基于動(dòng)態(tài)閾值函數(shù)的改進(jìn)小波包遙測(cè)信號(hào)去噪方法

胡 健，玄志武，劉 學(xué)，徐洪洲

(中國(guó)人民解放軍91550部隊(duì)，遼寧 大連 116023 )

0 引言

在進(jìn)行飛行器試驗(yàn)時(shí)，通過(guò)利用遙測(cè)信號(hào)來(lái)獲取飛行器的工作狀態(tài)和環(huán)境數(shù)據(jù)，為評(píng)定性能和故障分析提供依據(jù)。因此，遙測(cè)信號(hào)的好壞影響到對(duì)飛行器性能的判斷和改進(jìn)，以及飛行故障的原因分析和部位定位。由于遙測(cè)信號(hào)在試驗(yàn)中易受到環(huán)境噪聲和測(cè)量噪聲的干擾，所以在進(jìn)行遙測(cè)數(shù)據(jù)處理前，對(duì)遙測(cè)信號(hào)進(jìn)行去噪預(yù)處理是必不可少的重要步驟。

早期采用傅里葉變換法[1-3]來(lái)去除遙測(cè)信號(hào)噪聲，在處理有效信號(hào)和噪聲信號(hào)重疊較多的情形時(shí)效果不太理想，具有局限性。小波變換[4-6]因具有較好的時(shí)頻局部化特性，特別適用于非平穩(wěn)信號(hào)分析，近年來(lái)在遙測(cè)信號(hào)去噪領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用。但是小波去噪法不對(duì)高頻細(xì)節(jié)信號(hào)進(jìn)行分解，較難刻畫(huà)信號(hào)的局部邊緣特性。因此雖然小波分析方法比傳統(tǒng)的傅立葉方法消除噪聲干擾效果好，但有時(shí)并不是十分理想。小波包去噪法[7-9]是在小波去噪法的基礎(chǔ)上，對(duì)信號(hào)分解后的各個(gè)頻段同時(shí)進(jìn)行分析。小波包分析與小波分析相比，由于同時(shí)對(duì)上一級(jí)分解信號(hào)的低頻和高頻部分進(jìn)行分解，能夠進(jìn)一步去除高頻信號(hào)中的噪聲，提高了頻率分辨率，對(duì)于細(xì)節(jié)信號(hào)刻畫(huà)更加精細(xì)。

小波包去噪的關(guān)鍵是閾值的選取及閾值函數(shù)的定義，為提高小波包去噪法的效果，針對(duì)閾值選取開(kāi)展了大量研究。目前較為常見(jiàn)的小波包去噪法閾值準(zhǔn)則有4種：固定形式閾值準(zhǔn)則(Sqtwolog)、自適應(yīng)閾值準(zhǔn)則(Rigrsure)、啟發(fā)式閾值準(zhǔn)則(Heursure)、極小化極大閾值準(zhǔn)則(Minimaxi)。其中，去噪效果最好的是Sqtwolog準(zhǔn)則，但是也最易造成有用信號(hào)的丟失，適合高頻段使用。最保守的是Minimaxi準(zhǔn)則，但能夠保證有效信號(hào)不易丟失，適合低頻段使用。因此，文獻(xiàn)[10-11]采用了多閾值準(zhǔn)則的小波包去噪方法，對(duì)小波包分解的高頻系數(shù)和低頻系數(shù)采用不同的閾值準(zhǔn)則處理，提高了去噪效果。對(duì)于閾值函數(shù)的定義，目前普遍使用的是閾值函數(shù)，它是由Donoho提出的硬閾值函數(shù)和軟閾值函數(shù)。其中，硬閾值函數(shù)可以較好地保留信號(hào)邊緣等局部特性，但是由于不連續(xù)，使得重構(gòu)信號(hào)出現(xiàn)原有信號(hào)沒(méi)有的振蕩，所以適合突變信號(hào)。軟閾值函數(shù)處理信號(hào)時(shí)具有較好的連續(xù)性，處理效果相對(duì)平滑，但去噪后信號(hào)幅值會(huì)出現(xiàn)與原信號(hào)偏差的情形，適合處理平滑信號(hào)。針對(duì)軟、硬閾值函數(shù)的研究，文獻(xiàn)[12]通過(guò)控制噪聲和信號(hào)之間的過(guò)渡區(qū)域的衰減程度，更加符合自然信號(hào)的連續(xù)性；文獻(xiàn)[13]提出一種基于Shannon熵的自適應(yīng)小波包閾值去噪算法，實(shí)現(xiàn)在不同噪聲強(qiáng)度背景下，閾值函數(shù)的平滑過(guò)渡。這些通過(guò)改進(jìn)閾值函數(shù)的方法，擴(kuò)大了小波包去噪方法的適用范圍。

本文在傳統(tǒng)小波包去噪方法的基礎(chǔ)上，提出一種基于動(dòng)態(tài)閾值函數(shù)的改進(jìn)小波包遙測(cè)信號(hào)去噪方法：1)首先根據(jù)小波包分解后的不同頻段，根據(jù)各分頻段的特征，采用不同的閾值準(zhǔn)則，來(lái)代替單一閾值準(zhǔn)則;2)其次對(duì)閾值函數(shù)進(jìn)行改進(jìn)，構(gòu)建一個(gè)介于硬閾值函數(shù)和軟閾值函數(shù)之間并可切換的動(dòng)態(tài)閾值函數(shù)，通過(guò)在閾值函數(shù)中量化待分解信號(hào)的平滑程度，來(lái)改變新閾值函數(shù)的軟硬程度。在處理信號(hào)平滑部分時(shí)，動(dòng)態(tài)閾值函數(shù)向軟閾值函數(shù)轉(zhuǎn)變，在處理信號(hào)突變部分時(shí)，動(dòng)態(tài)閾值函數(shù)向硬閾值函數(shù)轉(zhuǎn)變。最后，利用本文所提方法與傳統(tǒng)小波包方法對(duì)仿真算例信號(hào)進(jìn)行去噪比較，結(jié)果表明本文方法對(duì)信號(hào)去噪后，能在保持良好信號(hào)邊緣特性的同時(shí)，有效減小振蕩，具有更好的去噪效果。

1 小波包去噪理論

小波變換主要適用對(duì)信號(hào)的低頻部分進(jìn)行分解，較難對(duì)高頻部分進(jìn)行分解，因此去噪效果不夠精細(xì)。而小波包信號(hào)可以沒(méi)有遺漏地對(duì)信號(hào)全頻進(jìn)行分解，因此不會(huì)丟失信號(hào)高頻部分的有用信息。其信號(hào)分解的過(guò)程是利用高-低通共軛濾波器將信號(hào)進(jìn)行分解，這過(guò)程中會(huì)引起各層分解信號(hào)的頻率順序與節(jié)點(diǎn)的順序不一致。以3層小波包分解為例，其分解結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 3層小波包分解結(jié)構(gòu)圖

小波包去噪的步驟如下：

1)選取合適的小波包分解層次，利用小波包分解公式，對(duì)信號(hào)進(jìn)行小波包分解；

其中，小波包的分解公式如式(1)：

(1)

式中，dj2n和dj2n+1分別表示第j層第2n個(gè)節(jié)點(diǎn)和第j層第2n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)的小波包系數(shù)。h和g為濾波器系數(shù)。

2)選取最優(yōu)小波包基，確定最優(yōu)樹(shù)：小波包基是一組小波包的正交規(guī)范基，因此對(duì)于需要去噪的信號(hào)，小波包基可以有很多個(gè)。在進(jìn)行小波包去噪時(shí)，根據(jù)不同的小波包基的時(shí)頻特性進(jìn)行選取，最終的去噪效果也會(huì)不同。為了達(dá)到最好的去噪效果，在用小波法去噪時(shí)，會(huì)采用選取最優(yōu)小波包基來(lái)提高去噪效果。選取最優(yōu)小波包基方法是，通過(guò)一個(gè)熵標(biāo)準(zhǔn)，利用代價(jià)函數(shù)取最小值時(shí)來(lái)確定最優(yōu)小波包基。

3)進(jìn)行閾值計(jì)算和閾值函數(shù)處理：通過(guò)閾值法來(lái)確定小波包系數(shù)，使得有效信號(hào)分量對(duì)應(yīng)的小波包系數(shù)較大，而噪聲信號(hào)分量對(duì)應(yīng)的小波包系數(shù)較小。然后通過(guò)與閾值的比較，只保留大于閾值的小波包系數(shù)，而比閾值小的小波包系數(shù)則被舍去忽略不計(jì)，這樣就把噪聲信號(hào)分量給消去了。閾值法適合用于信噪比較大的信號(hào)消噪處理，其中閾值的選擇是關(guān)鍵，若閾值取得過(guò)于保守，在消噪的過(guò)程中可能會(huì)損失部分有用信號(hào)，若閾值選擇過(guò)小，則去噪效果不理想。

4)根據(jù)小波包重構(gòu)公式，通過(guò)利用閾值處理后的小波包系數(shù)進(jìn)行小波包重構(gòu)。

小波包重構(gòu)公式如式(2)：

(2)

2 改進(jìn)的小波包去噪方法

由于飛行器在飛行試驗(yàn)過(guò)程中，通常存在飛行狀態(tài)的改變，改變過(guò)程中測(cè)量參數(shù)往往會(huì)在平緩變化下突然發(fā)生較大改變，飛行器遙測(cè)信號(hào)是既包含平滑成分也含突變成分，因此在去噪的過(guò)程中，不能簡(jiǎn)單地認(rèn)為低頻段反映的是有用信息，高頻段的是噪聲。此時(shí)若使用傳統(tǒng)閾值函數(shù)法進(jìn)行去噪處理，不能在保持良好信號(hào)邊緣特性與消除恒定偏差的同時(shí)，又能避免出現(xiàn)信號(hào)原本沒(méi)有的振蕩。

本文針對(duì)遙測(cè)信號(hào)復(fù)雜成分，提出一種基于動(dòng)態(tài)閾值函數(shù)的改進(jìn)小波包遙測(cè)信號(hào)去噪方法，主要分為閾值準(zhǔn)則的選取，和對(duì)閾值函數(shù)進(jìn)行改進(jìn)，引入平滑因子根據(jù)信號(hào)實(shí)時(shí)改變閾值函數(shù)軟硬程度，步驟如下所述。

2.1 閾值準(zhǔn)則選取

目前4種常用的閾值準(zhǔn)則表達(dá)式如下所示：

1)固定形式閾值準(zhǔn)則(Sqtwolog)。其表達(dá)式形式固定，如式(3)所示：

(3)

式中，N為信號(hào)的長(zhǎng)度，σ為信號(hào)噪聲標(biāo)準(zhǔn)差。

2)自適應(yīng)閾值準(zhǔn)則(Rigrsure)。其表達(dá)式如式(4)所示：

(4)

式中，Q為根據(jù)無(wú)偏似然估計(jì)得到的分解系數(shù)平方。

3)啟發(fā)式閾值準(zhǔn)則(Heursure)。其表達(dá)式如式(5)所示：

(5)

式中，W為長(zhǎng)度為N的信號(hào)小波包分解系數(shù)平方和。

4)極小化極大閾值準(zhǔn)則(Minimaxi)。其表達(dá)如式(6)所示：

(6)

由于4種閾值準(zhǔn)則根據(jù)頻率分布均有自己的適用范圍，因此只選用一種閾值準(zhǔn)則對(duì)小波包分解系數(shù)進(jìn)行處理有可能造成過(guò)度去噪或者去噪效果不理想。本文采用文獻(xiàn)[11]所提的分段閾值準(zhǔn)則，根據(jù)頻段選用合適的準(zhǔn)則，其選取如表1所示。

表1 分段閾值準(zhǔn)則

2.2 改進(jìn)的動(dòng)態(tài)閾值函數(shù)

目前廣泛使用的傳統(tǒng)閾值函數(shù)是Donoho提出的軟硬閾值函數(shù)，其表達(dá)式如式(7)和式(8)所示：

(7)

(8)

傳統(tǒng)的硬閾值和軟閾值函數(shù)都存在各自的缺點(diǎn)：對(duì)于硬閾值函數(shù)，當(dāng)小波包原始分解系數(shù)小于閾值時(shí)，將其清為零，大于時(shí)則保持不變，這種處理方式適合處理突變信號(hào)，但這種不連續(xù)的處理方式，在處理平滑信號(hào)時(shí)，容易錯(cuò)誤的重構(gòu)出系統(tǒng)原本沒(méi)有的振蕩。對(duì)于軟閾值函數(shù)，當(dāng)小波包原始分解系數(shù)小于閾值時(shí)，將其清為零，大于閾值時(shí)則將原始小波包系數(shù)的絕對(duì)值與閾值的差作為處理后的小波包分解系數(shù)，這種處理方式適合平滑信號(hào)，但這使得去噪后信號(hào)幅值存在恒定差值，喪失高頻特征，影響重構(gòu)精度。

為了改進(jìn)傳統(tǒng)閾值函數(shù)法的不足之處，本文提出了一種新的動(dòng)態(tài)閾值函數(shù)，首先用參數(shù)R來(lái)量化信號(hào)平滑程度，其表達(dá)式如下：

(7)

式中，N為信號(hào)長(zhǎng)度，Rn為第n個(gè)信號(hào)點(diǎn)的平滑程度的量化值，其取值在0～1之間，當(dāng)R為0的時(shí)候表示信號(hào)值在此刻值與前一刻值不變，值越大表示信號(hào)突變程度越大。提出改進(jìn)的閾值函數(shù)表達(dá)式如式(8)所示：

(8)

根據(jù)式(8)可知，

(9)

(10)

再對(duì)所提閾值函數(shù)進(jìn)行分段分析：

(1)當(dāng)|d|≥λ時(shí)：

(2)當(dāng)Rλ≤|d|<λ時(shí)：

當(dāng)R值為最大值1時(shí)，Rλ=λ，式(8)等號(hào)右邊第二式可以和第一式合并，變?yōu)橛查撝岛瘮?shù)；

當(dāng)R值為最小值0時(shí)，Rλ=0，式(8)等號(hào)右邊第二式可以和第三式合并，變?yōu)檐涢撝岛瘮?shù)；

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

采用仿真信號(hào)和試驗(yàn)算例對(duì)本文所提的基于動(dòng)態(tài)閾值函數(shù)的改進(jìn)小波包去噪方法，同傳統(tǒng)小波包硬閾值函數(shù)法、軟閾值函數(shù)法進(jìn)行性能對(duì)比驗(yàn)證，選擇信噪比(SNR)和均方根誤差(RMSE)來(lái)對(duì)比各方法的去噪效果。

(11)

(12)

3.1 仿真信號(hào)分析

構(gòu)造仿真信號(hào)如式(13)所示：

ψ(τi,θi)=

(13)

其中：n(t)為高斯白噪聲，信號(hào)長(zhǎng)度N=1 024，采樣頻率為fs=10 kHz，A=[4.5,6,4]和θ=[π/6,π/4,π/3]和分別為給定的幅值和初始相位向量，驅(qū)動(dòng)頻率fr=1 kHz，阻尼系數(shù)ξ=0.01，τ=[0.02,0.06,0.1]為脈沖起始時(shí)刻，T為脈沖持續(xù)時(shí)間，n(t)為加入-2 dB的高斯白噪聲。

通過(guò)對(duì)比db系列小波包基函數(shù)輸出信噪比后，采用db4小波包基函數(shù)進(jìn)行5層小波包分解，表2為去噪效果對(duì)比，圖2為原始信號(hào)，圖3為含噪信號(hào)圖，圖4～6分別為傳統(tǒng)小波包軟閾值函數(shù)法、硬閾值函數(shù)法、以及本文方法的去噪效果。

圖2 原始信號(hào)

圖3 含噪信號(hào)

圖4 軟閾值法去噪效果

圖5 硬閾值法去噪效果

圖6 本文方法去噪效果

去噪方法SNRRMSE軟閾值法27.570 70.720 4硬閾值法31.349 30.567 3本文方法33.896 80.499 5

由圖4可以看出，用傳統(tǒng)小波包軟閾值去噪方法進(jìn)行去噪時(shí)，雖然原始信號(hào)平滑部分獲得了較好的去噪效果，但是遇到信號(hào)突變時(shí)，丟失了原始信號(hào)的高頻特征；由圖5可以看出，用傳統(tǒng)小波包硬閾值去噪方法進(jìn)行去噪時(shí)，由于閾值函數(shù)的不連續(xù)性，在信號(hào)發(fā)生突變前后，重構(gòu)信號(hào)出現(xiàn)了原始信號(hào)和含噪信號(hào)都沒(méi)有的振蕩；由圖6可以看出，用所提方法進(jìn)行去噪時(shí)，高頻特征得到了保留的同時(shí)，在信號(hào)突變前后，并未在增加原始信號(hào)沒(méi)有的振蕩信號(hào)，對(duì)噪聲信號(hào)起到了較好的去噪作用。

由表2對(duì)比可以看出，本文所提方法提高了信噪比，降低了均方根誤差證明了本文方法的有效性。

3.2 試驗(yàn)信號(hào)分析

選取飛行器試驗(yàn)過(guò)程中某壓力遙測(cè)信號(hào)進(jìn)行分析。通過(guò)對(duì)比db系列小波包基函數(shù)輸出信噪比后，采用db4小波包基函數(shù)進(jìn)行6層小波包分解，圖7～9分別為傳統(tǒng)小波包軟閾值函數(shù)法、硬閾值函數(shù)法、以及本文方法的去噪效果示意圖。

圖7 軟閾值法去噪效果

圖8 硬閾值法去噪效果

由圖7可以看出，用傳統(tǒng)小波包軟閾值去噪方法對(duì)遙測(cè)信號(hào)進(jìn)行去噪時(shí)，信號(hào)平滑段發(fā)生突變后，高頻特征存在丟失；由圖8可以看出，用傳統(tǒng)小波包硬閾值去噪方法進(jìn)行去噪時(shí)，由于閾值函數(shù)的不連續(xù)性，對(duì)于信號(hào)發(fā)生變化較多的部分，重構(gòu)信號(hào)雖然高頻特征得到恢復(fù)，但是振蕩變得更劇烈了；由圖9可以看出，用所提方法進(jìn)行去噪時(shí)，高頻特征得到了保留的同時(shí)，在信號(hào)突變前后，并未在增加原始信號(hào)沒(méi)有的振蕩信號(hào)，對(duì)噪聲信號(hào)起到了較好的去噪作用。

圖9 本文所提方法去噪效果

通過(guò)算例對(duì)比，證明本文方法在處理既含突變又含平滑信號(hào)時(shí)，比傳統(tǒng)小波包法具有更好的去噪效果。

4 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)傳統(tǒng)小波包去噪方法的閾值函數(shù)在處理既含突變又含平滑信號(hào)的情形下，不能在保持良好信號(hào)邊緣特性與消除恒定偏差的同時(shí)，又能避免出現(xiàn)信號(hào)原本沒(méi)有的振蕩的問(wèn)題，本文通過(guò)采用改進(jìn)閾值函數(shù)的方法，利用量化反映信號(hào)的平滑程度的信息來(lái)對(duì)閾值函數(shù)進(jìn)行調(diào)整，使得去噪方法在處理既含平滑又含突變信號(hào)時(shí)，能夠分別采用適合各信號(hào)特征的閾值函數(shù)進(jìn)行處理，避免了去噪后出現(xiàn)信號(hào)原本沒(méi)有的振蕩的同時(shí)，有效保留信號(hào)的高頻特征，提高重構(gòu)精度。