基于小波變換的高邊坡變形監(jiān)測數(shù)據(jù)誤差處理方法

雷孟飛，周俊華，湯金毅

（湖南聯(lián)智科技股份有限公司，長沙 410073）

0 引言

北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)（BeiDou navigation satellite system, BDS）是我國自主研發(fā)的全天時、全天候提供高精度位置信息的導(dǎo)航定位系統(tǒng)。隨著BDS的逐步完善，BDS 定位精度不斷提高，BDS 高精度定位技術(shù)也逐漸被應(yīng)用到各種工程領(lǐng)域施工期和維護(hù)期的變形監(jiān)測中[1]。利用BDS 進(jìn)行變形監(jiān)測，可以克服人工測量所存在的受自然條件限制嚴(yán)重、不能實現(xiàn)自動化監(jiān)測、監(jiān)測成本高等弊端，因此在變形監(jiān)測中的應(yīng)用越來越廣泛。

BDS 自動化監(jiān)測系統(tǒng)采用靜態(tài)相對定位的算法進(jìn)行高精度解算，由于基準(zhǔn)站和監(jiān)測站的距離相對較近，解算結(jié)果水平方向的精度通常能夠達(dá)到±3 mm，高程方向能達(dá)到±5 mm。監(jiān)測結(jié)果中的大多誤差已經(jīng)通過差分算法消除，但是對于一些周期性的誤差，比如多路徑誤差、周跳以及設(shè)備噪聲造成的高頻誤差和異常跳動則無法剔除干凈，特別對于一些高邊坡監(jiān)測項目，通常信號遮擋嚴(yán)重、衛(wèi)星星座分布不均，周期性誤差和高頻誤差明顯，并不能得到有效剔除[2]。這些周期性誤差和高頻誤差為邊坡監(jiān)測帶來很大困難，技術(shù)人員很難從各項誤差中提取有用信號來判斷邊坡是否發(fā)生形變以及是否需要形變預(yù)警，因此有必要對BDS變形監(jiān)測的數(shù)據(jù)進(jìn)行降噪處理，獲得監(jiān)測點(diǎn)的真實位移坐標(biāo)時間序列。

小波變換是1 種新的變換分析方法，它克服了傅里葉變換窗口大小不能隨頻率變化等缺點(diǎn)，提供隨頻率改變的“時間-頻率”窗口，可以探測信號中的瞬態(tài)成分及頻率成分[3]。在BDS 高邊坡變形監(jiān)測過程中，可以利用小波變換將監(jiān)測結(jié)果中的高頻噪聲信號分離出來并進(jìn)行去除，提取有效的形變信息，提高監(jiān)測精度和穩(wěn)定性。國內(nèi)外學(xué)者已經(jīng)將小波變換較多地運(yùn)用在全球定位系統(tǒng)（global positioning system, GPS）坐標(biāo)時間序列分析中。文獻(xiàn)[4]提出用小波變換方法提取 GPS 觀測數(shù)據(jù)中的多路徑信號，對觀測結(jié)果進(jìn)行修正；文獻(xiàn)[5]利用小波分析對全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)（global navigation satellite system, GNSS）高頻低頻多路徑誤差進(jìn)行濾波降噪，效果良好；文獻(xiàn)[6]提出了1 種基于小波濾波與主成分分析相結(jié)合的GPS 去噪方法，構(gòu)建GPS多路徑誤差的誤差模型，并對GPS 多路徑誤差進(jìn)行修正；文獻(xiàn)[7]采用小波變換，提取了中國區(qū)域8 個國際GNSS 服務(wù)組織（International GNSS Service,IGS）站的坐標(biāo)時間序列中的非線性運(yùn)動信息，對季節(jié)性周期變化進(jìn)行了分析研究。上述研究中所采用的GPS 坐標(biāo)時序數(shù)據(jù)大多為IGS 站點(diǎn)數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)質(zhì)量較高，沒有考慮實際應(yīng)用中衛(wèi)星被遮擋、其他信號干擾的情況，因此小波變換在BDS 高邊坡監(jiān)測中的應(yīng)用效果并不明確，并且上述研究中并沒有針對性地對坐標(biāo)時間序列中不同頻率的誤差項進(jìn)行單獨(dú)改正，監(jiān)測結(jié)果容易丟失有用的細(xì)節(jié)部分。

針對上述問題，本文以廣西某高速公路高邊坡為實驗測區(qū)，首先利用小波變換算法對監(jiān)測結(jié)果進(jìn)行分解，利用低頻層恢復(fù)測試數(shù)據(jù)，剔除監(jiān)測數(shù)據(jù)中的粗差數(shù)據(jù)，然后對監(jiān)測數(shù)據(jù)進(jìn)行2 次小波變換，并對變換后的各層系數(shù)分別進(jìn)行改正，最后恢復(fù)監(jiān)測數(shù)據(jù)，分析誤差剔除效果。

1 高邊坡變形監(jiān)測數(shù)據(jù)誤差處理方法

1.1 小波變換

小波變換主要分為連續(xù)小波變換和離散小波變換 2 類[8]。本文采用較常用的離散小波變換（discrete wavelet transform, DWT）進(jìn)行處理，離散小波變換基本公式[9]為

式中：φ ( t)為小波母函數(shù)，對其進(jìn)行平移和伸縮得到小波基函數(shù)集 φa,b(t )；a 為尺度因子；b 為平移因子；R 為實數(shù)集。通常取

式中：Z 為整數(shù)集； a0為尺度因子擴(kuò)展步長；0b 為平移因子擴(kuò)展步長；m 為尺度因子擴(kuò)展系數(shù)；n 為平移因子擴(kuò)展系數(shù)。

將式（2）代入式（1）可得[10]

離散小波變換公式為

式中： fDWT( a , b )為連續(xù)小波變換系數(shù)；*表示共軛[11]。

1.2 變形監(jiān)測數(shù)據(jù)誤差處理流程

基于小波變換的高邊坡變形監(jiān)測數(shù)據(jù)誤差處理方法其基本思想是：首先利用小波變換對監(jiān)測結(jié)果的粗差進(jìn)行剔除；然后對處理后的時間序列進(jìn)行2 次小波變換；最后將變換后的系數(shù)分為高頻、中頻、低頻3 類，分別對每層細(xì)節(jié)系數(shù)采用不同的濾波算法進(jìn)行濾波，利用各層濾波后的細(xì)節(jié)系數(shù)恢復(fù)監(jiān)測時間序列。其方法流程如圖1 所示，其中各層系數(shù)改正的處理流程如圖2 所示。

圖1 數(shù)據(jù)處理流程

1）數(shù)據(jù)預(yù)處理。選擇監(jiān)測點(diǎn)一段時間的監(jiān)測數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，假設(shè)監(jiān)測數(shù)據(jù)采樣頻率為s，監(jiān)測數(shù)據(jù)時間序列為Y，數(shù)據(jù)預(yù)處理采用3 次樣條插值算法對缺失數(shù)據(jù)進(jìn)行插值；

2）小波變換。采用小波變換對監(jiān)測點(diǎn)數(shù)據(jù)進(jìn)行分解，分解后得到細(xì)節(jié)信號（監(jiān)測結(jié)果的細(xì)節(jié)信息）以及趨勢信號（包含監(jiān)測點(diǎn)的位移趨勢）；

3）分解系數(shù)分類。①分別計算第2 步的分層結(jié)果的頻帶范圍，計算公式[12]為

圖2 各層系數(shù)改正流程

式中：Y ' 為監(jiān)測結(jié)果的采樣頻率，通用的單位采樣頻率為1 s/次，而本文中變形監(jiān)測的采樣頻率較低，因此，本文中定義的單位采樣頻率為1 h/次；j 為分解后的第j 層；式（5）為細(xì)節(jié)系數(shù)的頻帶范圍，式（6）為最后一層分解后的近似系數(shù)的頻帶范圍。②根據(jù)不同頻段的閾值，將上一步驟計算得到的各層的頻帶范圍進(jìn)行區(qū)分，其中頻段的閾值為各分層系數(shù)高頻、中頻和低頻的區(qū)分值，高頻信號定義為頻率大于24 h/次，中頻信號約為24 h/次即周期約為24 h，低頻信號頻率小于24 h/次，其具體數(shù)值根據(jù)監(jiān)測數(shù)據(jù)的長度和采樣頻率確定。

4）粗差識別修復(fù)。①利用第3 步得到的低頻層和中頻系數(shù)采用小波逆變換恢復(fù)監(jiān)測數(shù)據(jù)，得到監(jiān)測數(shù)據(jù) Y '；②利用3 倍中誤差原則識別粗差數(shù)據(jù)，具體為：|Yi－ Yi'| ＞ 3σ的數(shù)據(jù)為粗差數(shù)據(jù)，其中 Yi為第i 個原始監(jiān)測數(shù)據(jù)， Yi'為第i 個低頻系數(shù)恢復(fù)后的原始數(shù)據(jù)；③利用臨近插值法對識別出的粗差數(shù)據(jù)進(jìn)行修復(fù)，得到粗差修復(fù)后的監(jiān)測數(shù)據(jù) Y'' 。

5）高頻系數(shù)濾波。將步第4 步2 次小波變換后得到的各層變換系數(shù)按照第3 步的方法進(jìn)行分類，同樣分為高頻和低頻2 部分，高頻系數(shù)部分采用自適應(yīng)卡爾曼濾波算法對高頻系數(shù)進(jìn)行濾波。

6）低頻系數(shù)濾波。低頻系數(shù)部分主要包含了監(jiān)測點(diǎn)的趨勢信息，因此低頻系數(shù)部分采用滑動平均算法進(jìn)行簡單濾波，去除部分噪點(diǎn)，最大限度保留監(jiān)測點(diǎn)的趨勢信息，算法公式為

7）中頻系數(shù)改正。中頻系數(shù)改正采用中誤差原則進(jìn)行改正，首先計算中頻系數(shù)的中誤差Lσ ，然后按如下公式進(jìn)行改正，即

式中：Mi為第i 個中頻系數(shù)；Lσ 為中頻系數(shù)中誤差；為第i 個中頻系數(shù)改正值。

8）監(jiān)測數(shù)據(jù)恢復(fù)。利用處理后各層的系數(shù)恢復(fù)監(jiān)測數(shù)據(jù)。

2 實驗與結(jié)果分析

2.1 數(shù)據(jù)來源

本文采用的監(jiān)測數(shù)據(jù)來自廣西陽朔至鹿寨高速公路邊坡2 號監(jiān)測點(diǎn)（如圖3 所示），該邊坡高約60 m，五級邊坡，植被茂密，邊坡后方為陡坡向上。數(shù)據(jù)采集設(shè)備為本單位自己研發(fā)的BDS 高精度接收機(jī)，解算軟件亦為本單位自己研發(fā)的高精度變形監(jiān)測后處理軟件，數(shù)據(jù)解算間隔為1 h，數(shù)據(jù)時間為2020-02-01—2020-05-19，另外在數(shù)據(jù)中加入3 個隨機(jī)粗差來檢驗粗差剔除效果。

圖3 監(jiān)測點(diǎn)概況

2.2 處理結(jié)果

1）粗差修復(fù)。數(shù)據(jù)的小波變換函數(shù)選擇“db08”，分解層數(shù)為6 層，a6 為第6 層分解后的近似系數(shù)，計算得到的各層頻帶范圍如表1 所示。

表1 頻帶范圍表單位：Hz

計算得到上文所述高頻、中頻和低頻的閾值為0.041 7 Hz，高頻層為d1、d2、d3，中頻層為d4，低頻層為d5、d6。利用低頻層進(jìn)行小波逆變換，恢復(fù)監(jiān)測數(shù)據(jù)，并進(jìn)行粗差識別和修復(fù)，修復(fù)效果如圖4所示。

圖4 粗差修復(fù)效果

從圖4 可以看出，3 處粗差數(shù)據(jù)都能夠得到較好修復(fù)，修復(fù)效果良好。

2）細(xì)節(jié)系數(shù)濾波。將上一步驟經(jīng)過粗差修復(fù)后的數(shù)據(jù)進(jìn)行2 次小波變換，然后對各項系數(shù)進(jìn)行改正，改正效果如圖5 所示。

圖5 各層細(xì)節(jié)系數(shù)濾波效果

從圖5 各層細(xì)節(jié)系數(shù)濾波效果圖中可以看出：d1、d2、d3、d4、d5及d6各層的細(xì)節(jié)系數(shù)都有比較大的改正，其中d1、d2、d3及d4的改正效果最好，系數(shù)的頻率和最大、最小值都有一定的減??；d4周期信號經(jīng)過改正以后，振幅明顯減小，周期性更加明顯；d5和d6層改正前后細(xì)節(jié)信息差別不是很大，主要原因是為了保留監(jiān)測點(diǎn)位移信息僅采用了滑動平均方法進(jìn)行濾波，能夠看到濾波前后d5和d62 層的整體趨勢都沒有改變，但是改正后的曲線更加平滑，細(xì)節(jié)抖動去除明顯。

3）數(shù)據(jù)恢復(fù)。利用濾波后的各層系數(shù)進(jìn)行小波逆變換，變換后的效果如圖6 所示。

圖6 誤差削弱效果

從圖6 的誤差削弱效果中可以看出：處理后的觀測數(shù)據(jù)時間序列的平穩(wěn)性有很大提高，其中以天為周期的周期性位移信號有了較大改善，數(shù)據(jù)振幅更小；處理以后，噪聲信息明顯減少，可以清晰地看出點(diǎn)位的位移趨勢，有利于更精確地分析監(jiān)測站的位移趨勢；在3 月30 日以后監(jiān)測點(diǎn)發(fā)生20 mm 左右位移，經(jīng)過小波變換處理以后監(jiān)測點(diǎn)的位移曲線更加明顯，位移量與處理前保持一致，位移開始時間并沒有延遲；另外處理后的監(jiān)測點(diǎn)數(shù)據(jù)3 月20—30 日之間的小幅度位移也得到了有效保留；統(tǒng)計了3 月20 日以前原始數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)的中誤差為3.58 mm，處理后數(shù)據(jù)的中誤差降為0.92 mm；從上述分析可以看出本文小波變換方法處理后的監(jiān)測數(shù)據(jù)時間序列的平穩(wěn)性和數(shù)據(jù)質(zhì)量都有明顯提高。

3 結(jié)束語

本文通過廣西陽朔至鹿寨高速公路高邊坡進(jìn)行小波變換數(shù)據(jù)處理，可以得到如下結(jié)論：

1）利用本文的小波變換方法可以有效去除監(jiān)測結(jié)果中的粗差數(shù)據(jù)，通過3 次樣條插值算法，能夠很好的對粗差數(shù)據(jù)進(jìn)行修復(fù)；

2）本文利用2 次小波變化對剔除粗差后的監(jiān)測數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，能夠有效去除監(jiān)測結(jié)果時間序列中的高頻誤差信號和以天為周期的周期性信號，提高數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性；

3）經(jīng)過數(shù)據(jù)處理以后，處理結(jié)果中能夠有效保留監(jiān)測點(diǎn)的整體位移趨勢，位移量的大小并沒有損失，并且小位移量的細(xì)節(jié)部分也能夠有效保留，為技術(shù)人員判斷邊坡的形變狀態(tài)提供精確的數(shù)據(jù)支持，可以降低滑坡災(zāi)害，減少生命和財產(chǎn)損失。