在解析幾何教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法的策略研究

趙雪梅

(江蘇省宜興丁蜀高級(jí)中學(xué) 214221)

眾所周知，解析幾何是高中數(shù)學(xué)的重要分枝.解析幾何部分蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想，該部分的主要知識(shí)點(diǎn)通過這些數(shù)學(xué)思想串聯(lián)在一起，貫穿著整個(gè)解析幾何的學(xué)習(xí)過程.如果說在解析幾何教學(xué)中知識(shí)是載體的話，那么數(shù)學(xué)思想方法就是精髓和靈魂，只有讓學(xué)生掌握了這些數(shù)學(xué)思想方法，學(xué)生才能夠靈活應(yīng)用解析幾何知識(shí)來解決解析幾何問題，才能夠提高解析幾何教學(xué)效果.

一、借助數(shù)學(xué)史，滲透數(shù)學(xué)思想方法

數(shù)學(xué)史濃縮了人類數(shù)學(xué)發(fā)展的主要過程，概括了數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，提煉了重要的數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)思想，是學(xué)生樂于知曉尤感興趣的話題，更是學(xué)生理解和掌握數(shù)學(xué)思想方法的重要源頭.作為數(shù)學(xué)教師，我們可以通過引入數(shù)學(xué)史的方式來向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)思想，使其為數(shù)學(xué)課堂教學(xué)服務(wù).為此，我們可在解析幾何知識(shí)的起始環(huán)節(jié)的教學(xué)中，適當(dāng)引入笛卡爾有關(guān)直角坐標(biāo)系的創(chuàng)立史，形象直觀地讓學(xué)生了解解析幾何的相關(guān)發(fā)展背景，從而激起學(xué)生強(qiáng)烈的學(xué)習(xí)興趣，為數(shù)學(xué)方法的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).例如，在學(xué)習(xí)解析幾何之前，先設(shè)置一個(gè)導(dǎo)言課，通過講座和師生交流的方式，來介紹解析幾何課程內(nèi)容和學(xué)科思想方法.我們可以從介紹笛卡爾入手，讓學(xué)生置身笛卡爾當(dāng)時(shí)所處的歷史時(shí)代及創(chuàng)立解析幾何的構(gòu)思背景，在了解解析幾何的創(chuàng)新歷程和巨大的應(yīng)用價(jià)值中，體會(huì)笛卡爾的精神、信念.在解析幾何教學(xué)中引入數(shù)學(xué)史，并將其以“問題化”的形式展開教學(xué)，不僅使得數(shù)學(xué)史在解析幾何課堂中的引入更加自然，還有助于學(xué)生去體會(huì)數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

二、通過代數(shù)與幾何之間的轉(zhuǎn)化，體會(huì)數(shù)學(xué)思想

用解幾處理問題的本質(zhì)就是幾何問題代數(shù)化，通過建立坐標(biāo)系將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題去求解，這是數(shù)形轉(zhuǎn)化的絕佳平臺(tái).在現(xiàn)階段的高中數(shù)學(xué)解析幾何教學(xué)中，很多教師僅注重傳授學(xué)生將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題的方法，很少去引導(dǎo)學(xué)生探究代數(shù)結(jié)果背后的幾何意義，這樣的教學(xué)導(dǎo)致學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的理解不到位.教師應(yīng)該讓學(xué)生明白，用解析幾何思想處理研究具體問題，必須具備兩種本領(lǐng)：一是化數(shù)為形，二是由形逆數(shù).化數(shù)為形是指將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)構(gòu)，這樣兼顧了問題的直觀性；由形逆數(shù)是指通過恰當(dāng)建系將幾何結(jié)構(gòu)代數(shù)化，使幾何問題更具微觀概括性.讓學(xué)生在數(shù)形轉(zhuǎn)換的奧妙中去體會(huì)數(shù)學(xué)思想.例如：在橢圓部分的教學(xué)中，教師先出示橢圓的實(shí)物模型，幫助學(xué)生建立橢圓的直觀感知，然后再利用代數(shù)表達(dá)式去揭示橢圓圖形的幾何性質(zhì)，總結(jié)橢圓的定義.接著要積極引導(dǎo)學(xué)生探究橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，和學(xué)過的什么曲線方程形式比較接近?讓學(xué)生將之與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行對(duì)比，它們有何異同?讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用.互動(dòng)過程如下：

不妨設(shè)M為橢圓上的任一點(diǎn)，M到兩焦點(diǎn)F1和F2的距離之和用2a表示，同時(shí)設(shè)橢圓的焦距為2c(c>0)，如此一來，焦點(diǎn)F1(-c，0)、F2(c,0).

那么該橢圓就是集合P={M||MF1|+|MF2|=2a}.

教師提出問題引導(dǎo)：通過觀察圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，兩邊開方，我們能夠非常明顯的發(fā)現(xiàn)它的幾何意義：等式左邊是表示某兩點(diǎn)間距離，右邊則是距離值.但我們?cè)儆^察橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，就會(huì)發(fā)現(xiàn)它的幾何意義并不明顯.通過橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，我們很難發(fā)現(xiàn)“橢圓上的點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之和均等于2a”這一幾何意義.接下來教師就要引導(dǎo)學(xué)生分析上述推導(dǎo)過程，尋找代數(shù)推理過程中的幾何意義.

通過這樣的課堂教學(xué)，學(xué)生不僅體會(huì)到了代數(shù)與幾何間的相互轉(zhuǎn)化，也感受到轉(zhuǎn)化并非一帆風(fēng)順，有時(shí)是相當(dāng)艱難，只有心中具備轉(zhuǎn)化執(zhí)念，熟悉不同距離的代數(shù)表達(dá)，勇于探索，敢于嘗試，才能體會(huì)成功的快樂.

三、借助思維導(dǎo)圖進(jìn)行復(fù)習(xí)，幫助學(xué)生提煉數(shù)學(xué)思想方法

學(xué)生通過大量的知識(shí)學(xué)習(xí)，已經(jīng)接觸到了部分?jǐn)?shù)學(xué)思想方法，教師要及時(shí)地組織學(xué)生進(jìn)行復(fù)習(xí)，這樣學(xué)生才不會(huì)遺忘，才能夠?qū)⑵鋬?nèi)化成自己的思維方式.思維導(dǎo)圖能夠?qū)W(xué)生所學(xué)知識(shí)之間的邏輯關(guān)系可視化，是引導(dǎo)學(xué)生高效復(fù)習(xí)的一種非常有效的手段.它能夠?qū)⒏鱾€(gè)概念之間的關(guān)系直觀地表達(dá)出來，能夠調(diào)動(dòng)學(xué)生的思維，促進(jìn)學(xué)生將所學(xué)的知識(shí)聯(lián)系起來形成知識(shí)體系，讓他們由被動(dòng)地接受知識(shí)轉(zhuǎn)化為主動(dòng)地去構(gòu)建知識(shí)體系.

思維導(dǎo)圖不僅能夠輔助學(xué)生構(gòu)建知識(shí)體系，提煉數(shù)學(xué)方法，還能夠應(yīng)用于解題當(dāng)中，鍛煉數(shù)學(xué)思維，如下圖所示：

客觀地說，解析幾何的相關(guān)部分內(nèi)容繁瑣，運(yùn)算量大，思維要求較高，既是教學(xué)的重點(diǎn)，也是教學(xué)的難點(diǎn)，更是高考的熱點(diǎn).由于其自身知識(shí)抽象性和綜合性較強(qiáng)，也成為了很多學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn).數(shù)學(xué)思想作為貫穿整個(gè)解析幾何教學(xué)的思想方法，它能夠?qū)⑦@些零散繁瑣的知識(shí)點(diǎn)串聯(lián)起來，形成知識(shí)體系.我們?cè)谄綍r(shí)的教學(xué)中，要把這些數(shù)學(xué)思想自始至終地讓學(xué)生感受體會(huì)，于潤(rùn)物細(xì)無聲中提升學(xué)生思維能力.