的事情?！彼嘈胖挥凶詈玫膶W(xué)生才會來見他，才會有膽量去跟他交流。

對于那個“并不漂亮”的公式，查吉爾說，“希望在將來，將來某個時刻會有一個青年的數(shù)學(xué)家，想出一個很妙的想法，大家一看到這個公式就說，它應(yīng)該是對的”。

（本文部分資料來源復(fù)旦大學(xué)公眾號）

本科就讀于哈佛大學(xué)，主修數(shù)學(xué)。1978年返回哈佛完成博士學(xué)位。2011年獲得哈佛大學(xué)教授稱號，并在2004—2007年擔任哈佛大學(xué)院長。曾獲麥克阿瑟獎、柯爾數(shù)論獎。現(xiàn)為美國藝術(shù)與科學(xué)院院士、美國國家科學(xué)院院士、美國數(shù)學(xué)會會士、美國哲學(xué)學(xué)會會士。他帶領(lǐng)學(xué)生一起提出了一些影響深遠的猜想，推廣了Gross-Zagier公式，而Gross-Zagier公式已經(jīng)構(gòu)成了當前許多研究的主題。

唐·查吉爾出生于德國，曾在美國和英國接受教育，16歲大學(xué)畢業(yè)，并在20歲獲得博士學(xué)位。此后他在多個國家工作過。曾獲得科爾數(shù)論獎、卡爾·格奧爾格·克里斯蒂安·馮·施陶特獎?，F(xiàn)為荷蘭皇家藝術(shù)與科學(xué)院外籍院士、美國國家科學(xué)院院士、倫敦數(shù)學(xué)會榮譽會員。

查吉爾教授的研究興趣主要集中在數(shù)論以及模形式上，但這些興趣點總能聯(lián)系到數(shù)學(xué)的其他部分，從代數(shù)幾何到組合學(xué)，甚至到?？臻g、可積系統(tǒng)、微分方程和數(shù)學(xué)物理。他目前的主要項目，有著很強的跨學(xué)科性質(zhì)，糅合了來自三維拓撲、代數(shù)數(shù)論、K理論、漸進分析、模形式理論乃至量子場論的結(jié)果和想法。他的工作也以對顯式計算和數(shù)值技術(shù)有著濃厚的興趣而著稱。

“復(fù)旦-中植科學(xué)獎”由復(fù)旦大學(xué)和中植企業(yè)集團于2015年合作設(shè)立，以表彰在數(shù)學(xué)、物理學(xué)和生物醫(yī)學(xué)領(lǐng)域做出原創(chuàng)性杰出貢獻的全球科學(xué)家。獎項每三年在這三個學(xué)科領(lǐng)域中輪流頒發(fā)?！皬?fù)旦-中植科學(xué)獎”設(shè)立的初衷是通過搭建科技創(chuàng)新的國際研討、交流和分享平臺，集聚全球科技創(chuàng)新領(lǐng)軍人才，提升中國科技競爭力，為世界頂級科技獎項儲備人才。

獎項的評選堅持“優(yōu)中選優(yōu)、寧缺毋濫”原則，候選人必須是在世的相關(guān)領(lǐng)域科學(xué)家、不限國籍、其原創(chuàng)性、基礎(chǔ)性和突破性的科研成果能顯著推動人類社會進步，提高人類生活質(zhì)量及精神文明，并能代表當今全球科技創(chuàng)新的最前沿水平。

今年的“復(fù)旦-中植科學(xué)獎”授予數(shù)學(xué)領(lǐng)域的杰出科學(xué)家，這是該獎項設(shè)立以來的第二次。自2016年首次頒獎以來，已表彰了12位不同國籍的科學(xué)家，其中5位在獲得“復(fù)旦-中植科學(xué)獎”后又成為諾貝爾獎獲得者。