對(duì)一個(gè)運(yùn)動(dòng)斜面上摩擦力問(wèn)題解法的探討

鄭 金

(凌源市職教中心 遼寧 朝陽(yáng) 122500)

當(dāng)斜面體在水平面上固定不動(dòng)時(shí)，位于斜面上的物體在摩擦力的作用下可處于相對(duì)靜止?fàn)顟B(tài)，而當(dāng)斜面體沿水平方向加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，位于斜面上的物體可能相對(duì)于斜面發(fā)生滑動(dòng)或分離，這取決于斜面體運(yùn)動(dòng)加速度的大小和方向.但要注意剛好發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)的臨界條件與剛好發(fā)生分離的臨界條件是不同的，或者說(shuō)，剛好相對(duì)滑動(dòng)時(shí)不可能分離，而剛好分離時(shí)必將發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)，剛好不分離的狀態(tài)與剛好不滑動(dòng)的狀態(tài)完全不同，因此要注意這兩種臨界狀態(tài)的區(qū)別，否則在解題時(shí)將會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤的結(jié)果.下面以《物理通報(bào)》2012年第3期第48面一道典型的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題[1]為例進(jìn)行分析.

【原題】如圖1所示，勁度系數(shù)為κ的輕質(zhì)彈簧一端與墻固定，另一端與傾角為θ的斜面體小車(chē)連接.小車(chē)置于光滑水平面上，在小車(chē)上疊放一個(gè)物體.已知小車(chē)質(zhì)量為M，物體質(zhì)量為m.當(dāng)小車(chē)的左邊緣位于O點(diǎn)時(shí)，整個(gè)系統(tǒng)處于平衡狀態(tài).現(xiàn)將小車(chē)從O點(diǎn)拉到B點(diǎn)，令OB=b，無(wú)初速釋放后，小車(chē)在水平面的B和C兩點(diǎn)間來(lái)回運(yùn)動(dòng)，物體和小車(chē)之間始終沒(méi)有相對(duì)運(yùn)動(dòng).求：b的大小必須滿(mǎn)足什么條件，才能使小車(chē)和物體一起運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，在某一位置時(shí)，物體和小車(chē)之間的摩擦力為零.

圖1 題圖

原解：當(dāng)物體和小車(chē)之間的摩擦力為零時(shí)，取物體m為研究對(duì)象，有

mgtanθ=ma

取小車(chē)和物體組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象，有

κb=(M+m)a

以上兩式聯(lián)立可得

為了使小車(chē)和物體在一起運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中經(jīng)過(guò)某一位置時(shí)二者之間的摩擦力為零，需小車(chē)在開(kāi)始釋放時(shí)到平衡位置的距離是一個(gè)范圍，即

但b取值不能足夠大，要想使物體和小車(chē)始終相對(duì)靜止，b的最大值應(yīng)是小車(chē)在B點(diǎn)時(shí)物體受到的支持力為零時(shí)取得，這時(shí)取物體為研究對(duì)象，有

取小車(chē)、物體和彈簧組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象，有

κb=(M+m)a

以上兩式聯(lián)立可得

所以b的取值范圍是

1 小車(chē)在平衡位置左側(cè)與物體相對(duì)靜止

當(dāng)小車(chē)在平衡位置左側(cè)剛釋放時(shí)，加速度方向水平向右，可知當(dāng)加速度較小時(shí)，物體有沿斜面向下滑的趨勢(shì)；當(dāng)加速度較大時(shí)，物體有沿斜面向上滑的趨勢(shì).物體剛好不滑動(dòng)的臨界條件是受到的摩擦力剛好達(dá)到最大靜摩擦力，為了使小車(chē)在C點(diǎn)剛釋放時(shí)物體與小車(chē)保持相對(duì)靜止，初始加速度應(yīng)存在一個(gè)取值范圍，即在最小值和最大值之間，因此C點(diǎn)在彈簧振子的平衡位置左側(cè)存在兩個(gè)極端位置，則形變量b對(duì)應(yīng)兩個(gè)極值，下面分別推導(dǎo)加速度的最小值和最大值及其對(duì)應(yīng)C點(diǎn)的位置.

其一，當(dāng)小車(chē)剛釋放時(shí)的加速度取最小值時(shí)，物體有沿斜面向下滑的趨勢(shì)，則受到的摩擦力沿斜面向上，設(shè)此時(shí)靜摩擦力剛好達(dá)到最大值，則在垂直于斜面方向由牛頓第二定律有

N-mgcosθ=masinθ

在平行于斜面方向由牛頓第二定律有

mgsinθ-μN(yùn)=macosθ

聯(lián)立方程可得小車(chē)剛釋放時(shí)加速度的最小值為

與方程κb=(M+m)a聯(lián)立可得

由題意可知在簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中物體與小車(chē)始終保持相對(duì)靜止，那么當(dāng)小車(chē)運(yùn)動(dòng)到平衡位置時(shí)，即加速度為零時(shí)，二者仍然保持相對(duì)靜止，則動(dòng)摩擦因數(shù)至少為μ=tanθ，即μ≥tanθ.而另一方面，由

可得

μ

這與μ≥tanθ發(fā)生矛盾，因此在μ>tanθ的條件下，amin不存在，即在小車(chē)向右加速運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中不會(huì)出現(xiàn)物體剛好沿斜面下滑的情況.或者說(shuō)，在簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，如果物體與小車(chē)始終保持相對(duì)靜止，那么當(dāng)小車(chē)運(yùn)動(dòng)到平衡位置時(shí)，即加速度為零時(shí)物體不下滑，因此，在小車(chē)從平衡位置左側(cè)向右加速運(yùn)動(dòng)或從平衡位置向左減速運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，即在超重狀態(tài)下物體不可能沿斜面下滑，只需b>0即可.

其二，當(dāng)小車(chē)剛釋放時(shí)的加速度取最大值時(shí)，物體有沿斜面向上滑的趨勢(shì)且剛好不滑動(dòng)，那么受到最大靜摩擦力的方向沿斜面向下.應(yīng)用牛頓第二定律列方程，在平行于斜面方向有

mgsinθ+μN(yùn)=macosθ

在垂直于斜面方向有

N-mgcosθ=masinθ

聯(lián)立方程可得小車(chē)剛釋放時(shí)加速度的最大值為

可知

綜上可見(jiàn)，當(dāng)小車(chē)位于平衡位置左側(cè)時(shí)，為了使物體始終不發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)，b的取值范圍應(yīng)是0

下面推導(dǎo)物體受到的摩擦力剛好為零時(shí)的加速度的臨界值及其對(duì)應(yīng)C1點(diǎn)的位置.

在小車(chē)從平衡位置左側(cè)向右運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，由于加速度逐漸減小，物體受到摩擦力的方向?qū)l(fā)生改變，因此存在摩擦力為零的情況.當(dāng)物體受到的摩擦力剛好為零時(shí)，在水平方向由牛頓第二定律有

mgtanθ=ma0

可得臨界加速度為

a0=gtanθ

對(duì)于a0還有一種求解方法，當(dāng)摩擦力剛好為零時(shí)，即使斜面光滑，物體也不發(fā)生滑動(dòng)，那么把μ=0代入

可得

a0=gtanθ

由

κb=(M+m)a

可得

為了使物體與小車(chē)保持相對(duì)靜止而且在某時(shí)刻受到的摩擦力為零，那么小車(chē)在平衡位置左側(cè)剛釋放時(shí)到平衡位置的距離應(yīng)滿(mǎn)足b0

(1)

2 小車(chē)在平衡位置右側(cè)與物體相對(duì)靜止

當(dāng)小車(chē)在B點(diǎn)剛釋放時(shí)將加速向左運(yùn)動(dòng)，物體在失重的狀態(tài)下只有沿斜面向下滑的趨勢(shì)，為了使物體與小車(chē)保持相對(duì)靜止，物體受到摩擦力的方向必須沿斜面向上.這是因?yàn)檎麄€(gè)彈簧振子受到的最大回復(fù)力方向水平向左，則最大加速度方向水平向左，那么物體受到的最大合力方向水平向左，由于重力豎直向下，支持力垂直于斜面向右，所以最大靜摩擦力方向一定沿斜面向左.由于加速度越大，越容易發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)，因此小車(chē)剛釋放時(shí)的加速度存在最大值，此時(shí)物體剛好不發(fā)生滑動(dòng)，但有沿斜面下滑的趨勢(shì)，摩擦力剛好為最大靜摩擦力fm=μN(yùn).在垂直于斜面方向由牛頓第二定律有

mgcosθ-N=masinθ

在平行于斜面方向由牛頓第二定律有

fm-mgsinθ=macosθ

聯(lián)立方程可得小車(chē)剛釋放時(shí)的最大加速度為

對(duì)于a′max還有一種求解方法，對(duì)物體m在豎直方向由受力平衡有

fsinθ+Ncosθ=mg

在水平方向由牛頓第二定律有

fcosθ-Nsinθ=ma

當(dāng)摩擦力為最大靜摩擦力時(shí)，有f=μN(yùn).聯(lián)立方程可得a′max.

對(duì)整體由牛頓第二定律有κb=(M+m)a，可得

如果向左的加速度過(guò)大，物體與小車(chē)將發(fā)生分離.當(dāng)物體與小車(chē)剛要分離時(shí)，物體受到的支持力剛好為零，此時(shí)摩擦力也剛好為零，物體只受重力，做自由落體運(yùn)動(dòng)的加速度為ay=g，小車(chē)的加速度為ax=a.剛要分離時(shí)二者在垂直于斜面方向的加速度相等，即

gcosθ=asinθ

可得最大加速度

(2)

3 小車(chē)在簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)過(guò)程中與物體相對(duì)靜止

設(shè)bmax對(duì)應(yīng)小車(chē)的位置在C2點(diǎn)，b0對(duì)應(yīng)小車(chē)的位置在C1點(diǎn)，b′max對(duì)應(yīng)小車(chē)的位置在B點(diǎn)，可畫(huà)出小車(chē)在平衡位置兩側(cè)時(shí)彈簧形變量b的臨界值對(duì)應(yīng)小車(chē)所在的位置分布如圖2所示.

圖2 彈簧形變量對(duì)應(yīng)小車(chē)所在位置

觀察bmax和b′max的表達(dá)式可知，一定有bmax>

(3)

這就是原題的正確答案，也可由不等式(1)和(2)取交集而得到.但對(duì)原題還需補(bǔ)充動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，否則在答案中將出現(xiàn)未知量.

即

μtan2θ+2tanθ-μ<0

可得

利用倍角公式得μ>tan 2θ.

為了在簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)過(guò)程中出現(xiàn)摩擦力為零的情況，應(yīng)滿(mǎn)足μ>tan 2θ，即tan 2θ<μ，則θ<0.5arctanμ，這是保證式(3)成立的前提條件.如果不滿(mǎn)足這個(gè)條件，那么式(3)將不成立，就不會(huì)出現(xiàn)摩擦力剛好為零的狀態(tài).在一般情況下μ<1，則2θ<45°，即θ<22.5°，而不是θ<45°.由此可見(jiàn)，小車(chē)斜面的傾斜角應(yīng)該是比較小的，這樣才滿(mǎn)足題意.在μ>tan 2θ的條件下，必定滿(mǎn)足μ>tanθ，那么當(dāng)小車(chē)運(yùn)動(dòng)到平衡位置時(shí)物體一定不下滑.所以原題的完整答案應(yīng)為式(3)和約束條件μ>tan 2θ.