數(shù)形結(jié)合思想在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

李偉勛，王丹

數(shù)形結(jié)合思想在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

李偉勛，王丹

（天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué) 理學(xué)院，天津 300222）

針對高等數(shù)學(xué)抽象性的特點(diǎn)，提出采用數(shù)形結(jié)合的思想方法進(jìn)行高等數(shù)學(xué)教學(xué)．結(jié)合具體實(shí)例，分別從定義理解、定理證明和計(jì)算過程等方面闡述數(shù)形結(jié)合思想方法在高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)的優(yōu)越性．?dāng)?shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，使得教育教學(xué)過程更加形象化、清晰化、具體化，在提高學(xué)生積極性的同時(shí)，加深了他們對高等數(shù)學(xué)理論知識的認(rèn)識和理解．

高等數(shù)學(xué)；數(shù)形結(jié)合；幾何意義

人類正處在一個(gè)深刻變革與迅速發(fā)展的新時(shí)期，科學(xué)技術(shù)發(fā)展日新月異，互聯(lián)網(wǎng)信息、移動機(jī)器人等發(fā)展十分迅速，科技的發(fā)展，實(shí)際是數(shù)學(xué)的發(fā)展，大數(shù)據(jù)、云計(jì)算、深度學(xué)習(xí)等其理論基礎(chǔ)還是數(shù)學(xué)，所以數(shù)學(xué)對整個(gè)人類的發(fā)展起到了舉足輕重的作用．因此，作為新世紀(jì)的大學(xué)生更要學(xué)好數(shù)學(xué)課程．高等數(shù)學(xué)是大學(xué)本科理工類學(xué)生必修的一門主要基礎(chǔ)課，也是學(xué)習(xí)后續(xù)相關(guān)數(shù)學(xué)課程和專業(yè)課的重要工具．它對培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S能力及分析問題、解決問題的能力等都是至關(guān)重要的，也是其它課程無法替代的．然而，在教學(xué)的過程中卻遇到了不少問題，如學(xué)生普遍感覺高等數(shù)學(xué)太難、太抽象，不易理解．如何讓學(xué)生對高等數(shù)學(xué)產(chǎn)生興趣，從被動接受到主動思考探索，更好地理解和掌握那些抽象復(fù)雜的概念和定理，對每一位教授高等數(shù)學(xué)的教師來說都是一個(gè)考驗(yàn)和挑戰(zhàn)[1]．

眾所周知，數(shù)學(xué)研究的對象是數(shù)量關(guān)系和空間形式，即所謂的“數(shù)”和“形”[2]．縱觀高等數(shù)學(xué)教材的各章節(jié)，可以發(fā)現(xiàn)幾何問題對高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)有著一定程度的指導(dǎo)意義．從極限、連續(xù)到導(dǎo)數(shù)、微分、積分等出現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的實(shí)例不勝枚舉．如通過古代數(shù)學(xué)家劉徽“割圓法”求圓的面積這一方法，對極限理論進(jìn)行歸納，從而引出數(shù)列極限和函數(shù)極限等相關(guān)概念；通過引入切線斜率對導(dǎo)數(shù)進(jìn)行闡釋，進(jìn)而引出函數(shù)諸如凹凸性和單調(diào)性的一些性質(zhì)；通過借助于曲邊梯形的面積對定積分的定義進(jìn)行概括等[3]．

本文考慮采用數(shù)形結(jié)合的方法，將抽象的數(shù)學(xué)概念和定理具體化、形象化，使得數(shù)學(xué)課堂更加生動，在提高學(xué)生積極性的同時(shí)，加深了他們對高等數(shù)學(xué)中理論知識的認(rèn)識和理解．

1　數(shù)形結(jié)合思想方法的概述

數(shù)與形作為數(shù)學(xué)領(lǐng)域的2大研究對象，它們就如同抽象思維和形象思維的“敲門磚”．?dāng)?shù)，顧名思義就是指比較對象之間的數(shù)量關(guān)系；形，是指事物在幾何空間的表現(xiàn)形式．?dāng)?shù)與形之間的關(guān)系是相輔相成的，亦是辯證統(tǒng)一的[4]．?dāng)?shù)形結(jié)合是指把抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的幾何圖形結(jié)合起來，使得原本復(fù)雜、深奧的數(shù)學(xué)問題簡單化，使得抽象、晦澀的數(shù)學(xué)問題形象化，從而達(dá)到某種程度上的優(yōu)化．著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬事休”．由此可窺見數(shù)形結(jié)合的重要性．

數(shù)與形作為一個(gè)事物的2種不同屬性，在某些特定條件下可以相互轉(zhuǎn)化．?dāng)?shù)形結(jié)合常用的有2種情況，即以數(shù)化形和以形變數(shù)．以數(shù)化形是指利用已經(jīng)掌握的平面幾何、立體幾何等知識結(jié)合數(shù)量關(guān)系對函數(shù)圖形進(jìn)行描繪．如給出一個(gè)函數(shù)關(guān)系式，可以應(yīng)用導(dǎo)數(shù)來研究它的單調(diào)性、極值與最值、凹凸性等，由此可以較為精確地描述出函數(shù)的圖形．以形變數(shù)是指根據(jù)對題目中給出的題干和圖形等信息量的把握，將圖形的代數(shù)形式表達(dá)出來．如學(xué)習(xí)定積分及其應(yīng)用時(shí)，用定積分表示給出平面圖形面積的題目，它是常規(guī)應(yīng)用定積分的定義解題的逆應(yīng)用．

2　高等數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用

根據(jù)高等數(shù)學(xué)抽象性的特點(diǎn)，考慮從定義的理解、定理的證明以及計(jì)算過程的簡便性等方面闡述高等數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．

2.1　定義理解的形象化

極限概念是高等數(shù)學(xué)中最基本、最重要的概念，它是整個(gè)微積分理論的基礎(chǔ)，也是最抽象和難以掌握的幾個(gè)概念之一．在教學(xué)過程中，可以從數(shù)形結(jié)合角度來理解相關(guān)定義．

圖1　數(shù)列極限的幾何解釋

2.1.2函數(shù)極限函數(shù)的極限概念為[6]225：在自變量的某個(gè)變化過程中，如果對應(yīng)的函數(shù)值無限接近于某個(gè)確定的數(shù)，那么這個(gè)確定的數(shù)就稱為在這一變化中函數(shù)的極限．

關(guān)于極限的定義和微分的定義都是較為抽象和難以理解的知識點(diǎn)，但是通過３個(gè)圖形，學(xué)生能夠較直觀地理解和掌握這些抽象的概念，充分說明數(shù)形結(jié)合對于定義的理解能夠起到很大幫助作用．另外，對于函數(shù)的單調(diào)性和曲線的凹凸性判別，函數(shù)的極值、最值等，都可以借助幾何圖像的直觀性幫助學(xué)生理解相關(guān)內(nèi)容．

圖2　函數(shù)在某點(diǎn)極限的幾何解釋

圖3　微分的幾何意義

2.2　定理證明的清晰化

微分中值定理包括羅爾定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理，簡稱微分中值三定理，是高等數(shù)學(xué)中重要的幾個(gè)定理．以拉格朗日中值定理的證明過程為例，論述幾何直觀有助定理證明的清晰化[6]225．

圖4 羅爾定理

圖5　拉格朗日中值定理

2.3　計(jì)算過程的簡便化

定積分的計(jì)算是高等數(shù)學(xué)的一個(gè)重要知識點(diǎn)．針對定積分的計(jì)算方法有定義法、牛頓-萊布尼茲公式、分部積分法和換元積分法等．對于特殊的填空題、選擇題這類的小題，可以選擇利用定積分的幾何意義法簡化計(jì)算過程，從而達(dá)到事半功倍的效果[8]．

圖6 曲邊梯形的面積

圖7　利用定積分的幾何意義解題

3　結(jié)語

高等數(shù)學(xué)是初等數(shù)學(xué)的延伸和擴(kuò)展，所學(xué)知識也更加復(fù)雜和抽象．高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)不僅是掌握概念定理公式，更重要的是培養(yǎng)一種抽象思維和嚴(yán)密推理問題的能力，即學(xué)生通過借助幾何模型對抽象的概念或定理進(jìn)行更直觀化的認(rèn)識和理解[10]．另外，數(shù)形結(jié)合一直以來是數(shù)學(xué)教學(xué)中一個(gè)很直觀、很簡便的方法和工具．本文分別就數(shù)形在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的定義理解、定理證明及其簡便計(jì)算等方面的具體應(yīng)用做了相應(yīng)的說明和描述，從而使得解決問題更加直觀、清晰和簡便．綜上所述，教師在教學(xué)過程中可以多加運(yùn)用數(shù)形結(jié)合方法進(jìn)行教學(xué)．但是，鑒于數(shù)學(xué)是一門嚴(yán)謹(jǐn)性比較強(qiáng)的學(xué)科，許多定理的證明仍需要嚴(yán)密的證明過程，故提倡將數(shù)形結(jié)合作為高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的輔助教學(xué)工具．

[1] 劉莉．?dāng)?shù)形結(jié)合法在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用研究[J]．遼寧師專學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2016，18（4）：12-16

[2] 陳國蕤．基于問題的視角分析教材——以北師大版“有理數(shù)的乘法”為例[J]．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)研究，2012，31（8）：63-65

[3] 朱殿利．?dāng)?shù)形結(jié)合法在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用再探析[J]．岱宗學(xué)刊，1998（4）：23-25

[4] 方倩珊．“數(shù)”“形”結(jié)合思想在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用[J]．高等數(shù)學(xué)研究，2017，20（6）：54-57

[5] 郭金萍，邢佳．高等應(yīng)用數(shù)學(xué)[M]．4版．天津：天津大學(xué)出版社，2012

[6] 楊莉．淺談數(shù)形結(jié)合在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J]．教育實(shí)踐，2020（2）：225

[7] 同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系．高等數(shù)學(xué)[M]．7版．北京：高等教育出版社，2014

[8] 王艷紅．?dāng)?shù)形結(jié)合在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用分析[J]．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2014（15）：88

[9] 鮑培文．例析數(shù)形結(jié)合思想在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J]．當(dāng)代教育理論與實(shí)踐，2012，4（10）：74-77

[10] 朱光軍，王中興，袁功林．淺談數(shù)學(xué)概念定理的幾何意義在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J]．廣西大學(xué)學(xué)報(bào)：哲學(xué)社會科學(xué)版，2009，31（Z1）：128-130

The application of the combination of number and shape in higher mathematics teaching

LI Weixun，WANG Dan

（School of Science，Tianjin University of Technology and Education，Tianjin 300222，China）

In view of the abstract characteristics of higher mathematics，the idea of combination of number and shape in higher mathematics teaching was puts forward. Combined with specific examples，the advantages of the combination of number and shape in higher mathematics learning are expounded from the aspects of definition understanding，theorem proving and calculation process．The application of the thought makes the teaching process more visualized，clearer and more specific，at the same time of improving students′ enthusiasm，it also deepens their understanding of theoretical knowledge in higher mathematics．

higher mathematics；combination of number and shape；geometric meaning

O13∶G642.0

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2020.11.018

1007-9831（2020）11-0094-04

2020-06-07

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（61703307，11526155）

李偉勛（1984-），男，江西南昌人，講師，博士，從事多智能體系統(tǒng)研究．E-mail：lwxjxtj@163.com