伴有衰減型隨機沖擊的競爭失效可靠性綜合評估模型

郭一帆， 唐家銀

(西南交通大學數(shù)學學院， 四川 成都 611756)

0 引言

在工程實際中，產品的性能會隨著其投入工作時間的增長而逐漸下降，當性能退化量大于某一閾值時，發(fā)生退化失效(又稱軟失效)，常見的能使產品發(fā)生退化失效的有磨損、腐蝕、裂紋以及材料老化等疲勞載荷；同時，由于外部或者內部環(huán)境的不斷變化，產品不可避免地會受到各類型的沖擊作用，如果沖擊幅值超過其所能承受的閾值時，會導致產品的突發(fā)失效(又稱硬失效)，通常材料斷裂、電路短路、器件擊穿等沖擊載荷將導致突發(fā)失效. 實際工況下，產品發(fā)生退化失效是必然情況，突發(fā)失效則是偶然的，但若兩者同時存在，產品最終的失效則是二者相互競爭所導致的.

關于產品可靠性的建模，最初僅考慮退化進程和外載隨機沖擊單獨作用造成失效來分析問題[1-3]，而忽略了兩者之間的競爭關系.文獻[4-6]中則基于兩者相互獨立考慮了兩者之間的競爭關系，而在實際工況中，退化和沖擊的競爭存在相關性：Peng等[7]基于沖擊使退化過程產生突增退化量，推導了相關競爭失效可靠性模型；Wang等[8]考慮沖擊對產品退化過程造成失效率增大和退化量隨機增加的情形，從而建立了對應的競爭失效模型；Su等[9]選取累積沖擊，建立了基于隨機沖擊使得突發(fā)失效閾值降低的相關競爭失效模型.由于沖擊對退化失效和突發(fā)失效均有影響，而且沖擊與突發(fā)失效的閾值存在某種聯(lián)系,Jiang等[10]建立了產品的競爭失效可靠性模型，還進一步分析了相應的維修模型；Rafiee等[11]基于沖擊能加快產品退化速率建立了競爭失效過程，并且分別討論了極端沖擊、δ沖擊、m沖擊以及連續(xù)沖擊下的產品可靠性問題.上述文獻都從單一沖擊與單一退化的角度出發(fā)，通過分析沖擊所產生的不同效應，考慮對應的競爭失效模型，而對于多部件組成的產品，其退化進程和沖擊過程都可能存在諸多類型，因此Feng等[12]針對由多血管支架組成的產品，基于失效物理與失效概率，利用斷裂力學與隨機過程的方法，建立了對應的可靠性模型，并提出了相應的維修辦法；由于多部件產品的每個零部件各自有其自身性能退化過程，同時也都可能會受到沖擊作用,基于此Song等[13]推導出了多個失效過程下的可靠性模型，并提出了預防性維修策略.

盡管現(xiàn)有文獻對退化失效與突發(fā)失效二者之間的競爭機理已做了大量研究，但多數(shù)文獻對沖擊現(xiàn)象都是從沖擊幅值或沖擊作用時間點來進行描述，如極值沖擊、累計沖擊、m沖擊以及連續(xù)沖擊模型都是從沖擊幅值范圍考慮沖擊類型；δ沖擊則是從沖擊作用時間來定義沖擊類型.目前已經有文獻指出，當沖擊作用于工程實際中的產品時，會出現(xiàn)沖擊衰減的情況：在做鋼球對混凝土的沖擊試驗中，趙文等[14]發(fā)現(xiàn)混凝土試塊的沖擊點處當隨機沖擊作用的瞬間會出現(xiàn)峰值，而后迅速衰減；李應剛等[15]通過研究表明周期性層狀管結構由于其帶隙而具有沖擊應力波衰減特性；徐景林等[16]研究了泡沫鋁對于爆炸沖擊的衰減作用，并且發(fā)現(xiàn)泡沫鋁的密度會影響沖擊應力波的衰減系數(shù),泡沫鋁的密度越小,衰減系數(shù)越大.由此可見，實際工況下的一些產品在遭到隨機沖擊作用時，會出現(xiàn)沖擊衰減的情況，因此需要對存在該類現(xiàn)象的產品進行可靠性綜合評估分析，從而實現(xiàn)對沖擊現(xiàn)象描述的補充.

本研究針對某些產品承受衰減型沖擊特征，用Wiener過程擬合產品軟退化進程，并選用指數(shù)函數(shù)來描述沖擊衰減過程，構建了由沖擊響應量與其導致的退化損傷量之間的函數(shù)關系，從而提出伴有衰減型隨機沖擊的競爭失效可靠性綜合評估模型，并用極大似然估計法對軟退化進程與沖擊過程的參數(shù)進行估計，用均值估計沖擊衰減系數(shù)和損傷因子，最后通過案例仿真對模型的有效性進行驗證，對比發(fā)現(xiàn)是否考慮沖擊衰減對產品可靠性綜合評估存在顯著影響，進而達到對現(xiàn)有沖擊現(xiàn)象描述進行補充的目的，得到更為全面的產品可靠性評估結果，避免了對產品可靠性的樂觀估計.

1 性能退化過程與沖擊過程的模型描述

1.1 模型假設與符號說明首先，在建立競爭失效模型的過程中做如下假設：

1)競爭失效過程為同類型沖擊和單一退化；

2)總退化量包括連續(xù)退化過程與沖擊導致的突增退化，當總的退化量達到退化失效閾值TS時,產品發(fā)生退化失效；當沖擊載荷的幅值大于突發(fā)失效閾值TH時,產品發(fā)生突發(fā)失效；

3)性能退化過程為一元Wiener過程，沖擊到達遵從Poisson過程規(guī)律；

4)按照沖擊的幅值量的大小，分為3類：無損傷沖擊、損傷沖擊和致命沖擊.

由于本文中涉及較多符號，具體說明如下:

表1 符號說明

1.2 性能退化失效過程分析基礎由于產品在退化過程中會受到內部材料、外界環(huán)境、應力作用等多種隨機因素的影響，使得退化過程呈現(xiàn)隨機性和動態(tài)性，因此選取隨機過程對產品的退化過程進行描述與分析更符合實際情況，常用來描述性能退化的隨機過程為Gaussian過程、非平穩(wěn)Poisson過程、Wiener過程以及Gamma過程[17-18].本研究以Wiener過程為代表，進行綜合可靠性建模，因為Wiener過程能夠相對快速地估計出模型的參數(shù)并且常應用于由許多微小的損失量所引發(fā)的均勻而平緩的退化過程.如果一元連續(xù)時間隨機過程{X(t),t≥0}滿足如下的性質：1)時刻t到時刻t+Δt之間的增量服從正態(tài)分布；2)對任意兩個不相交的時間區(qū)間[t1,t2],[t3,t4],t1

若產品性能退化過程為隨機過程，可采用一元Wiener過程來描述，表達形式如下：

X(t)=μt+σB(t)

(1)

其中，X(t)是t時刻產品性能退化量；μ為漂移參數(shù)，σ為擴散參數(shù)；B(t)為標準布朗運動，即B(t)～N(0,t).

要使產品不發(fā)生退化失效的前提條件是產品退化量不超過退化失效閾值TS，產品不發(fā)生退化失效的概率則為：

(2)

2 沖擊衰減型軟硬競爭失效綜合可靠性模型

根據(jù)工程中的實際情況，將沖擊類型分成3種水平：1)無損傷沖擊：WiTH.在此分類中，無損傷沖擊即是指隨機沖擊不會使產品損傷；損傷沖擊指導致產品有損傷但僅使產品退化產生突增退化量，而不會使產品喪失功能性；致命沖擊指產品發(fā)生失效.Wi為第i次沖擊的幅值，TH為突發(fā)失效閾值，TH0為沖擊衰減結束的閾值.

對于具有振動特性的一般機械類產品，由于產品存在阻力，在受到沖擊之后，其沖擊幅值便不再是一個固定值，而是一個會隨著時間變化而逐漸衰減的連續(xù)過程.這里假設由損傷沖擊衰減到TH0的過程服從指數(shù)效應，即：

Wi(t)=Wie-β(t-ti)

(3)

其中β為衰減系數(shù)，這里的Wi為損傷沖擊.

圖1 沖擊衰減過程示意圖

由于在實際工況中的一些產品存在沖擊衰減現(xiàn)象，衰減過程服從式(3)，因此一次損傷沖擊作用時帶來的響應量為:

(4)

而當損傷沖擊作用次數(shù)為N2(t)次時，響應量則為：

(5)

(6)

(7)

損傷沖擊發(fā)生的概率為：

(8)

要保證產品不發(fā)生突發(fā)失效，則產品應不受到致命沖擊，即產品受到的沖擊載荷小于突發(fā)失效閾值TH，當沖擊作用為N(t)次時，產品不失效的概率為：

(9)

由于沖擊往往具有隨機性，用Poisson過程對隨機沖擊進行計數(shù)，若每次沖擊的到達遵從參數(shù)為λ的齊次Poisson過程，在[0,t]時間內，總的沖擊次數(shù)為N(t)，無損傷沖擊、損傷沖擊、致命沖擊的次數(shù)分別為N1(t)，N2(t)，N3(t)，則t時刻沖擊發(fā)生次數(shù)的概率為:

(10)

由于沖擊載荷的到達率為λ，無損傷沖擊、損傷沖擊、致命沖擊出現(xiàn)的到達率分別為λ·p1，λ·p2，λ·p3，因此出現(xiàn)次數(shù)的概率為：

(11)

當退化過程和沖擊過程同時存在的時候，產品總退化量是由性能退化產生的退化量與沖擊產生的損傷量兩者組成，因此沖擊退化過程中的總退化量可以表示為：

XS(t)=X(t)+Y(t)

(12)

其中，X(t)表示產品的自然老化過程的退化量，Y(t)是累積沖擊損傷量，XS(t)則表示產品處于沖擊載荷的作用下的總退化量.在任意時刻t，產品的可靠度函數(shù)為:

(13)

由于產品在自身平穩(wěn)退化過程中隨機沖擊可能會出現(xiàn)，也可能不會出現(xiàn)，因此需要分情況進行討論：

1)若在時刻t，產品不受到沖擊作用，即產品僅發(fā)生自身的退化，要使產品不發(fā)生失效，則只需要產品的退化量小于退化失效閾值，此時可靠度函數(shù)的表達式為：

R1(t)=R(t|N(t)=0)·P(N(t)=0)=

P(X(t)

(14)

2)若產品截止到t時刻有沖擊出現(xiàn)，若要使產品不發(fā)生失效，需滿足的條件是每一次沖擊幅值都不會超過產品的突發(fā)失效閾值，退化總量不超過退化失效閾值，若使產品不發(fā)生突發(fā)失效，則需每次沖擊載荷均不超過突發(fā)失效閾值．分別考察無損傷沖擊、損傷沖擊、致命沖擊對產品產生的影響.此時可靠度函數(shù)的表達式則為：

P(N1(t)=n)·P(N2(t)=0)·P(N3(t)=0)+

P(N1(t)=n-i)·P(N2(t)=i)·P(N3(t)=0)

(15)

上式可最終寫為：

(16)

因此產品的可靠度函數(shù)最終為：

R(t)=R1(t)+R2(t)

(17)

3 沖擊衰減型軟硬競爭失效模型中的參數(shù)估計

在上述模型中，涉及到的參數(shù)包括：1)產品自身平穩(wěn)退化過程中的漂移和擴散參數(shù)μ,σ;2)沖擊過程中的到達率λ,沖擊幅值參數(shù)μW,σW，沖擊衰減系數(shù)β，沖擊響應量與沖擊損傷量之間的損傷因子a.根據(jù)樣本數(shù)據(jù)對參數(shù)進行估計：

首先，根據(jù)無沖擊載荷試驗下的性能退化數(shù)據(jù)對退化過程漂移參數(shù)μ與擴散參數(shù)進行估計.若假設退化試驗中的樣本容量為M，每間隔Δt時間對產品性能參數(shù)進行一次測試，共測試N次，根據(jù)Wiener過程的特性可知，第k個樣本第q次測量值的概率密度函數(shù)即為：

(18)

則試驗樣本的極大似然函數(shù)為：

(19)

(20)

(21)

(22)

試驗樣本的極大似然函數(shù)則為：

(23)

(24)

(25)

(26)

為估計沖擊到達率λ，首先給出一個引理.

引理[20]如果N(t)為一個到達率λ的泊松過程，設Tn為第n-1次出現(xiàn)A事件和第n次出現(xiàn)A事件的時間間隔，則Tn(n=1,2,3,…)具有獨立的同分布的概率密度fTn(t)=λe-λt，E{Tn}=1/λ.

(27)

對似然函數(shù)關于λ求導并且令導數(shù)等于0，得到λ的參數(shù)估計為：

(28)

(29)

沖擊衰減系數(shù)β的估計則為：

(30)

(31)

4 仿真算例

為驗證本文中提出的模型的有效性，對自然退化過程，選取某產品的疲勞裂紋數(shù)據(jù)，觀測時間間隔Δt=1×104h，總觀測時間t=1.2×105h，見表2[19].這里假定每個試驗樣本的初始裂紋為0.90 cm，其性能退化的閾值為TS=2.20 cm.

根據(jù)表2中各個測量時刻的性能退化數(shù)據(jù)，計算得到各個時間段的性能退化增量，利用Weiner過程對其進行擬合，并用極大似然估計法計算其參數(shù)，得到內部退化過程的表達式：

X(t)～N(μt,σ2t)=N(4.91×10-6t,7.87×10-8t).

表2 疲勞裂紋增長數(shù)據(jù)

在總觀測時間t=1.2×105h內監(jiān)測到樣本受到的沖擊具體情況見表3，其突發(fā)失效閾值TH=1.0，沖擊衰減閾值TH0=0.2.而樣本在t=1.2×105h內受到沖擊載荷作用下最終疲勞裂紋數(shù)據(jù)見表4.

由于樣本所受沖擊為同種類型，用正態(tài)分布擬合監(jiān)測到的各個樣本的沖擊幅值數(shù)據(jù)，利用極大似然估計法計算相關參數(shù)，得到：

表3 沖擊衰減時間與幅值數(shù)據(jù)

表4 隨機沖擊下的疲勞裂紋數(shù)據(jù)

圖2 考慮沖擊衰減與否的產品可靠度曲線圖

由圖2可知考慮衰減型沖擊與否對產品可靠度確有影響，在運行前期，可靠度曲線幾乎重合，這是由于在前期受到的隨機沖擊次數(shù)較少，產品裂紋增長主要是其自身平穩(wěn)退化；而當產品運行到壽命中后期時，可靠度曲線發(fā)生顯著變化，這是由于產品運行到工作的中后期階段，累計沖擊次數(shù)增多，由沖擊衰減帶來的累計損傷量也增多，性能惡化愈發(fā)嚴重使得其更易發(fā)生失效.從可靠度曲線的總體趨勢來看，考慮沖擊衰減情況時的可靠度比不考慮時的可靠度要低，這與客觀實際情況是一致的.

為檢驗所建競爭失效可靠度評估模型的靈敏度，因此改變沖擊到達率λ與退化失效閾值TS的取值，得到對應可靠度曲線圖分別為圖3和圖4.從圖3可以看出，產品的可靠度曲線隨著沖擊到達率的增加而下降，這是由于沖擊到達率的增大，意味著在相同運行時間內沖擊出現(xiàn)的次數(shù)增多，沖擊帶來的累計損傷量也就越多，產品總退化量也隨之增加，從而計算得到的可靠度就會減?。欢蓤D4可知，在產品投入使用的初期，可靠度重合，而隨著運行時間的增加，實際工況下的產品性能的不斷惡化會使得其退化失效閾值下降，當產品處于運行的中后期后其可靠度曲線下移，這說明在工程上需要盡可能地通過技術手段來提高產品的退化失效閾值，進而提升產品可靠度.

圖3 不同λ下的產品可靠度曲線圖

圖4 不同TS下的產品可靠度曲線圖

5 結論

針對競爭失效模型連續(xù)性退化過程中的某些產品存在沖擊衰減現(xiàn)象問題，為補充對現(xiàn)有沖擊現(xiàn)象的描述，得到更為全面的評估結果，避免對產品可靠性的樂觀估計，提出了基于衰減型隨機沖擊模型的競爭失效可靠性綜合評估模型.

1)以Wiener過程擬合產品性能退化進程，利用指數(shù)函數(shù)對沖擊衰減過程進行刻畫，考慮了沖擊響應量與沖擊損傷量之間的函數(shù)關系；

2)采用極大似然估計法對性能退化過程與沖擊過程的參數(shù)進行估計，采用均值估計對沖擊衰減系數(shù)與損傷因子進行估計；

3)通過選用某產品的疲勞裂紋數(shù)據(jù)進行算例仿真，驗證了該模型的有效性，說明該模型具有一定的工程應用和推廣價值.

本研究在競爭失效的可靠性建模中，假設產品僅存在一個退化進程，其所承受的沖擊類型相同且沖擊幅值服從正態(tài)分布.因此，如何建立適用范圍廣，適合各類產品的競爭失效可靠性模型，是下一步值得探索與研究的方向.