一種求解非線性互補(bǔ)問題的三項(xiàng)共軛梯度算法

胡雅伶，曾玉華

一種求解非線性互補(bǔ)問題的三項(xiàng)共軛梯度算法

胡雅伶1，曾玉華2

（1. 福州大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，福建 福州 350108；2. 湖南第一師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，湖南 長沙 410205）

采用Modulus-based變換將非線性互補(bǔ)問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)非光滑方程組，提出一種三項(xiàng)非線性共軛梯度法，結(jié)合某種不用函數(shù)值的線搜索技術(shù)求解所得的非光滑方程組，從而得到原問題的解．在適當(dāng)條件下，證明了算法的全局收斂性，數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明所提出的算法是有效的．

非線性互補(bǔ)問題；Modulus-based變換；非線性共軛梯度算法

1　引言及預(yù)備知識(shí)

常見的用于求解非線性互補(bǔ)問題（1）的方法是將其轉(zhuǎn)化為一個(gè)非線性方程組，通過求解所得的非線性方程組來得到原問題的解．本文考慮采用Modulus-based變換，將非線性互補(bǔ)問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)非光滑方程組，然后提出一種三項(xiàng)非線性共軛梯度算法求解所得的非光滑方程組，從而得到原問題的解．

令

得到非光滑方程組

為了求解非光滑方程組（3），本文提出了一種三項(xiàng)非線性共軛梯度法，并在一定條件下證明了算法的全局收斂性，數(shù)值實(shí)驗(yàn)說明了本文所提出算法是有效可行的．

式（5）中相關(guān)符號(hào)含義見文獻(xiàn)[2-3]．

將線搜索（5）與文獻(xiàn)[1]提出的三項(xiàng)共軛梯度算法相結(jié)合，本文提出了一種求解非光滑非線性方程組（3）的三項(xiàng)非線性共軛梯度算法．

2　算法描述

其中：

本文所給出的三項(xiàng)非線性共軛梯度算法（Nonlinear three-term conjugate gradient method，NTTCGM）的基本步驟為：

3　收斂性分析

（3）函數(shù)值具有充分下降性，即

（3）證明函數(shù)值具有充分下降性．由引理１可知

或

證明由引理２可知

利用柯西不等式，可得

將式（22）與式（12）相結(jié)合，得到

4　數(shù)值實(shí)驗(yàn)

表1　數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果

由表１可以看出，對于非線性互補(bǔ)問題1~5，本文所給出的三項(xiàng)非線性共軛梯度算法是有效可行的．

5　結(jié)語

本文對一類非線性互補(bǔ)問題提出了一種Modulus-based變換法，這種方法將互補(bǔ)問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)非光滑非線性方程組，并提出了一種三項(xiàng)非線性共軛梯度算法，結(jié)合不用函數(shù)值的線搜索技術(shù)求解所得的方程組，從而得到原問題的解．證明了所提出算法的全局收斂性，對比實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明了本文所給算法的有效性．

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A three-term nonlinear conjugate gradient method for nonlinear complementarity problem

HU Yaling1，ZENG Yuhua2

（1. School of Mathematics and Computer Science，F(xiàn)uzhou University，F(xiàn)uzhou 350108，China；2. School of Mathematics and Computational Science，Hunan First Normal University，Changsha 410205，China）

The Modulus-based manipulation is used to transform the nonlinear complementarity problem into non-smooth equations，a three-term nonlinear conjugate gradient method is proposed. Through the three-term nonlinear conjugate gradient method，the solution of the original problem is obtained by solving the non-smooth equations by using a line search technique without function values. Under suitable conditions，the global convergence of the algorithm is proved．The numerical results show that the proposed algorithm is effective．

nonlinear complementarity problem；Modulus-based manipulation；nonlinear conjugate method

O224

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2020.11.001

1007-9831（2020）11-0001-06

2020-01-10

國家自然科學(xué)基金面上項(xiàng)目（11571074，11671125）；湖南省教育廳科研重點(diǎn)項(xiàng)目（20A097）

胡雅伶（1994-），女，重慶人，在讀碩士研究生，從事非線性規(guī)劃研究．E-mail：863825011@qq.com

曾玉華（1973-），男，湖南永州人，副教授，博士，從事優(yōu)化理論與方法研究．E-mail：dysfzyh@126.com