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    帶有N策略的不可靠重試隊列的均衡策略分析

    2021-01-07 01:23:20唐韻劉力維
    應(yīng)用數(shù)學(xué) 2021年1期
    關(guān)鍵詞:服務(wù)臺排隊收益

    唐韻,劉力維

    (南京理工大學(xué)理學(xué)院,江蘇 南京210094)

    1.引言

    重試排隊系統(tǒng)在我們的日常生活中無處不在,并且學(xué)者對它的研究已經(jīng)非常廣泛,但大部分都是利用隨機過程或動態(tài)規(guī)劃技術(shù)進(jìn)行系統(tǒng)性能分析,而較少從經(jīng)濟學(xué)角度進(jìn)行研究.文[1]對已有的重試排隊系統(tǒng)的研究方法和成果進(jìn)行了總結(jié).文[2]利用嵌入馬爾科夫鏈和母函數(shù)的方法研究了一種批到達(dá)重試排隊系統(tǒng),求得了重試軌道中隊長的分布,進(jìn)而得到各性能指標(biāo).文[3]研究了帶有恒定重試率的單服務(wù)臺排隊系統(tǒng)的顧客最優(yōu)策略和最大社會收益.文[4]針對不可見情形和可見情形的經(jīng)典單服務(wù)臺重試排隊系統(tǒng),研究了顧客均衡策略和社會最優(yōu)的止步策略.文[5]針對局域網(wǎng)的應(yīng)用研究了帶有恒定重試率和延遲休假的M/M/1排隊系統(tǒng),得到了顧客進(jìn)入系統(tǒng)的納什均衡策略和社會價格最優(yōu)策略.文[6]研究了帶有恒定重試率和N策略的M/M/1 排隊系統(tǒng),分析了顧客行為和社會收益最大問題.文[7]在文[6] 的基礎(chǔ)上研究了帶有啟動時間的情形.文[8]研究了帶有恒定重試率和工作假期的單服務(wù)臺排隊系統(tǒng),分析了顧客均衡策略和社會最優(yōu)策略.

    因為系統(tǒng)高昂的建設(shè)成本和運行成本,現(xiàn)實生活中的很多服務(wù)系統(tǒng)會采用某些策略來控制系統(tǒng)的啟動和關(guān)閉,其中N策略應(yīng)用得十分廣泛.文[9]第一次在M/M/1系統(tǒng)中提到了N策略的概念.之后,文[10-12]用了幾種不同的方法研究了這種控制策略.值得注意的是N策略雖然在經(jīng)典排隊系統(tǒng)中已經(jīng)被研究,但是從經(jīng)濟學(xué)角度來研究它的文獻(xiàn)還比較少.文[13]針對不可見情形和可見情形,研究了帶有N 策略和假期的排隊系統(tǒng)的顧客均衡策略和社會最優(yōu)策略.文[14]將文[13] 拓展為帶有異類顧客的情形.文[15]針對部分可見情形,研究了假期排隊系統(tǒng)的顧客策略行為和社會最優(yōu)問題.

    另外,在許多排隊模型中會假設(shè)服務(wù)臺完全可靠,但很明顯這種假設(shè)是不符合實際的,因為服務(wù)臺在服務(wù)顧客時可能會發(fā)生損壞且需要立即維修的情況無法被忽視,這就是帶有不可靠服務(wù)臺的排隊系統(tǒng).帶有不可靠服務(wù)臺的排隊模型可以應(yīng)用于計算機通信系統(tǒng)和機械生產(chǎn)制造系統(tǒng)中,機器可能因工作時間過長或某些自身原因發(fā)生故障,則不得不停止服務(wù),直至維修結(jié)束才能繼續(xù)進(jìn)行服務(wù).文[16]最早研究服務(wù)臺可能發(fā)生故障的排隊系統(tǒng),并得到了相關(guān)數(shù)量指標(biāo).文[17]研究了M/G/1不可靠服務(wù)排隊系統(tǒng),并首次給出了該系統(tǒng)的可靠性分析.文[18]針對完全可見情形和幾乎可見情形,研究了一個帶有故障和維修期的M/M/1排隊系統(tǒng)并得到顧客的均衡策略.文[19]在文[18]的基礎(chǔ)上得出當(dāng)隊長信息不可見時顧客遵循混合均衡止步策略.文[20]又將以上結(jié)果推廣到離散不可靠服務(wù)排隊系統(tǒng)中,給出了顧客的個體最優(yōu)均衡策略.文[21]研究了帶有服務(wù)中斷的認(rèn)知無線電網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng),在該系統(tǒng)中主級用戶的出現(xiàn)會導(dǎo)致次級用戶的服務(wù)中斷.文[22]針對隊長可見情形和不可見情形,研究了帶有災(zāi)難到達(dá)的M/M/1排隊系統(tǒng)的納什均衡和社會最優(yōu)止步策略.文[23]研究了不可靠Mn/G/1排隊系統(tǒng)的最優(yōu)加入策略,其中顧客的到達(dá)率依賴于系統(tǒng)中的顧客數(shù).

    本文主要研究: 帶有N策略和不可靠服務(wù)臺且擁有恒定重試率的M/M/1排隊系統(tǒng).現(xiàn)在重試排隊系統(tǒng)在工業(yè)工程和商業(yè)管理上的應(yīng)用非常廣泛.例如呼叫中心的管理模式: 如果代理商在客戶打進(jìn)電話時有空,則將立即為來電服務(wù),如果發(fā)現(xiàn)所有服務(wù)臺都忙,則客戶必須掛斷電話,并在隨機時間后重試.在現(xiàn)代服務(wù)系統(tǒng)中,呼叫中心可以在客戶到達(dá)時給他提供一些系統(tǒng)信息,例如,預(yù)期的等待時間和服務(wù)臺狀態(tài),客戶可以根據(jù)可用的信息及其預(yù)期收益來決定是否加入系統(tǒng).我們在此基礎(chǔ)上還考慮了N策略和不可靠服務(wù)臺的情況,使得該模型具有更廣的應(yīng)用領(lǐng)域和現(xiàn)實意義.

    2.模型描述

    我們考慮一個帶有N策略和不可靠服務(wù)臺且擁有恒定重試率的M/M/1排隊系統(tǒng).顧客到達(dá)排隊系統(tǒng)為參數(shù)為λ的泊松過程.如果到達(dá)的顧客發(fā)現(xiàn)服務(wù)臺處于空閑狀態(tài),則他會立即被服務(wù),在服務(wù)臺前面沒有等待空間,如果到達(dá)的顧客發(fā)現(xiàn)服務(wù)臺處于繁忙狀態(tài),則他可能會加入虛擬的重試軌道,實際上,這些軌道中的顧客可以被看作“等待顧客”,當(dāng)服務(wù)臺處于空閑狀態(tài)時,服務(wù)臺會根據(jù)FCFS規(guī)則從“等待名單”中選擇顧客進(jìn)行服務(wù),“等待顧客”的重試時間間隔服從參數(shù)為θ的指數(shù)分布,但是如果在這個過程中有新的顧客到達(dá)系統(tǒng),則“等待顧客”的重試將會被打斷,服務(wù)臺會對新到達(dá)的顧客進(jìn)行服務(wù).我們假設(shè)服務(wù)時間服從相互獨立且參數(shù)為μ的指數(shù)分布.服務(wù)臺在服務(wù)一名顧客時會因為它到達(dá)“壽命”極限而損壞,服務(wù)臺的“壽命”服從參數(shù)為γ的指數(shù)分布.如果服務(wù)臺發(fā)生損壞,則它會被立即送去維修,且正在被服務(wù)的顧客需要等待服務(wù)臺被修好,然后完成他的剩余服務(wù),維修時間服從參數(shù)為α的指數(shù)分布,另外,服務(wù)臺在被修好以后和新的一樣,我們假設(shè)服務(wù)臺在損壞的時候,新到達(dá)的顧客不會選擇加入系統(tǒng)(包括重試軌道).當(dāng)服務(wù)臺處于休眠狀態(tài)時,它不會為顧客提供任何服務(wù),直到重試軌道中的顧客數(shù)達(dá)到給定的閾值N(N ≥1),服務(wù)臺被啟動,其啟動時間可忽略不計.當(dāng)服務(wù)臺被啟動以后,它會為所有的顧客提供窮盡服務(wù),在這之后,排隊系統(tǒng)會變空,服務(wù)臺會再次進(jìn)入休眠狀態(tài).我們假設(shè)到達(dá)時間間隔、服務(wù)時間、重試時間間隔、服務(wù)臺“壽命”和維修時間相互獨立.

    新顧客到達(dá)排隊系統(tǒng)的瞬間會決定加入系統(tǒng)或者止步.每一位顧客在完成服務(wù)后會獲得回報R,并且他們在系統(tǒng)中的逗留期間(包括排隊等待和被服務(wù)期間)的單位費用為C.假設(shè)每位顧客都是風(fēng)險中立的且想自己的收益最大化,如果服務(wù)后得到的回報比逗留期間的費用大,則顧客會選擇加入系統(tǒng),如果服務(wù)后得到的回報等于或小于逗留期間的費用,則顧客會選擇止步.我們假設(shè):

    其中最后一項表示不可靠排隊系統(tǒng)的廣義服務(wù)時間(見文[17]),這能夠保證到達(dá)的顧客發(fā)現(xiàn)服務(wù)臺處于空閑狀態(tài)會選擇加入系統(tǒng).我們進(jìn)一步假設(shè)顧客一旦做出進(jìn)入系統(tǒng)的決定則不能反悔,即不能中途選擇退出; 如果顧客決定止步也不能再次返回系統(tǒng).

    對于所研究的排隊系統(tǒng),定義{I(t),N(t),t ≥0}表示在時刻t時系統(tǒng)的狀態(tài),其中I(t)表示服務(wù)臺的狀態(tài)(0 : 休眠,1 : 繁忙,2 : 空閑,3 : 損壞),N(t) 表示表示軌道中的顧客數(shù).很明顯,隨機過程{I(t),N(t),t ≥0} 在狀態(tài)空間{(0,i),0 ≤i ≤N -1;(1,j),j ≥0;(2,k),k ≥1,(3,n),n ≥0} 上為一個連續(xù)時間馬爾科夫鏈.

    在這篇文章中,主要研究幾乎不可見的情形,即到達(dá)的顧客只知道服務(wù)臺的狀態(tài).在這個規(guī)則下顧客到達(dá)瞬間選擇加入系統(tǒng)的概率就依賴于服務(wù)臺當(dāng)前的狀態(tài)I(t),我們假設(shè)當(dāng)顧客在發(fā)現(xiàn)服務(wù)臺狀態(tài)為i時均以相同的策略以概率qi(i = 0,1,2,3)加入系統(tǒng),即有效均衡到達(dá)率λi=λqi(i=0,1,2,3),這說明λi≤λ.

    因為假設(shè)條件(2.1)的存在,則當(dāng)顧客到達(dá)系統(tǒng)時發(fā)現(xiàn)服務(wù)臺處于空閑狀態(tài),他肯定會選擇加入系統(tǒng),這意味著λ2=λ,又因為假設(shè)服務(wù)臺在損壞時,到達(dá)的顧客不會加入系統(tǒng)(包括重試軌道),即λ3=0,所以,在這兩種情況下,顧客的決策行為是確定的,不受其它顧客決策行為所影響的.因此,只需要研究當(dāng)服務(wù)臺狀態(tài)處于I(t)=0,1時(0: 休眠,1: 繁忙),到達(dá)顧客的決策行為.本文中,通過I(t)=0,1時顧客的均衡到達(dá)率來研究顧客的決策行為.該排隊系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)存在當(dāng)且僅當(dāng)(見文[3,24]):

    其系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移率如圖2.1所示.

    圖2.1 系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移率圖

    3.均衡到達(dá)率

    在這一節(jié)里,我們研究在幾乎不可見的情形下顧客的均衡到達(dá)率.令{p(0,i),0 ≤i ≤N-1;p(1,j),j ≥0;p(2,k),k ≥1;p(3,n),n ≥0}馬爾科夫鏈{I(t),N(t),t ≥0}的穩(wěn)態(tài)分布.則相應(yīng)的母函數(shù)定義如下:

    其中|z|≤1.我們得到如下初步結(jié)果.

    引理3.1對于帶有N策略和不可靠服務(wù)臺且擁有恒定重試率的M/M/1 排隊系統(tǒng),若給定到達(dá)率(λ0,λ1,λ,0),則服務(wù)臺狀態(tài)i=0,1,2,3 的穩(wěn)態(tài)概率分別如下:

    而且我們還可以得到如下等式:

    其中:

    證穩(wěn)態(tài)分布的平衡方程如下:

    由(3.11)可以得到:

    所以:

    由(3.16)很容易可以得到:

    由(3.12)和(3.13)可以得到:

    將(3.19)帶入上式可以得到:

    由(3.10)、(3.14)、(3.15)和(3.17)可以得到:

    再聯(lián)立(3.21)和(3.22)可以得到:

    最后,由(3.19)可以得到:

    從(3.18)、(3.23)、(3.24)和(3.25)可以看到P0(z)、P1(z)、P2(z)和P3(z)均可以用p(0,0)來表示,再根據(jù)歸一性,就可以計算出:

    另外,通過對(3.18)、(3.23)、(3.24)和(3.25)分別對z求一階導(dǎo),然后取z =1,就可以得到(3.5)、(3.6)、(3.7)和(3.8).

    設(shè)T(0,j),1 ≤j ≤N -1,T(1,j),j ≥0,T(2,j),j ≥1,和T(3,j),j ≥0分別表示一名標(biāo)記顧客處于重試軌道中第j個位置,且服務(wù)臺狀態(tài)為i=0,1,2,3 的逗留時間.我們可以得到如下引理.

    引理3.2對于帶有N策略和不可靠服務(wù)臺且擁有恒定重試率的M/M/1排隊系統(tǒng),若一名標(biāo)記顧客處于重試軌道中第j個位置,且服務(wù)臺狀態(tài)為i = 0,1,2,3,則他的預(yù)期逗留時間分別為:

    證通過分析我們可以得到如下等式:

    (3.30)式表示不可靠排隊系統(tǒng)的廣義服務(wù)時間(見文[17]).若一名標(biāo)記顧客處于重試軌道中的第j個位置且服務(wù)臺處于1狀態(tài),則他的預(yù)期逗留時間由以下幾部分組成,首先他需要等待一段時間,這段時間表示接下來有新顧客到達(dá)并加入系統(tǒng)、正在被服務(wù)的顧客完成服務(wù)以及服務(wù)臺損壞三者中有一個事件先發(fā)生的時間,且它服從參數(shù)為λ1+μ+γ的指數(shù)分布.若接下來以概率發(fā)生第一個事件,則該標(biāo)記顧客的預(yù)期逗留時間變?yōu)門(1,j); 若接下來以概率發(fā)生第二個事件,則該標(biāo)記顧客的預(yù)期逗留時間變?yōu)門(2,j); 若接下來以概率發(fā)生第三個事件,則該標(biāo)記顧客的預(yù)期逗留時間變?yōu)門(3,j),通過上述分析,我們得到(3.31).利用相同的分析方法,我們可以得到(3.32)、(3.33)和(3.34).

    接下來,將(3.33)和(3.34)帶入(3.31),可以得到:

    再結(jié)合(3.30),可以得到(3.27):

    最后利用(3.27),再經(jīng)過簡單的計算,我們可以很容易得到(3.26)、(3.28) 和(3.29).

    通過引理3.1和引理3.2,可以得到如下定理:

    定理3.1對于帶有N策略和不可靠服務(wù)臺且擁有恒定重試率的M/M/1排隊系統(tǒng),若給定到達(dá)率(λ0,λ1,λ,0),則一個標(biāo)記顧客到達(dá)瞬間發(fā)現(xiàn)服務(wù)臺處于0狀態(tài)或1狀態(tài)并選擇加入系統(tǒng)的平均預(yù)期逗留時間分別為:

    證設(shè)W0(k)示重試軌道中有k個顧客且服務(wù)臺處于0 狀態(tài),一名顧客選擇加入系統(tǒng)的預(yù)期逗留時間.很容易可以看出W0(k)可以用T(0,k+1) 來表示,即:W0(k) = T(0,k+1) =可由(3.26)得到.另設(shè)P(k|0)表示服務(wù)臺處于0狀態(tài)且重試軌道中有k個顧客的條件概率,即因此,一個標(biāo)記顧客到達(dá)瞬間發(fā)現(xiàn)服務(wù)臺處于0狀態(tài)并選擇加入系統(tǒng)的平均預(yù)期逗留時間為:

    再由引理3.1我們就可以得到(3.36).同樣的一個標(biāo)記顧客到達(dá)瞬間發(fā)現(xiàn)服務(wù)臺處于1狀態(tài)且重試軌道中有k個顧客并選擇加入系統(tǒng)的條件概率和平均預(yù)期逗留時間分別為:

    其中,P1(1)由引理3.1可得,T(1,k+1)由引理3.2可得.因此,一個標(biāo)記顧客到達(dá)瞬間發(fā)現(xiàn)服務(wù)臺處于1狀態(tài)并選擇加入系統(tǒng)的平均預(yù)期逗留時間為:

    再次由引理3.1我們就可以得到(3.37).

    從定理3.1很容易可以看出,平均預(yù)期逗留時間W0(或W1)是獨立于λ1(或λ0)的,所以我們可以分別得到相應(yīng)的均衡到達(dá)率(唯一均衡或多元均衡).而且,在接下來的定理3.2可以發(fā)現(xiàn)擁擠偏好(FTC)情形和擁擠厭惡(ATC)情形在某些情況下是存在的.

    定理3.2對于帶有N策略和不可靠服務(wù)臺且擁有恒定重試率的M/M/1排隊系統(tǒng),當(dāng)服務(wù)臺處于休眠狀態(tài)(i=0)時,顧客均衡到達(dá)率如下:

    當(dāng)服務(wù)臺處于繁忙狀態(tài)(i=1)時,顧客均衡到達(dá)率如下:

    其中,

    證首先,一名顧客到達(dá)時發(fā)現(xiàn)服務(wù)臺處于休眠狀態(tài),止步總是一種均衡策略,因為如果其它所有顧客均選擇止步,則服務(wù)臺永遠(yuǎn)不會被激活,那么對于標(biāo)記顧客來說此時止步是最好的選擇.所以,λe=0總是一個均衡到達(dá)率且與R無關(guān).

    我們現(xiàn)在來考慮當(dāng)標(biāo)記顧客到達(dá)時發(fā)現(xiàn)服務(wù)臺處于休眠狀態(tài)的正的均衡到達(dá)率.根據(jù)收益函數(shù)的結(jié)構(gòu),標(biāo)記顧客選擇加入系統(tǒng)的凈收益等于他完成服務(wù)獲得的獎勵R與逗留總花費之差,所以根據(jù)定理3.1,我們可以得到標(biāo)記顧客預(yù)期凈收益為:

    我們可以看出,S0(λ0)是關(guān)于λ0∈[0,λ] 嚴(yán)格單調(diào)遞增的,所以,我們可以得到如下幾個結(jié)論:

    同樣的,根據(jù)定理3.1,如果一名到達(dá)顧客發(fā)現(xiàn)服務(wù)臺處于繁忙狀態(tài)且決定加入系統(tǒng),他的預(yù)期凈收益為:

    另外,(3.39)的證明過程同上述(3.38)的證明過程.

    注3.1因為S1(λ1)是關(guān)于λ1∈[0,λ]的減函數(shù),一方面,當(dāng)顧客到達(dá)率為λ1且λ1>時,若標(biāo)記顧客到達(dá)并選擇加入系統(tǒng),則他的預(yù)期凈收益為負(fù)值,因此,此時標(biāo)記顧客的唯一最優(yōu)決策是止步(λ1=0),另一方面,當(dāng)顧客到達(dá)率為λ1且λ1<時,若標(biāo)記顧客到達(dá)并選擇加入系統(tǒng),則他的預(yù)期凈收益為正值,因此,此時標(biāo)記顧客的唯一最優(yōu)決策是加入(λ1=λ).上述分析表明了: 標(biāo)記顧客的最優(yōu)決策是關(guān)于其它顧客所采用決策的減函數(shù),即: 其它顧客的到達(dá)率越高,則標(biāo)記顧客的最優(yōu)到達(dá)率越低,這是擁擠厭惡(ATC)情形,所以至少存在一個均衡到達(dá)率.另外要注意唯一均衡到達(dá)率λ′1是穩(wěn)定的,因為W1是關(guān)于λ1∈[0,λ]的增函數(shù),所以顧客到達(dá)率λ1的增加會使得平均預(yù)期逗留時間的增加,這樣就會導(dǎo)致選擇加入系統(tǒng)的顧客變少,所以顧客到達(dá)率λ1的增加就會得到遏制,因此唯一均衡到達(dá)率就會逐漸趨于一個穩(wěn)定的值.同樣的,我們很容易可以看出來S0(λ0)是關(guān)于λ0∈[0,λ]的增函數(shù),應(yīng)用上述相同的分析方法,可以得到它對應(yīng)的是擁擠偏好(FTC)情形,所以多元均衡到達(dá)率可能存在且均衡到達(dá)率是不穩(wěn)定的.

    4.社會收益

    社會收益等于所有顧客預(yù)期凈收益之和,所以要求社會最優(yōu)到達(dá)率,需要將所有顧客看作一個整體并且使得社會收益最大化.首先,我們給出社會收益函數(shù)S(λ0,λ1) 的表達(dá)式,然后尋找使它最大化的參數(shù)(服務(wù)臺處于0狀態(tài)時的社會最優(yōu)到達(dá)率)和(服務(wù)臺處于1狀態(tài)時的社會最優(yōu)到達(dá)率).

    定理4.1社會收益函數(shù)表達(dá)式如下:

    其中,P0(1)、P1(1)和P2(1)由引理3.1可得,W0和W1由定理3.1可得.

    證如果λ0= 0,則服務(wù)臺永遠(yuǎn)處于休眠狀態(tài),不會被激活,所以此時社會收益為0,得到(4.1)第一部分; 如果λ00,根據(jù)社會收益的定義,社會收益函數(shù)等于所有顧客的預(yù)期凈收益之和,即:

    得到(4.1)的第二部分.

    注4.1通過計算,可以得到這說明當(dāng)服務(wù)臺處于休眠狀態(tài)且顧客到達(dá)時間間隔趨于無窮大的時候,社會收益會為負(fù)值.這種現(xiàn)象可以從管理者的角度理解,當(dāng)顧客到達(dá)率為無窮小的時候,管理者關(guān)閉系統(tǒng)是最好的選擇.

    注4.2當(dāng)θ →∞時,即重試時間趨于0,這個時候我們所研究的系統(tǒng)可以看作是一個帶有N策略和不可靠服務(wù)臺的M/M/1排隊系統(tǒng).

    因為求得S(λ0,λ1)的表達(dá)式非常復(fù)雜,通過傳統(tǒng)的計算很難得到相應(yīng)的結(jié)果,所以,在后一節(jié)中我們采用粒子群優(yōu)化算法(PSO)得到和的值.

    PSO算法最先由Kennedy和Eberhart在1995年提出,它有精度高、收斂速度快等特點,使用它我們不需要對目標(biāo)函數(shù)做太多的分析,可以很容易找到全局最優(yōu)解,這些特性剛好是我們所需要的,下面就簡單介紹一下PSO 算法的要點.

    首先,需要設(shè)置如下幾個參數(shù): 最大迭代次數(shù)、目標(biāo)函數(shù)的自變量個數(shù)和粒子的最大速度,其中每個粒子只具有兩種屬性: 速度和位置,速度代表粒子移動的快慢,位置代表粒子移動的方向.開始時位置信息會設(shè)置為整個搜索空間,并且會在速度區(qū)間和搜索空間上隨機初始化粒子的速度和位置,然后不斷迭代更新粒子的速度和位置,同時得到每個粒子的最優(yōu)解(個體極值),再從這些個體極值中找到一個最優(yōu)解稱為本次全局最優(yōu)解,將它再與歷史最優(yōu)進(jìn)行比較,不斷更新,最后,就能得到我們所需要的全局最優(yōu).

    速度和位置更新公式如下:

    其中,ω稱為慣性因子,較大時,算法全局尋優(yōu)能力強,局部尋優(yōu)能力弱,較小時,算法全局尋優(yōu)能力弱,局部尋優(yōu)能力強,所以,通過調(diào)整ω的大小,可以對算法全局尋優(yōu)能力和局部尋優(yōu)能力進(jìn)行調(diào)節(jié).c1和c2稱為加速常數(shù),前者稱為每個粒子的個體學(xué)習(xí)因子,后者稱為每個粒子的社會學(xué)習(xí)因子.pid表示第i個變量的個體極值的第d維,pgd表示全局最優(yōu)解的第d維.

    本文中,我們設(shè)置ω =0.9,c1=c2=2,粒子數(shù)S =100,最大迭代次數(shù)M =2000.盡管迭代次數(shù)不夠大,但重復(fù)了6次發(fā)現(xiàn)結(jié)果幾乎一樣.

    5.數(shù)值結(jié)果

    本節(jié)中,我們主要基于PSO算法研究不同參數(shù)(N,R,θ,μ,α,γ)對社會收益函數(shù)S(λ0,λ1)的影響,導(dǎo)出了的數(shù)值最優(yōu)解進(jìn)而得到然后再對系統(tǒng)性能指標(biāo)的敏感性進(jìn)行分析.

    圖5.1 社會最優(yōu)到達(dá)率()和社會收益S()關(guān)于N的變化(λ=1,μ=θ =3,α=γ =1,R=8,C =2)

    綜上所述: 如果社會管理者想得到一個較高的社會收益,他就必須設(shè)置N為一個相對較小的值.我們在圖5.1(b)中可以看到,當(dāng)N = 1 時,社會收益達(dá)到最大值,也就是說,當(dāng)一名顧客到達(dá)時發(fā)現(xiàn)服務(wù)臺處于休眠狀態(tài)并選擇加入系統(tǒng),系統(tǒng)就會被立即激活,這種情況下系統(tǒng)的社會收益達(dá)到最大值.

    圖5.2 社會最優(yōu)到達(dá)率()和社會收益S()關(guān)于R的變化(λ=1,μ=θ =3,α=γ =1,N =4,C =2)

    圖5.2(b)顯示: 當(dāng)R = 1,2,3,4,5,6時,S() = 0,當(dāng)R >6時,S變?yōu)檎登抑饾u變大.

    綜上所述: 后到顧客帶來的正收益將彌補早到顧客的損失,所以從整體來看,所有顧客的社會收益都是正值,因此,如果社會管理者想要獲得一個較高的社會收益,他需要設(shè)定一個相對較大的R,鼓勵更多的顧客選擇加入系統(tǒng).

    圖5.3 社會最優(yōu)到達(dá)率和社會收益關(guān)于θ的變化(λ=1,μ=3,α=γ =1,N =4,R=8,C =2)

    綜上所述: 社會管理者如果想獲得一個較大的社會收益,則他需要設(shè)定相對較大的θ.

    圖5.4 社會最優(yōu)到達(dá)率()和社會收益S()關(guān)于μ的變化(λ=1,θ =3,α=γ =1,N =4,R=8,C =2)

    綜上所述: 若社會管理者希望系統(tǒng)被激活以后有更多的顧客選擇加入系統(tǒng),以獲得較高的社會收益,他需要設(shè)置μ>2.4.

    圖5.5 社會最優(yōu)到達(dá)率(,)和社會收益S(,)關(guān)于α的變化(λ=1,μ=θ =3,γ =1,N =4,R=8,C =2)

    綜上所述: 若社會管理者希望獲得較高的社會收益,他需要設(shè)置α >0.6.

    圖5.6 社會最優(yōu)到達(dá)率(,)和社會收益S(,)關(guān)于γ 的變化(λ=1,μ=θ =3,α=1,N =4,R=8,C =2)

    綜上所述: 若社會管理者希望獲得較高的社會收益,則他必須保證服務(wù)臺的“質(zhì)量”,使服務(wù)臺“壽命”盡可能的長.

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