理論力學(xué)教具DIY系列(三)懸崖勒馬玩具的原理及分析

高云峰

(清華大學(xué)航天航空學(xué)院，北京100084)

我曾經(jīng)為學(xué)生設(shè)計(jì)過(guò)一個(gè)“懸崖勒馬”的探究項(xiàng)目：小馬身上連一根繩子，加上配重后，可以讓小馬走到懸崖邊上(桌面邊界當(dāng)懸崖，圖1)。讓學(xué)生探究配重與小馬的運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)關(guān)系，即如何讓小馬不落下懸崖但是又盡可能走得遠(yuǎn)？

圖1 探究活動(dòng)

后來(lái)中央電視臺(tái)導(dǎo)演到我實(shí)驗(yàn)室參觀，對(duì)我設(shè)計(jì)的一些科學(xué)游戲(包括懸崖勒馬)很感興趣，后面就合作變成了《加油！向未來(lái)》節(jié)目中的大型游戲。節(jié)目中把小馬改為小車，人坐在其中。把人和小車作為一個(gè)整體，配重暫不考慮尺寸大小。即使這樣簡(jiǎn)化后，裝置的運(yùn)動(dòng)也是很復(fù)雜的，原因是它的自由度在1～5之間變化。

1 第一階段建模

這一階段小車完全在臺(tái)面上運(yùn)動(dòng)，系統(tǒng)有一個(gè)自由度：小車質(zhì)心位移x。裝置的模型見(jiàn)圖2，參數(shù)如下：小車長(zhǎng)為a，高為b，質(zhì)量為m1；質(zhì)心距離前端為a1，距離底部為b1；系繩處距離底部為h；配重質(zhì)量為m2；繩長(zhǎng)為l，不計(jì)質(zhì)量且不可伸長(zhǎng)；臺(tái)面長(zhǎng)為L(zhǎng)，摩擦系數(shù)為μ1。裝置各部分受力圖見(jiàn)圖3，這一階段繩子拉動(dòng)小車運(yùn)動(dòng)，繩子與臺(tái)面角度為θ，邊緣A點(diǎn)考慮為一段微小圓弧(只影響繩子與接觸面的張角，不影響水平位移)，摩擦系數(shù)為μ2，繩子與圓弧的張角為π/2-θ。

圖3 第一階段受力圖

根據(jù)各部分的受力情況，可以列出動(dòng)力學(xué)方程及補(bǔ)充條件為

其中tanθ=h/(L-x-a1)。

方程(1)是微分-代數(shù)方程，在數(shù)值計(jì)算中，可以先把¨x當(dāng)作代數(shù)量，求出¨x后再求微分方程(在下一篇中詳細(xì)介紹)。在方程(1)中令¨x＞0，可以得到小車從靜止到運(yùn)動(dòng)的臨界質(zhì)量比為

其中tanθ0=h/(L-a1)。

方程(1)適用的范圍是x+a1≤L(即小車前緣沒(méi)有沖出邊界)，一旦小車沖出邊界，繩子就會(huì)擺動(dòng)起來(lái)，受力圖和方程都要改寫(xiě)了，進(jìn)入第二階段。

2 第二階段建模

第二階段受力圖如圖4所示。當(dāng)小車前緣超出了桌面平動(dòng)時(shí)，系統(tǒng)有二個(gè)自由度：小車質(zhì)心位移x、繩子擺角β。繩子擺動(dòng)時(shí)可以考慮空氣阻尼(如果小車停止在平臺(tái)上，繩子長(zhǎng)時(shí)間擺動(dòng))。

圖4 第二階段受力圖

小車的動(dòng)力學(xué)方程直接可以列出，但要注意配重的懸掛點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)，可以采用非慣性系中的處理方法，加上牽連慣性力后再列相對(duì)運(yùn)動(dòng)微分方程，得到如下方程

其中l(wèi)*=l，β≥0;l*=l-h，β＜0。方程(3)的終止條件是：小車出現(xiàn)繞A點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)，具體為

該條件一旦滿足(已經(jīng)不安全了)，進(jìn)行第三階段。

3 第三階段建模

第三階段受力圖如圖5所示。當(dāng)小車超出桌面較多時(shí)且產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，系統(tǒng)有三個(gè)自由度：小車質(zhì)心位置x和y、轉(zhuǎn)角α、繩子擺角β，但是由于小車與臺(tái)面接觸還有一個(gè)約束方程

圖5 第三階段受力圖

這時(shí)要注意繩子端點(diǎn)B的加速度為不考慮空氣阻尼，從而得到系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程為

其中f(α，β，F(xiàn)，N，T1)是已知函數(shù)。方程(7)要與約束方程(5)和方程(6)聯(lián)立才能求解。在求解過(guò)程中，一旦滿足N=0或小車尾部超出平臺(tái)邊緣，表示小車脫離臺(tái)面，進(jìn)入下一階段。

4 第四階段建模

第四階段受力圖如圖6所示。當(dāng)小車脫離桌面且繩子繃緊時(shí)，系統(tǒng)有自由度：小車質(zhì)心位置x和y、轉(zhuǎn)角α、繩子擺角β。B點(diǎn)的加速度仍是式(6)。

圖6 第四階段受力圖

從而得到系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程為

其中f(α，β，T1)是已知函數(shù)。在求解過(guò)程中，一旦滿足T1≤0，就表示小車與配置之間的繩子松弛了，進(jìn)入下一階段。

5 第五階段建模

當(dāng)小車與配重之間繩子未繃緊時(shí)，是五自由度問(wèn)題：小車質(zhì)心位置x和y、轉(zhuǎn)角α、配重質(zhì)心位置x2和y2。不過(guò)動(dòng)力學(xué)方程卻很簡(jiǎn)單，有

6 部分計(jì)算結(jié)果及結(jié)論

在一定的配重下，小車前部可以沖出臺(tái)面邊緣而最終停住，其原理是：繩子的拉力是小車前進(jìn)的動(dòng)力，而摩擦力是小車剎車的原因。關(guān)鍵是：繩子拉力的水平分量隨小車前進(jìn)而減少，而摩擦力分量隨小車前進(jìn)而增加。

對(duì)于載人游戲，安全是第一位的，所以首先要確定配重的范圍，即

小車質(zhì)量比與最終位移關(guān)系如圖7所示，從圖中可以看出，配重與小車的臨界質(zhì)量比為η*=m2/m1=27.43%(具體可由式(2)得到)，η＜η*時(shí)小車不能運(yùn)動(dòng)，η＞η*時(shí)小車才能運(yùn)動(dòng)起來(lái)。η=29.60%時(shí)小車前緣已經(jīng)到了臺(tái)面的邊界(但是安全)，η＞35%時(shí)小車整體沖出臺(tái)面邊界(危險(xiǎn))。從表演的角度，質(zhì)量比η≈34%時(shí)最刺激：前緣能沖出臺(tái)面，配重?cái)[動(dòng)起來(lái)，小車最終安全停留在臺(tái)面上，根據(jù)方程(3)和方程(4)，令加速度為零及y=b1，β=0，該情況下小車前緣最多可以伸出邊界a1m1/(m1+m2)≈0.6 m，當(dāng)然實(shí)際上要保守一點(diǎn)。

圖7 質(zhì)量比與最終位移關(guān)系

但是圖7有一個(gè)疑問(wèn)，如果η比η*稍大一點(diǎn)，小車為什么會(huì)先運(yùn)動(dòng)然后停在臺(tái)面上？圖8是不同質(zhì)量比情況下小車的速度與位移關(guān)系，可以看到：不同質(zhì)量比情況下小車均是先加速再減速，其中牽引小車的繩子角度是關(guān)鍵：開(kāi)始時(shí)θ小，拉力T1的水平分量大，小車加速；當(dāng)小車向前運(yùn)動(dòng)使θ變大后，一方面拉力T1的水平分量變小，另一方面壓力分量增加使摩擦力增加，導(dǎo)致小車減速。如果小車速度降到0之前就到了危險(xiǎn)邊界(L+a1m1/(m1+m2)=5.6 m)，則會(huì)沖出臺(tái)面。

圖8 不同質(zhì)量比的位移與速度關(guān)系

另一個(gè)問(wèn)題是，圖7中的曲線為什么會(huì)有兩個(gè)明顯的跳躍？

第一個(gè)跳躍點(diǎn)是在臨界質(zhì)量處，這好理解：當(dāng)η＜η*時(shí)拉力小于摩擦力，小車靜止不動(dòng)，一旦η＞η*小車就會(huì)運(yùn)動(dòng)，所以在η*處有一個(gè)跳躍。另一處跳躍發(fā)生在剛好沖出臺(tái)面的情況，也許第二階段小車到達(dá)危險(xiǎn)位置時(shí)水平速度為零，但是進(jìn)入第三階段后，小車?yán)@臺(tái)面邊緣A轉(zhuǎn)動(dòng)起來(lái)，又會(huì)產(chǎn)生水平的速度分量。

以質(zhì)量比η=30%為例，看看小車在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中各種力隨時(shí)間(圖9)或位移(圖10)的關(guān)系。可以看出水平方向的合力(繩子拉力分量減去摩擦力)開(kāi)始大于0使小車加速，當(dāng)小車前緣出了臺(tái)面后水平分量小于0使小車減速。可以看出小車前緣在到達(dá)臺(tái)面邊界時(shí)各種力都有突變，以壓力變化為例，可以從方程(1)和方程(3)中解出跳變的幅度，令方程(1)中θ=90°，方程(3)中β=0，˙β=0，有從而得到小車第一階段最后時(shí)刻的壓力為N-=m1(m1+m2)g/(m1-m2μ)=1383 N，而第二階段初始時(shí)刻壓力為N+=(m1+m2)g=1300 N，其他力的跳躍也可以類似分析。

圖9 力隨位移變化關(guān)系

圖10 力隨時(shí)間變化關(guān)系

最后可以看看小車沖出臺(tái)面但最終停在臺(tái)面上的各種曲線變化：圖11中繩子角度開(kāi)始接近與臺(tái)面平行，后來(lái)擺動(dòng)起來(lái)，角度產(chǎn)生周期性變化，由于有空氣阻尼，最終靜止。圖12中摩擦力開(kāi)始較小，小車接近臺(tái)面邊緣時(shí)，繩子拉力方向接近垂直，壓力增加導(dǎo)致摩擦力增加，小車沖出臺(tái)面后摩擦力趨于零，但由于配重的擺動(dòng)，導(dǎo)致摩擦力的方向也會(huì)變化。

圖11 角度隨時(shí)間的變化關(guān)系

圖12 力隨時(shí)間的變化關(guān)系

7 結(jié)語(yǔ)

懸崖勒馬問(wèn)題看上去簡(jiǎn)單，但是過(guò)程中自由度數(shù)目一直在變化，可以讓學(xué)生了解到實(shí)際問(wèn)題是如何建模、分析、計(jì)算的。本文解釋了懸崖勒馬的原理，給出了配重與小車的臨界質(zhì)量比，給出了安全位置和危險(xiǎn)位置，分析了壓力突變的范圍，并對(duì)小車運(yùn)動(dòng)的整個(gè)過(guò)程進(jìn)行了數(shù)值仿真，得到了豐富的數(shù)據(jù)、曲線和動(dòng)畫(huà)演示，可讓學(xué)生對(duì)這一問(wèn)題有全面、深入的了解。