對(duì)一類構(gòu)造基本不等式的解題反思

李帶兵

摘 要：基本不等式在課程標(biāo)準(zhǔn)中的要求是C級(jí)的，它是高考中的考查熱點(diǎn)，常作為壓軸題出現(xiàn). 有一類關(guān)于構(gòu)造基本不等式的題型在這種問(wèn)題中屬于難點(diǎn)問(wèn)題，不易克服；但如果尋根探源，不難發(fā)現(xiàn)復(fù)雜的問(wèn)題背后隱藏著一個(gè)非常簡(jiǎn)單的本質(zhì).

關(guān)鍵詞：基本不等式；構(gòu)造思想；解題；反思

數(shù)學(xué)的美麗不僅在于它的邏輯性，而且在于它的漸變性. 一道難的問(wèn)題，往往隱含著一個(gè)非常簡(jiǎn)單的本質(zhì). 基本不等式常作為高考填空題的壓軸選項(xiàng)，而難倒了各路“英雄”. 在這類題目中有一類關(guān)涉構(gòu)造基本不等式的題型，常見(jiàn)于各大調(diào)研考試的試卷或各省的高考試卷中，對(duì)于它的歸納與總結(jié)有利于學(xué)生掌握這類問(wèn)題的處理方式.

調(diào)研試題，引發(fā)反思

眾所周知，基本不等式中有最值定理，簡(jiǎn)單點(diǎn)講即和為定值積有最大值；積為定值和有最小值. 但作為高考和各大市壓軸的填空題出現(xiàn)的基本不等式，往往就不是最值定理的運(yùn)用那么簡(jiǎn)單.它需要挑戰(zhàn)學(xué)生思維的靈活性，往往會(huì)有構(gòu)造思維在其中的運(yùn)用. 蘇州市2015屆高三第一學(xué)期期末考試的一道有關(guān)基本不等式的壓軸填空題，引發(fā)了筆者對(duì)構(gòu)造定值類的基本不等式的解題反思.

例1 已知a，b為正實(shí)數(shù)，且a+b=2，則+的最小值為_(kāi)_________.

解析：從表達(dá)式直觀看來(lái)，并不存在和為定值或積為定值的形式，因此解決問(wèn)題首先需要對(duì)表達(dá)進(jìn)行相關(guān)處理.根據(jù)分式的性質(zhì)可知，當(dāng)分子項(xiàng)的最高次數(shù)大于等于分母的最高次數(shù)時(shí)，可以采用常數(shù)分離的數(shù)學(xué)方法處理. 化簡(jiǎn)后表達(dá)式為1++，根據(jù)基本不等式的最值定理可知，表達(dá)式有最小值，必須存在積為定值. 因此解題的關(guān)鍵轉(zhuǎn)化為構(gòu)造表達(dá)式中積為定值.

反思：在求解最小值的整個(gè)過(guò)程中，由于兩式分母之和a+b+1=3，所以將+乘以a+b+1再除以3，跟原表達(dá)式等價(jià)，展開(kāi)后可得到2+，兩式這積為定值，根據(jù)基本不等式的最值定理，可求最小值. 能夠這樣處理的原因，在于兩式分母之和為常數(shù)，因此，在解決諸如此類的問(wèn)題可研究表達(dá)式的分母是否為常數(shù)，若為常數(shù)即可做乘以分母之和這樣的處理，以構(gòu)造積為定值.

尋找源頭，探究根本

對(duì)于這類構(gòu)造基本不等式的題型，有著深刻的理論基礎(chǔ)和最本質(zhì)的題目源頭；它有理論根據(jù)可依，有規(guī)律可循，因此可按照規(guī)律總結(jié)根本的解題策略和步驟.

1. 尋找題目源頭，發(fā)現(xiàn)解題理論依據(jù)

重新審視上述問(wèn)題解決的關(guān)鍵步驟：1++=1+

（a+b）=2++，通過(guò)這1的代換來(lái)構(gòu)造+的形式. +這種形式最突出的特點(diǎn)是兩項(xiàng)之積為定值，對(duì)于積為定值的情況，可用基本不等式的最值定理求解最小值. 可以說(shuō)上述調(diào)研試題是這種1的代換逐步演變過(guò)來(lái)的，1的代換是上述調(diào)研試題的原型. 兩者所不同的是課本的例題是1的直接代換，而這道調(diào)研試題需要利用題設(shè)所給條件構(gòu)造1. 因此，利用1的代換，構(gòu)造和為定值或積為定值是突破這類問(wèn)題的關(guān)鍵點(diǎn).

在基本不等式中存在兩類最值定理，即和為定值時(shí)積有最大值；積為定值時(shí)和有最小值.所謂和為定值時(shí)積有最大值是指“若正數(shù)x，y滿足x+y=p，則xy有最大值”；所謂積為定值時(shí)和有最小值是指“若正數(shù)x，y滿足xy=p，則x+y有最小值2”. 反思這整個(gè)解題過(guò)程，不難發(fā)現(xiàn)解決這類問(wèn)題最終的步驟都脫離不了基本不等式的最值定理，因此如果將1的代換看成是這類問(wèn)題解決的突破口，那么最值定理就可以看成解決這類問(wèn)題的最終的手段.

窺視問(wèn)題本質(zhì)，總結(jié)解題策略方法

透過(guò)上述理論分析，我們可以斷定形如調(diào)研試題的問(wèn)題的本質(zhì)就是1的代換，我們的策略就是通過(guò)給目標(biāo)表達(dá)乘以一個(gè)代表1的數(shù)學(xué)表達(dá)式，從而將目標(biāo)表達(dá)式轉(zhuǎn)化成乘積為定值的兩個(gè)式子這和. 對(duì)于這種本質(zhì)的認(rèn)識(shí)可以將其抽象成這樣的數(shù)學(xué)語(yǔ)言：“正數(shù)x，y滿足x+y=k，那么形如+的最小值可通過(guò)如下構(gòu)造的方式來(lái)求解，即+=

針對(duì)上述有關(guān)問(wèn)題本質(zhì)方面的認(rèn)識(shí)，可以將這類問(wèn)題的解題步驟具體歸納為如下幾步：首先，對(duì)待求表達(dá)式，進(jìn)行變形，常用的處理方式有常數(shù)分離、利用分式的性質(zhì)將分子的表達(dá)式除到分母上；第二，觀察變形后的表達(dá)式的兩項(xiàng)的分母之和是否為常數(shù)，若不是常數(shù)，則根據(jù)分母的式子，調(diào)整題設(shè)中所給的定值表達(dá)式；第三，將變形后的待求表達(dá)式與調(diào)整后的定值表達(dá)式相乘，并調(diào)整系數(shù)；第四，利用基本不等式的最值定理求解待求表達(dá)式的最小值.

能力拓展，知識(shí)遷移

理論總結(jié)的目的是為了更好解決問(wèn)題，但它也僅僅是抽象出了一種簡(jiǎn)易的模型，真實(shí)的問(wèn)題是多變的，它或多或少與抽象的數(shù)學(xué)模型有些差距，要真正掌握處理這類問(wèn)題的技能，需要用實(shí)際問(wèn)題來(lái)鍛煉自己思維.

1. 變式一：定值表達(dá)式為分式

例2 （鎮(zhèn)江市2015屆第一學(xué)期期末考試）已知正數(shù)x，y，滿足+=1，則+的最小值是_______.

解析：從題設(shè)上看所給定值表達(dá)式由整式多項(xiàng)式變成分式多項(xiàng)式，但本質(zhì)上仍然為兩個(gè)整體之和為定值，因此需要做的處理是將待求表達(dá)式中的分母變成關(guān)于和的式子.

將多項(xiàng)式分子除到分母上，則+=+，易知分母和：1-+1-=1；所以原式=

反思：無(wú)論定值表達(dá)式是整式之和還是分式之和，解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵在于能夠在待求表達(dá)式的分母中再現(xiàn)定值表達(dá)式中的元素，以便能夠做1的代換并調(diào)整系數(shù).

2. 變式二：“定值”表達(dá)式為不等式

例3 （蘇錫常鎮(zhèn)宿五市調(diào)研一）已知實(shí)數(shù)x，y，且x+y≤2，則+的最小值是_______.

解析：通常情況下，基本不等式給出的定值表達(dá)式是等式，思維的定式，會(huì)讓學(xué)生在遇到給出“定值”表達(dá)式為不等式時(shí)，有些不知所措，但問(wèn)題中1的代換的本質(zhì)并未改變，所不同的僅僅是將原來(lái)的等量關(guān)系變成不等關(guān)系而已.

待求表達(dá)式中分母之和為x+3y+x-y=2（x+y），因?yàn)閤+y≤2，則2（x+y）≤4；

在構(gòu)造積為定值時(shí)，需要調(diào)整系數(shù)，即+≥

反思：當(dāng)定值表達(dá)式為不等式時(shí)，在問(wèn)題的本質(zhì)上并未改變，問(wèn)題在于學(xué)生能否轉(zhuǎn)變思維的定式，從定值為等式的思維走出.

回顧整個(gè)解題心得，我們可以從理論與實(shí)踐兩個(gè)角度來(lái)再度認(rèn)識(shí)這類問(wèn)題. 從理論的角度來(lái)審視這一類構(gòu)造基本不等式的問(wèn)題，其實(shí)質(zhì)乃1的代換的變形，它比最簡(jiǎn)單的1的代換要靈活，因?yàn)檫@類問(wèn)題在構(gòu)造1的過(guò)程中需要調(diào)整表達(dá)式的系數(shù)；從實(shí)際的問(wèn)題來(lái)審視這類問(wèn)題，有一個(gè)通性：待求多項(xiàng)式的每一項(xiàng)的分母都含有題設(shè)所給定值表達(dá)中的元素. 因此在處理這類問(wèn)題時(shí)應(yīng)當(dāng)把握兩個(gè)突破口：其一，對(duì)待求表達(dá)式的變形與處理的方向應(yīng)當(dāng)是：使表達(dá)式的每一項(xiàng)的分母中帶有定值表達(dá)式中的元素；其二，正如文章第二部分?jǐn)?shù)學(xué)模型總結(jié)的那樣，在進(jìn)行1的代換操作步驟時(shí)應(yīng)當(dāng)注意系數(shù)的調(diào)整，保證表達(dá)式與原表達(dá)式是等價(jià)的.