三次多項式加減速算法的應用研究

符愛周 韓震宇 葛伊倫

(四川大學機械工程學院，四川 成都 610065)

20世紀80年代末以來，計算機運行速度等性能逐漸提高，為適應市場對多樣化制造產(chǎn)品的需求，數(shù)控系統(tǒng)朝著開放式趨勢發(fā)展[1]。為達到開放式數(shù)控系統(tǒng)高速、高精的性能目標，必須保證進給速度在加工過程中變化平穩(wěn)。

在數(shù)控機床加工過程中，電機啟停、刀具軌跡方向變化等都會造成進給速度突變。因此，這些過程均需要進行加減速控制。根據(jù)在數(shù)控系統(tǒng)運行過程中的不同階段對速度進行控制，分為前加減速控制和后加減速控制[2]。其中，前加減速控制在插補前進行，是對進給合速度控制，不會影響位置精度，但需要提前確定減速點，計算量大；后加減速控制在插補后進行，是對各軸進給速度分別控制，位置精度低，不需要提前確定減速點，計算量較小。開放式數(shù)控系統(tǒng)的加減速控制算法在PC機上執(zhí)行，克服了計算量大的難點，為保證加工精度，本文采用前加減速控制策略，但不總是控制合速度?；跁r間分割法插補原理，三次多項式的速度變化規(guī)律以及前瞻速度控制即為本文的速度控制模型。

1 基于時間分割法的三次多項式加減速控制算法簡介

1.1 時間分割法插補原理概述

時間分割法是數(shù)據(jù)采樣插補中的典型方法[2]。此插補算法根據(jù)進給速度和插補周期計算輪廓步長，即ΔL=V×T。其中，V為進給速度，即經(jīng)過加減速控制后的速度；T為插補周期；ΔL為輪廓步長，即位移增量。時間分割法圓弧插補的基本思想是以直代曲，即用弦線或割線代替圓弧，實現(xiàn)微直線進給。插補計算的任務是根據(jù)輪廓步長，在已知當前節(jié)點坐標的前提下，根據(jù)曲線類型，計算下一節(jié)點的坐標。最后通過兩節(jié)點的斜率，計算各軸在本插補周期內的位移增量。運動控制器根據(jù)微位移增量控制各軸電動機轉動可加工出預定軌跡。

1.2 三次多項式加減速控制算法概述

在三次多項式加減速控制的速度控制模型中，速度的計算公式為三次多項式其對應的加速度為二次項，與直線、三角函數(shù)和S曲線等常用加減速控制算法相比，不會突變，故該速度控制算法有較大的柔性，適用于高速高精的開放式數(shù)控系統(tǒng)。但與更高次的速度控制算法相比，其柔性度還不夠高。綜合計算復雜度和柔性度兩種因素，本文選用三次多項式的加減速控制模型。

關于三次多項式加減速控制算法本身的研究，包括具體算法的推導過程，浙江大學的冷洪濱等提出的三次多項式型段內加減速控制新方法[5]中對其進行了較為詳細的敘述，本文就不再贅述,僅給出在速度控制過程中需要用到的關鍵公式。

在基于時間分割法的速度控制算法中，不同插補周期內的速度可能不同。這就意味著，插補周期是速度在時間尺度上變化的最小依據(jù)，即速度是離散的。速度V的離散化數(shù)學模型如式(1)。

(1)

式中：Vs為起點速度；Ve為終點速度；i表示第i個插補周期；N為整數(shù)且1≤i≤N，表示加速或減速過程中總的插補次數(shù)。其中，Vs和Ve可由當前進給速度和G代碼中的指令速度獲得，N可由加速或減速過程中所需的時間tm除以插補周期T再取整獲得，即N=ceil(tm/T)，而加減速所需時間為

(2)

式中：Amax為機床的最大加速度，屬于系統(tǒng)參數(shù)，可由選用的電動機獲得。理論加減速距離Sd的計算公式為

(3)

2 常規(guī)軌跡的加減速控制

不同形狀的軌跡如直線、圓弧等以及軌跡間的過渡段，在計算復雜度和加工精度的不同要求下，具體的速度控制方法存在一定的差異。下面將具體介紹數(shù)控車床中直線和圓弧兩種常規(guī)軌跡以及兩者之間不同組合的過渡線段的速度控制策略，即三次多項式加減速控制算法的應用過程。

2.1 直線與直線間的加減速控制

如圖1，加工軌跡為兩直線段OA和AB，加工方向如圖中箭頭所示。其中，直線OA與Z軸的夾角為α，直線AB與Z軸平行。假設OA段的指令速度為F1，AB段的指令速度為F2。

對于OA段，其速度控制過程分為3個階段，分別為起始階段、勻速階段和過渡階段。

在起始階段，假設O點為刀具起點，則該階段為加速階段。其加速過程的起點速度Vs=0，終點速度Ve=F1。系統(tǒng)的最大加速度Amax已知，則由式(2)可得該階段總的插補周期N1。將Vs和Ve代入(1)式可得各插補周期對應的合進給速度Vi，即

(4)

在勻速階段，總的勻速距離Sd2=LOA-Sd1-Sd3,LOA為軌跡OA的長度，則總的插補次數(shù)N2=ceil(Sd2/F1),各插補周期對應的合進給速度為F1，X軸速度Vix=F1×sinα，Z軸速度Viz=|F1×cosα|。

對于AB段，因為在OA段的過渡階段已將速度變化到AB段中A點速度F2，所以在該段軌跡的起始階段不需要進行加減速控制，即沒有起始階段，其勻速階段和過渡階段的速度控制情況由下一軌跡段而定。

2.2 直線與圓弧間的加減速控制

如圖2，加工軌跡為直線段PC、圓弧CD和直線段DE,加工方向與圖中箭頭方向相同。線段PC與Z軸平行,圓弧CD的首端與X軸方向相切，末端與Z軸相切，其切線與下一直線軌跡DE的夾角為α，半徑為r。PC段、CD段和DE段的指令速度分別為F1、F2和F3。

對于PC段，其起始階段和勻速階段的速度控制算法可參照圖1中的OA段。在過渡階段，采用分速度加減速控制方法。X軸的起點速度Vsx=0，終點速度Vex=F2；Z軸的起點速度Vsz=F1，終點速度Vez=0。已知系統(tǒng)的最大加速度Amax，則該階段的速度控制過程可參考直線與直線間的加減速控制部分。

對于CD段，圓弧插補以直代曲的做法導致每個插補周期對應的弦線方向都發(fā)生變化，但由于這些相鄰弦線的夾角近似于180°，各軸分速度變化很小，滿足速度平穩(wěn)變化的要求，故不需要每個插補周期都進行加減速控制。又因為PC段的速度規(guī)劃使得C點的速度等于F2，因此，CD段只有勻速階段和過渡階段的速度控制?？紤]到在圓弧上進行拐角處速度處理的算法復雜度較高，故將該部分放在DE段的起始階段。這就意味著，CD段只有勻速階段，D點的合速度為F2，分速度等于該段最后一個插補周期的分速度，而與DE段的速度和斜率無關。因此，DE段的起始階段的速度控制采用分速度控制的方法。CD段的速度計算過程如下：

設C點坐標為(Z0,X0)，D點坐標為(Zn,Xn),第i個插補周期的節(jié)點坐標為(Zi,Xi)。

2.3 微小線段的加減速控制

在進行加減速控制的過程中，如果某一線段的長度無法滿足完整的起始階段、勻速階段和過渡階段速度規(guī)劃所需的距離，則該線段稱為微小線段。為避免程序運行出錯，在調用加減速控制算法之前，需要判斷當前軌跡是否是微小線段。如果是微小線段，則不能按通常的加減速控制算法對該軌跡進行速度規(guī)劃，而應該根據(jù)線段的長度采取不同的速度控制策略。假設加減速控制的起始階段、勻速階段和過渡階段的距離分別為Sd1、Sd2和Sd3，當前軌跡的長度為L，則存在如下幾種情況：

(1)L=Sd1+Sd3：當前軌跡長度正好等于起始階段和過渡階段的距離之和，表明該軌跡沒有勻速階段，在進行起始階段的速度控制后應立即調用過渡階段的速度控制算法。

(2)L≥Sd1且L

(3)L

在2.2節(jié)已經(jīng)分析過，某些軌跡段不需要進行完整的速度控制過程，即未完整包含起始階段、勻速階段和過渡階段。因此，在對微小線段進行速度控制時，應根據(jù)實際情況采取對應的控制策略。

綜上，三次多項式加減速控制算法的應用流程如下：首先通過系統(tǒng)允許的最大加速度計算加減速時間，從而獲得總的插補次數(shù)；接著通過軌跡長度判斷是否進入微小線段的加減速控制；然后通過軌跡類型以及過渡段判斷當前速度的控制階段以及是采用合速度還是分速度控制方法；隨后根據(jù)起點速度和終點速度計算各插補周期內的速度；最后根據(jù)軌跡斜率計算各軸分速度或合速度。

3 實驗結果

以圖3中的零件為例，圖中尺寸單位為mm，對本文研究的加減速控制算法在實際加工中的應用效果進行說明。

考慮到在本系統(tǒng)中，速度轉換成位移的截斷誤差、位移轉為脈沖數(shù)的量化誤差以執(zhí)行器的執(zhí)行誤差等都會造成實際的進給速度與理論速度存在差異，而此差異不會影響速度的柔性變化規(guī)律，也未能體現(xiàn)本文研究的速度控制策略的精度。因此，接下來的實驗部分只提供仿真結果。

本系統(tǒng)允許的最大加速度Amax=20 mm/s2,輪廓AB的長度L=20 mm，起點速度Vs=0，終點速度Ve=100 mm/min，插補周期T=8 ms,采用2.2節(jié)的速度控制策略，可知該軌跡的起始階段是加速階段，總的插補次數(shù)N=32。因為該軌跡的斜率為零，Z軸進給速度等于合速度，X軸速度為零，故表1只給出該過程中不同插補周期內的部分合速度。

軌跡BC的指令速度為F=150 mm/min，軌跡AB與軌跡BC的過渡階段采用分速度控制方法，X軸的起點速度Vsx=0，終點速度Vex=150 mm/min；Z軸起點速度Vsz=100 mm/min，終點速度Vez=0。對于X軸，該過程為加速過程，總的插補次數(shù)Nx=47；對于Z軸，該過程為減速過程，總的插補次數(shù)Nz=32。表2給出了X軸和Z軸進給速度隨插補次數(shù)變化的部分結果。

表1 軌跡AB的起始階段隨插補次數(shù)變化的合速度

表2 軌跡AB的過渡階段隨插補次數(shù)變化的分速度

從表1和表2可以看出，速度隨離散化的時間，即不同插補次數(shù)，平穩(wěn)變化。這說明實驗結果與預期相符，從而驗證了基于時間分割法的三次多項式加減速控制算法的可行性。

本文研究的加減速控制算法用C++語言，借助VS2017編譯環(huán)境，在Windows平臺上編程實現(xiàn)，并最終應用在本人參與研發(fā)的開放式數(shù)控系統(tǒng)中。該系統(tǒng)控制下的三軸兩聯(lián)動的桌面型ET100-ZT數(shù)控裝調實訓車床的加工過程如圖4所示。

4 結語

本文在基于時間分割法原理的基礎上，采用三次多項式加減速控制算法對數(shù)控機床加工過程中的進給速度進行控制，保證了速度變化的平穩(wěn)性。在加工起點，采用合速度控制方法，速度按照三次多項式算法的變化規(guī)律升高或降低，保證了輪廓精度；在軌跡拐角處，采用分速度控制方法，提前預測各軸減速點，避免電機頻繁啟停，提高了加工效率。如果是圓弧軌跡，將其過渡階段放到下一軌跡的起始階段完成，在對輪廓精度影響不大的情況下，降低了算法的復雜度。此外，本文采用加減速距離與軌跡長度比較的方法對微小線段進行判斷，并在下一軌跡的起始階段繼續(xù)加速或減速，解決了在微小線段上難以加速或減速到指令速度的問題。以上速度控制策略最終在筆者參與研究的開放式數(shù)控系統(tǒng)上應用，切實驗證了算法的可行性。