一種“有無窮遠(yuǎn)虛鉸的三剛片規(guī)則”的證明方法1)

劉亞菲 舒開鷗 郭子濤 張雷

(九江學(xué)院建筑工程與規(guī)劃學(xué)院，江西九江332005)

三剛片規(guī)則是平面體系幾何組成分析的核心方法，對于規(guī)則中含有無窮遠(yuǎn)虛鉸(連接兩剛片的兩平行鏈桿)的情形，往往是教學(xué)難點(diǎn)，由于現(xiàn)行教材[1-2]中均沒有對這一情形詳細(xì)易懂的證明，影響了學(xué)生對知識(shí)的理解。相關(guān)文獻(xiàn)[3-4]雖給出了證明方法，但采用的是本科階段并未涉及的射影幾何知識(shí)，無助教學(xué)應(yīng)用。

本文應(yīng)用理論力學(xué)[5]中剛體平面運(yùn)動(dòng)學(xué)知識(shí)，分析了虛鉸和無窮遠(yuǎn)虛鉸的運(yùn)動(dòng)學(xué)特性，提出了兩個(gè)運(yùn)動(dòng)學(xué)定理，在此基礎(chǔ)上結(jié)合其他運(yùn)動(dòng)學(xué)基本理論，針對有無窮遠(yuǎn)虛鉸的三剛片規(guī)則，給出了詳細(xì)且簡明的證明，方便了學(xué)生更好理解這一規(guī)則，也開拓了平面體系幾何組成分析的新思路。

1 兩個(gè)定理及其證明

1.1 定理一：兩剛片(或其擴(kuò)展部分)在虛鉸處速度

相等

證明：設(shè)剛片I和剛片II的角速度矢分別為ω1和ω2，它們在O點(diǎn)(兩剛片上或剛片的擴(kuò)展部分上與虛鉸位置重合的點(diǎn))的速度矢分別為vO1和vO2，桿AC和桿BD的角速度矢分別為ωAC和ωBD，并設(shè)矢量AC=aOA，BD=bOB，如圖1。

對剛片I和剛片II，分別以O(shè)點(diǎn)為基點(diǎn)，有

圖1

對桿AC和桿BD，分別以A點(diǎn)和B點(diǎn)為基點(diǎn)，結(jié)合式(1)和式(2)有

式(5)減去式(3)，式(6)減去式(4)，得

注意到桿AC和桿BD不平行，即OA和OB不平行，若要式(7)成立，必有

此時(shí)可得：vO1=vO2，于是“兩剛片(或其擴(kuò)展部分)在虛鉸處速度相等”成立。

1.2 定理二：無窮遠(yuǎn)虛鉸(兩根平行鏈桿)連接的兩剛片，角速度相等

證明：設(shè)剛片I的速度瞬心為O點(diǎn)，剛片I和剛片II角速度矢分別為ω1和ω2，兩平行鏈桿AC和BD的角速度矢分別為ωAC和ωBD，如圖2。對桿AC和BD，分別以A點(diǎn)和B點(diǎn)為基點(diǎn)，有對剛片II，以D點(diǎn)為基點(diǎn)，結(jié)合式(9)有

式(10)減去式(8)，并將BA=OA-OB和DC=BA+AC-BD代入，得

式(11)等號(hào)左側(cè)的結(jié)果矢量在平面內(nèi)垂直BA；由于桿AC和桿BD平行，故等號(hào)右側(cè)的結(jié)果矢量在平面內(nèi)垂直AC或BD，又由于BA不可能與AC或BD平行，若要式(11)成立，必有等號(hào)兩邊都為0，得：ω2=ω1，于是“無窮遠(yuǎn)虛鉸(兩根平行鏈桿)連接的兩剛片，角速度相等”成立。

圖2

2 有無窮遠(yuǎn)虛鉸的三剛片規(guī)則的證明

2.1 有一個(gè)無窮遠(yuǎn)虛鉸的情形

三剛片規(guī)則中，若有一個(gè)無窮遠(yuǎn)虛鉸，且它不與另兩鉸的連線平行，規(guī)則仍然成立，即體系是無多余約束的幾何不變體系，如圖3。

圖3

證明：固定剛片III，由定理一可知?jiǎng)偲琁在虛鉸A處及剛片II在虛鉸B處的速度必均為零，因此若剛片I和剛片II能動(dòng)，則只能分別繞A和B轉(zhuǎn)動(dòng)，又因?yàn)橛脽o窮遠(yuǎn)虛鉸連接，由定理二可知?jiǎng)偲琁和剛片II的角速度相等，設(shè)為ω，如圖4。設(shè)A和B到鏈桿CD的距離分別為a和b，不難得出C和D兩點(diǎn)的速度在鏈桿CD上的投影分別為：vCD=ω·a，vDC=ω·b。在鏈桿CD上根據(jù)速度投影定理，得

圖4

考慮到鏈桿CD與兩虛鉸A和B的連線不平行，即a/=b，若要式(12)成立，只能有ω=0，這表明剛片I和剛片II均只能固定不動(dòng)，即體系幾何不變。

2.2 有兩個(gè)無窮遠(yuǎn)虛鉸的情形

三剛片規(guī)則中，若有兩個(gè)無窮遠(yuǎn)虛鉸，且它們不平行，規(guī)則仍然成立，即體系是無多余約束的幾何不變體系，如圖5。

圖5

證明：固定剛片III，由于與剛片III均由無窮遠(yuǎn)虛鉸連接，由定理二可知若剛片I和剛片II能動(dòng)，則只能分別沿垂直無窮遠(yuǎn)虛鉸方向平動(dòng)，設(shè)它們的速度矢分別為v1和v2，如圖6。因?yàn)閮蔁o窮遠(yuǎn)虛鉸不平行，故必有v1/=v2，剛片I和剛片II由虛鉸A連接，由定理一知它們在虛鉸A處的速度相等，即v1=v2，于是只能有v1=v2=0，這也表明剛片I和剛片II只能固定不動(dòng)，即體系幾何不變。

圖6

2.3 有三個(gè)無窮遠(yuǎn)虛鉸的情形

三剛片規(guī)則中，若連接三剛片的三個(gè)鉸均為無窮遠(yuǎn)虛鉸，則體系是幾何可變體系，如圖7。

圖7

證明：固定剛片III，由于與剛片III均由無窮遠(yuǎn)虛鉸連接，由定理二可知若剛片I和剛片II能動(dòng)，仍只能分別沿垂直無窮遠(yuǎn)虛鉸方向平動(dòng)(即兩剛片角速度均為0，自然滿足定理二)，設(shè)速度分別為v1和v2，如圖8。此時(shí)只要v1和v2沿連接剛片I和剛片II的無窮遠(yuǎn)虛鉸方向上的分量相等，即滿足速度投影定理，于是v1和v2可不必都為0，這表明剛片I和剛片II至少有一個(gè)可動(dòng)，即體系幾何可變。

圖8

3 結(jié)語

本文利用理論力學(xué)中剛體平面運(yùn)動(dòng)學(xué)知識(shí)，解決了結(jié)構(gòu)力學(xué)中有無窮遠(yuǎn)虛鉸的三剛片規(guī)則的證明問題，不僅使結(jié)構(gòu)力學(xué)知識(shí)更易于理解、掌握，也直觀體現(xiàn)了理論力學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)在力學(xué)學(xué)習(xí)中的意義與價(jià)值，還為力學(xué)教學(xué)中各課程的交叉融合提供了很好示范。

以本文對有無窮遠(yuǎn)虛鉸的三剛片規(guī)則的證明為啟發(fā)，在平面體系尤其是復(fù)雜體系(不能用兩剛片規(guī)則或三剛片規(guī)則等基本方法分析的體系)的幾何組成分析中，可嘗試建立基于剛體平面運(yùn)動(dòng)學(xué)基本理論的新的分析方法。以圖9的復(fù)雜體系為例[6]，簡要說明這一分析方法。

圖9

體系中A、B和C三點(diǎn)是固定不動(dòng)的，若體系可變(即可動(dòng))，則桿AD、BD和CG只能分別繞點(diǎn)A、B和C轉(zhuǎn)動(dòng)，假設(shè)D點(diǎn)速度vD向下，則點(diǎn)E和F速度vE和vF均向下，如圖10。在桿EG上利用速度投影定理，可知點(diǎn)G速度vG向右，再在桿FG上利用速度投影定理，得根據(jù)式(13)不難得到vD和vE均為0，于是各結(jié)點(diǎn)均固定不動(dòng)，即體系幾何不變，求出體系的計(jì)算自由度為0，所以該體系為無多余約束的幾何不變體系。

圖10