VMD的AR模型和關(guān)聯(lián)維數(shù)在齒輪故障特征提取中的應(yīng)用*

周小龍 張耀娟 王 堯 馬風(fēng)雷

(①北華大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，吉林 吉林 132021；②長(zhǎng)春工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，吉林 長(zhǎng)春 130012)

齒輪傳動(dòng)具有效率高、裝配方便、易于潤(rùn)滑等優(yōu)點(diǎn)，在旋轉(zhuǎn)機(jī)械設(shè)備中應(yīng)用廣泛。由于工作環(huán)境惡劣，齒輪是易損元件，齒輪故障是導(dǎo)致機(jī)械設(shè)備失效的主要原因[1]。因此，對(duì)于齒輪故障特征的提取及診斷方法的研究具有十分重要的意義[2]。

當(dāng)齒輪出現(xiàn)故障時(shí)，其振動(dòng)信號(hào)常表現(xiàn)出非線性特征[3]。分形理論中的關(guān)聯(lián)維數(shù)[4]可有效反映該類信號(hào)的不規(guī)則性和復(fù)雜程度[5]。然而，工程實(shí)際測(cè)得的機(jī)械振動(dòng)信號(hào)中含有大量環(huán)境噪聲，關(guān)聯(lián)維數(shù)對(duì)信號(hào)的信噪比十分敏感，若直接計(jì)算原始信號(hào)的關(guān)聯(lián)維數(shù)，結(jié)果可靠性低，難以實(shí)現(xiàn)工作狀態(tài)和故障類型的識(shí)別；另外，為全面監(jiān)測(cè)設(shè)備的運(yùn)行狀態(tài)，信號(hào)采集過程中的采樣頻率和時(shí)長(zhǎng)不易過小，由此造成采集到的數(shù)據(jù)量龐大，若直接對(duì)其關(guān)聯(lián)維數(shù)進(jìn)行估計(jì)，計(jì)算量巨大。所以在計(jì)算關(guān)聯(lián)維數(shù)前有必要對(duì)原始信號(hào)進(jìn)行降維處理，以提升關(guān)聯(lián)維數(shù)的計(jì)算效率，提高故障特征提取的效率。

經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解(EMD)是近年來由Huang[6]等提出的一種處理非線性信號(hào)的有效方法，但EMD在分解過程中存在模態(tài)混疊問題，集合經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解[7](EEMD)是目前解決該問題最常用的方法，但受限于總體平均次數(shù)，EEMD向信號(hào)內(nèi)添加的白噪聲無法完全消除，不具有完備性。變分模態(tài)分解[8](VMD)是非遞歸式信號(hào)分解方法，可將復(fù)雜信號(hào)分解成若干個(gè)具有調(diào)幅-調(diào)頻特性的固有模態(tài)函數(shù)(IMF)分量，具有良好的噪聲魯棒性，可更為有效地抑制模態(tài)混疊問題的產(chǎn)生。

基于上述分析，筆者將VMD的自回歸(AR)模型和關(guān)聯(lián)維相結(jié)合，應(yīng)用于齒輪故障特征提取。對(duì)實(shí)測(cè)齒輪振動(dòng)信號(hào)的分析結(jié)果表明，所提方法可有效應(yīng)用于齒輪故障診斷。

1 基本理論

1.1 基于VMD的AR模型

對(duì)于齒輪振動(dòng)信號(hào)x(t)，VMD算法首先對(duì)其建立變分約束模型：

(1)

式中：?t為對(duì)函數(shù)求時(shí)間t的偏導(dǎo)數(shù)；δ(t)為單位脈沖函數(shù)；K為模態(tài)分解個(gè)數(shù)；uk(t)為第k個(gè)模態(tài)分量；ωk為uk(t)的中心頻率。

引入增廣拉格朗日函數(shù)ζ，將約束問題轉(zhuǎn)化為非約束問題：

(2)

式中：α為二次懲罰因子；<>表示向量?jī)?nèi)積。

采用交替方向乘子法求解式(2)變分約束模型的最優(yōu)解。求得的模態(tài)分量uk及中心頻率ωk分別為

(3)

(4)

給定判定精度e>0，若滿足迭代約束條件：

(5)

則停止迭代，輸出結(jié)果；否則繼續(xù)迭代，直至滿足上式為止，最終得到模態(tài)分量uk和ωk。

對(duì)VMD分解得到的任一IMF分量ui(t)建立AR模型AR(m)[9]：

(6)

1.2 關(guān)聯(lián)維數(shù)

關(guān)聯(lián)維數(shù)主要用于刻畫系統(tǒng)的非線性行為，描述其復(fù)雜性。在此采用關(guān)聯(lián)維數(shù)計(jì)算最常用的G-P算法，其計(jì)算步驟如下：

設(shè){φ1,φ2,…,φk}為齒輪振動(dòng)信號(hào)經(jīng)VMD分解得到的1個(gè)IMF分量ui(t)的AR(m)模型參數(shù)序列，k= 1,2,3,…,m，相空間重構(gòu)后的一對(duì)相點(diǎn)為

(7)

(8)

則φi和φj間的歐式空間距離rij：

rij=|φi-φj|

(9)

設(shè)r為距離閾值，C(r)為距離rij小于r的點(diǎn)對(duì)數(shù)在所有點(diǎn)對(duì)數(shù)中的比例：

(10)

式中：N為總相點(diǎn)數(shù)；θ(x)為Heaviside函數(shù)，即：

(11)

C(r)為關(guān)聯(lián)積分，表示相空間中兩點(diǎn)間距rij

C(r)∝rD

(12)

式中:D為關(guān)聯(lián)維數(shù)，可根據(jù)下式對(duì)其具體求解：

(13)

因此，分別以lnr和lnC(r)為橫、縱坐標(biāo)，則lnC(r)-lnr變化曲線的斜率對(duì)于逐漸增大的嵌入維數(shù)n逐漸收斂于一個(gè)值，則該值即為關(guān)聯(lián)維數(shù)D。

2 試驗(yàn)研究

為驗(yàn)證所提方法的有效性和實(shí)用性，在機(jī)械故障模擬綜合試驗(yàn)臺(tái)進(jìn)行齒輪斷齒、點(diǎn)蝕和磨損故障的模擬。其中，輸出軸和輸出軸齒輪為標(biāo)準(zhǔn)直齒輪，齒數(shù)分別為75和55，模數(shù)為2 mm，磨損故障設(shè)置在小齒輪上，斷齒和點(diǎn)蝕故障設(shè)置在大齒輪上。

2.1 信號(hào)采集

試驗(yàn)過程中，電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)頻為50 Hz，輸入軸轉(zhuǎn)速為1 500 r/min，加速度傳感器型號(hào)為KD1001L型，安裝在齒輪箱軸承座上。數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)的搭建以ADA16-8/2(LPCI)型采集卡為基礎(chǔ)，采樣頻率5 120 Hz，采樣時(shí)長(zhǎng)5 s，分析時(shí)長(zhǎng)1 s。不同狀態(tài)下，隨機(jī)選取1組采集到的齒輪加速度信號(hào)的時(shí)域波形如圖1所示。

由圖1可知，不同狀態(tài)下齒輪振動(dòng)時(shí)域波形存在相似性，信號(hào)中包含較多噪聲和背景干擾成分，若對(duì)此信號(hào)進(jìn)行關(guān)聯(lián)維數(shù)計(jì)算，勢(shì)必會(huì)影響計(jì)算準(zhǔn)確性，降低故障檢測(cè)精度。

2.2 信號(hào)預(yù)處理

為有效濾除干擾成分的影響，對(duì)上述信號(hào)進(jìn)行VMD分解，通過頻域互相關(guān)準(zhǔn)則選取敏感IMF分量用于信號(hào)重構(gòu)，以實(shí)現(xiàn)信號(hào)的信號(hào)去噪與提純。

由VMD算法可知，模態(tài)分解個(gè)數(shù)K的選取恰當(dāng)與否將直接影響分解效果。本文以各IMF分量中心頻率是否出現(xiàn)相近值法確定K的最佳值。

選取圖1d齒輪磨損故障信號(hào)，對(duì)其進(jìn)行VMD分解，不同K值下各IMF分量的中心頻率如表1所示。

表1 不同K值對(duì)應(yīng)的各IMF分量中心頻率

由表1可知，當(dāng)K=3時(shí)，IMF1和IMF2的中心頻率數(shù)值相差很大，表明出現(xiàn)了欠分解現(xiàn)象；當(dāng)K= 5時(shí)，IMF4和IMF5的中心頻率數(shù)值十分接近，表明出現(xiàn)了過分解現(xiàn)象。因此，可認(rèn)為模態(tài)分解個(gè)數(shù)K的最優(yōu)取值為4。

懲罰參數(shù)α決定了分解得到的各IMF分量的帶寬，通過對(duì)大量齒輪振動(dòng)信號(hào)分解結(jié)果的測(cè)試并結(jié)合文獻(xiàn)[8]，本文選取α= 2 000。

基于上述分析，磨損故障信號(hào)的VMD分解結(jié)果和各IMF分量的頻譜如圖2所示。

由圖2可知，VMD分解結(jié)果較為合理，各IMF分量的頻率集中在其中心頻率附近，未出現(xiàn)明顯的頻率發(fā)散現(xiàn)象。

為更好地提取故障特征，需選取分解結(jié)果中可有效表征故障信息的模態(tài)分量進(jìn)行信號(hào)重構(gòu)。按式(14)分別計(jì)算各IMF分量與原信號(hào)間的頻域互相關(guān)系數(shù)[10]，結(jié)果如圖3所示。

(14)

式中：設(shè)Gu、Gx分別為信號(hào)ui和xi功率譜；fa為分析頻率；ui為IMF分量；xi為原齒輪振動(dòng)信號(hào)。

由圖3可知，IMF1為表征低頻迭代誤差分量，IMF2為表征噪聲干擾分量，故其頻域互相關(guān)系數(shù)值非常小。因此，將IMF3和IMF4作為敏感模態(tài)分量用于信號(hào)重構(gòu)。重構(gòu)信號(hào)的時(shí)域波形如圖4所示。

由圖4可知，重構(gòu)信號(hào)的時(shí)域波形內(nèi)沖擊成分得到有效凸顯，信號(hào)特征明顯。按上述步驟，對(duì)圖1中其余信號(hào)進(jìn)行VMD分解，并計(jì)算各IMF分量的頻域互相關(guān)系數(shù)以獲取重構(gòu)信號(hào)。

2.3 單一故障的齒輪信號(hào)特征提取

為有效提升關(guān)聯(lián)維數(shù)的計(jì)算效率和準(zhǔn)確性，對(duì)經(jīng)VMD重構(gòu)的信號(hào)建立AR模型，采用最終預(yù)測(cè)誤差(PPE)準(zhǔn)則確定模型階數(shù)m，并由時(shí)延相圖法重構(gòu)AR模型自回歸參數(shù)的相空間，計(jì)算其關(guān)聯(lián)維數(shù)。

不同狀態(tài)下齒輪重構(gòu)信號(hào)的AR模型自回歸參數(shù)的關(guān)聯(lián)維數(shù)計(jì)算結(jié)果如圖5所示，其中嵌入維數(shù)取值范圍為5～19。

由圖5可知，不同狀態(tài)下重構(gòu)信號(hào)AR模型自回歸參數(shù)的關(guān)聯(lián)維數(shù)除在個(gè)別嵌入維數(shù)上數(shù)值較接近外，總體區(qū)分度較好。由此表明，可將該關(guān)聯(lián)維數(shù)作為特征向量對(duì)齒輪的故障類型進(jìn)行診斷。

圖6為不同嵌入維數(shù)下直接對(duì)原始齒輪振動(dòng)信號(hào)計(jì)算所得關(guān)聯(lián)維數(shù)。圖7是原始齒輪振動(dòng)信號(hào)建立AR模型后所得AR模型自回歸參數(shù)的關(guān)聯(lián)維數(shù)。由圖6和圖7可知，不同狀態(tài)下齒輪振動(dòng)信號(hào)的關(guān)聯(lián)維數(shù)十分接近，難以對(duì)其工作狀態(tài)進(jìn)行有效區(qū)分。究其原因，主要是實(shí)際采集到的齒輪振動(dòng)信號(hào)中含有大量環(huán)境噪聲，關(guān)聯(lián)維數(shù)對(duì)信噪比敏感，從而影響了其計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性；此外，齒輪振動(dòng)信號(hào)的AR模型自回歸參數(shù)雖然凝聚了其工作狀態(tài)和運(yùn)行規(guī)律的重要信息，但其本質(zhì)是線性預(yù)測(cè)模型，難以實(shí)現(xiàn)非線性信號(hào)的準(zhǔn)確建模。

結(jié)合圖5計(jì)算結(jié)果，選取嵌入維數(shù)為5、6、9時(shí)關(guān)聯(lián)維數(shù)均值作為特征值以實(shí)現(xiàn)對(duì)齒輪工作狀態(tài)和故障類型的高效識(shí)別。

圖8給出了輸入軸轉(zhuǎn)速1 500 r/min，分析時(shí)長(zhǎng)1 s條件下，本文方法處理所得每種狀態(tài)下40個(gè)樣本的關(guān)聯(lián)維數(shù)均值。由圖8可知，在選定嵌入維數(shù)上的關(guān)聯(lián)維數(shù)均值可有效區(qū)分齒輪工作狀態(tài)，實(shí)現(xiàn)故障類型的診斷。由此可知，齒輪振動(dòng)信號(hào)經(jīng)VMD重構(gòu)后，信號(hào)內(nèi)的背景噪聲得到有效濾除，對(duì)重構(gòu)信號(hào)建立AR模型，實(shí)現(xiàn)了非線性齒輪振動(dòng)信號(hào)的線性化，AR模型自回歸參數(shù)保留了不同狀態(tài)信號(hào)間的特征差異，并有效剔除了信號(hào)中的隨機(jī)干擾，保證了關(guān)聯(lián)維數(shù)的計(jì)算準(zhǔn)確性，可作為評(píng)判齒輪狀態(tài)的依據(jù)。

2.4 復(fù)合故障的齒輪信號(hào)特征提取

為檢驗(yàn)所提方法的適用性，使用同樣的故障齒輪設(shè)置斷齒-磨損和點(diǎn)蝕-磨損復(fù)合故障。

選取輸入軸轉(zhuǎn)速1 500 r/min，分析時(shí)長(zhǎng)1 s條件下，正常、斷齒-磨損和點(diǎn)蝕-磨損每種狀態(tài)各40個(gè)振動(dòng)信號(hào)作為測(cè)試樣本。隨機(jī)選取1組不同狀態(tài)下齒輪振動(dòng)信號(hào)，按本文處理步驟計(jì)算所得關(guān)聯(lián)維數(shù)的結(jié)果如圖9所示。

由圖9可知，當(dāng)嵌入維數(shù)為6～9時(shí)，各狀態(tài)區(qū)分明顯，因此特征值選取其關(guān)聯(lián)維數(shù)均值。不同狀態(tài)下40個(gè)測(cè)試樣本關(guān)聯(lián)維數(shù)的均值如圖10所示。由圖10可知，基于VMD和AR模型的關(guān)聯(lián)維數(shù)對(duì)齒輪復(fù)合故障具有較好區(qū)分能力，在選定嵌入維數(shù)上的關(guān)聯(lián)維數(shù)均值可有效對(duì)齒輪的故障類型進(jìn)行識(shí)別。從而驗(yàn)證本文所提方法可有效用于齒輪復(fù)合故障狀態(tài)的診斷。

3 結(jié)語

齒輪發(fā)生故障時(shí)，其振動(dòng)信號(hào)呈現(xiàn)出非線性特性并伴隨大量噪聲干擾成分，采用傳統(tǒng)非線性特征刻畫參數(shù)難以準(zhǔn)確提取故障特征。VMD是一種自適應(yīng)、非遞歸式信號(hào)分解方法，利用其將齒輪振動(dòng)信號(hào)分解為多個(gè)IMF分量，并根據(jù)頻域互相關(guān)系數(shù)準(zhǔn)則濾除信號(hào)內(nèi)的背景噪聲重構(gòu)信號(hào)，對(duì)重構(gòu)信號(hào)建立AR模型并獲取自回歸參數(shù)，實(shí)現(xiàn)了齒輪故障信號(hào)線性化處理，保證了關(guān)聯(lián)維數(shù)的計(jì)算準(zhǔn)確性。通過齒輪的單一故障和復(fù)合故障的分析，證明了所提方法的實(shí)用性和可行性。