一種基于差分進(jìn)化的正弦余弦算法

劉小娟，王聯(lián)國(guó)

甘肅農(nóng)業(yè)大學(xué)信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院，蘭州 730070

正弦余弦算法（Sine cosine algorithm，簡(jiǎn)稱SCA）是2016年由澳大利亞學(xué)者Seyedali Mirjalili提出的一種新型仿自然優(yōu)化算法[1].該算法通過創(chuàng)建多個(gè)隨機(jī)候選解，利用正余弦數(shù)學(xué)模型來求解優(yōu)化問題，具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、參數(shù)少、易于實(shí)現(xiàn)的特點(diǎn)，但也存在優(yōu)化精度低、容易陷入局部極值、收斂速度慢等問題.

近年以來，許多學(xué)者與研究人員對(duì)SCA進(jìn)行了相關(guān)的研究與改進(jìn).其中，文獻(xiàn)[2]通過分析轉(zhuǎn)換參數(shù)，設(shè)計(jì)出轉(zhuǎn)換參數(shù)拋物線函數(shù)遞減和指數(shù)函數(shù)遞減兩種正弦余弦算法，并以協(xié)同過濾推薦算法中相似度函數(shù)的計(jì)算為應(yīng)用對(duì)象，驗(yàn)證了改進(jìn)指數(shù)函數(shù)遞減正弦余弦算法的可行性和有效性；文獻(xiàn)[3]通過引入慣性權(quán)重和反向?qū)W習(xí)策略，在提高算法收斂精度的同時(shí)加快了其收斂速度；文獻(xiàn)[4]結(jié)合正弦余弦參數(shù)和候選解慣性權(quán)重提出了一種改進(jìn)的正弦余弦算法，通過仿真實(shí)驗(yàn)說明了改進(jìn)算法的有效性；文獻(xiàn)[5]提出了一種基于改進(jìn)正弦余弦算法的光譜特征峰識(shí)別定位方法，實(shí)驗(yàn)表明該方法在識(shí)別率等多方面均有顯著提高；文獻(xiàn)[6]提出了一種基于精英混沌搜索策略的交替正余弦算法，并將基于該策略的改進(jìn)算法與反向?qū)W習(xí)算法交替執(zhí)行以增強(qiáng)其探索能力，降低了算法時(shí)間復(fù)雜度并提高了收斂速度；文獻(xiàn)[7]通過引入精英反向?qū)W習(xí)策略，并利用個(gè)體的反思學(xué)習(xí)能力對(duì)正弦余弦算法進(jìn)行改進(jìn)，提高了算法的尋優(yōu)精度；文獻(xiàn)[8]提出了一種基于非線性轉(zhuǎn)換參數(shù)和隨機(jī)差分變異策略的正弦余弦算法，并利用該算法優(yōu)化神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)以解決經(jīng)典分類問題；文獻(xiàn)[9]通過混沌策略和反向?qū)W習(xí)策略提出了一種基于改進(jìn)正余弦算法的多閾值圖像分割方法，對(duì)比實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明該算法運(yùn)行時(shí)間較短，分割精度較高，魯棒性較強(qiáng)；文獻(xiàn)[10]提出了一種以交叉策略改進(jìn)的全局優(yōu)化正弦余弦算法，并應(yīng)用于圖像分割中的多閾值分割；文獻(xiàn)[11]提出了一種基于反向?qū)W習(xí)的自適應(yīng)混合正弦余弦算法，并驗(yàn)證了該算法求解實(shí)際全局優(yōu)化問題的有效性；文獻(xiàn)[12]提出了一種新穎的混合BPSOSCA特征選擇方法并進(jìn)行聚類分析，與其它競(jìng)爭(zhēng)方法相比該方法具有更優(yōu)的性能；文獻(xiàn)[13]提出了一種基于Riesz分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)變異策略的正余弦算法，通過擬反向?qū)W習(xí)策略、反向?qū)W習(xí)策略和Riesz分?jǐn)?shù)階變異策略增強(qiáng)種群的全局探索能力并提高算法的收斂速度；文獻(xiàn)[14]提出了一種用于文本分類的改進(jìn)正弦余弦算法，避免了算法的早熟收斂；文獻(xiàn)[15]提出了一種融合最優(yōu)鄰域和二次插值策略的改進(jìn)正弦余弦算法，協(xié)調(diào)了算法的全局探索與局部開發(fā)能力；文獻(xiàn)[16]提出了一種改進(jìn)的正余弦算法，利用正交學(xué)習(xí)、多種群機(jī)制和貪婪選擇機(jī)制，提高了算法的優(yōu)化性能；文獻(xiàn)[17]提出了一種用于全局優(yōu)化和約束實(shí)際工程問題的多策略正余弦優(yōu)化算法，將Cauchy突變算子、混沌局部搜索機(jī)制、基于反向?qū)W習(xí)策略等多種機(jī)制與基于差分進(jìn)化的兩種算子（變異和交叉）相結(jié)合，有效避免了算法陷入局部最優(yōu)；文獻(xiàn)[18]提出了一種基于帶Lévy飛行的正余弦頻帶選擇方法，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明所提出的頻帶選擇方法在頻帶子集的選擇上優(yōu)于其它先進(jìn)的分類方法，具有較高的分類精度.

為了更好地平衡算法的探索和開發(fā)能力，并使SCA既能從局部極值的鄰域跳轉(zhuǎn)到全局最優(yōu)解的鄰域，又能在全局最優(yōu)解的鄰域內(nèi)進(jìn)行高精度搜索，本文借鑒文獻(xiàn)[19-21]中智能優(yōu)化算法的混合方法，將差分進(jìn)化算法與正弦余弦算法進(jìn)行混合，提出了一種基于差分進(jìn)化的正弦余弦（Sine cosine algorithm based on differential evolution，SCADE）算法.算法主要做了以下5方面的改進(jìn)：（1）按非線性方式調(diào)整參數(shù)r1，并使每個(gè)個(gè)體采用相同的參數(shù)r1、r2、r3和r4，提高算法的搜索能力和收斂速度；（2）通過差分進(jìn)化策略(包括交叉、變異、選擇），充分利用全局最優(yōu)個(gè)體的引導(dǎo)作用和種群中其它個(gè)體的信息，平衡算法的全局探索能力和局部開發(fā)能力；（3）利用偵察蜂策略，對(duì)個(gè)體適應(yīng)度值連續(xù)nlim次沒有進(jìn)步的個(gè)體隨機(jī)初始化，以增加種群多樣性，提高全局探索能力；（4）利用全局最優(yōu)個(gè)體變異策略，在最優(yōu)解附近進(jìn)行精細(xì)搜索，增強(qiáng)算法的開發(fā)能力，提高優(yōu)化精度；（5）按固定迭代間隔，交替執(zhí)行差分進(jìn)化策略和全局最優(yōu)個(gè)體變異策略.最后，對(duì)23個(gè)測(cè)試函數(shù)進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，將SCADE算法與其它改進(jìn)算法進(jìn)行比較，驗(yàn)證SCADE算法的有效性.

1 正弦余弦算法

1.1 正弦余弦算法原理

SCA利用正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的數(shù)學(xué)性質(zhì)，通過自適應(yīng)改變正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的振幅來平衡算法在搜索過程中的全局探索和局部開發(fā)能力，并最終找到全局最優(yōu)解.

設(shè)Xi=(xi1,xi2,···,xiN)為第i(i=1, 2,···,M) 個(gè)個(gè)體，N表示搜索空間的維度，M為種群規(guī)模，Pg=(pg1,pg2,···,pgN)為全局最優(yōu)個(gè)體.在搜索過程中，第i個(gè)個(gè)體的第j維按式（1）進(jìn)行位置更新.

式中，T為最大迭代次數(shù)，a為常數(shù)，一般取值為2.

1.2 正弦余弦算法分析

表1 sinr2的符號(hào)對(duì)2種分項(xiàng)符號(hào)的影響Table 1 Effect of the sign of sin r2 on the signs of two itemized items

（2）算法的收斂速度較慢.SCA按式（1）更新個(gè)體后，個(gè)體直接進(jìn)入下一代，因此可以保持種群多樣性，有利于全局探索，但算法收斂速度較慢，因此可以采用貪婪選擇策略，使較優(yōu)個(gè)體進(jìn)入下一代，提高算法的收斂速度.然而，這卻增加了算法陷入局部最優(yōu)的可能性，故可采用偵察蜂算子，對(duì)較差個(gè)體進(jìn)行隨機(jī)初始化.

（3）第i個(gè)個(gè)體按式（1）更新時(shí)，只利用了全局最優(yōu)個(gè)體Pg和第i個(gè)個(gè)體自身的信息，使第i個(gè)個(gè)體快速向全局最優(yōu)個(gè)體Pg靠攏，容易造成算法陷入局部最優(yōu).

2 基于差分進(jìn)化的正弦余弦算法

2.1 參數(shù)調(diào)整策略

2.1.1 按非線性方式調(diào)整參數(shù)r1

按非線性方式調(diào)整參數(shù)r1，調(diào)整策略見式（3）.通過改變參數(shù)r1的線性遞減方式，使算法在迭代前期，SCA全局探索能力最強(qiáng)；在迭代中期，算法逐步從全局探索向局部開發(fā)階段過渡；到迭代后期，r1非線性遞減加快，使算法局部開發(fā)能力增強(qiáng).

2.1.2 每個(gè)個(gè)體采用相同的參數(shù)r1、r2、r3和r4

在每次迭代中，每個(gè)個(gè)體的所有維度采用相同的參數(shù)r1、r2、r3和r4，使每個(gè)個(gè)體所有維度以相同方式與比例進(jìn)行搜索，降低算法的隨機(jī)性，提高算法的搜索能力和收斂速度.

2.2 差分進(jìn)化策略

2.2.1 差分變異操作

差分變異利用父代種群中的多個(gè)個(gè)體的線下組合生成變異個(gè)體Vi=(vi1,vi2,vi3,···,viN)，在改進(jìn)算法中利用式（4）生成變異個(gè)體Vi.

式中，rand()為[0, 1]上的隨機(jī)數(shù)，i1和i2是在當(dāng)前種群中隨機(jī)選擇的2個(gè)個(gè)體，并且i1≠i2≠i.該變異操作既利用了全局最優(yōu)個(gè)體Pg，又利用了種群中其它個(gè)體的信息，較好地平衡了算法的全局探索能力和局部開發(fā)能力，防止算法陷入局部最優(yōu).

2.2.2 交叉操作

交叉操作通過變異個(gè)體Vi=(vi1,vi2,···,viN)和Xi的各維度分量的隨機(jī)重組產(chǎn)生交叉?zhèn)€體Ui=(ui1,ui2,···,uiN)，提高種群多樣性，Ui按式（5）產(chǎn)生.

式中，CR為交叉概率常數(shù)，r5為[0, 1]上的隨機(jī)數(shù)，jrand∈{1, 2,···,N}為隨機(jī)選擇的維度索引，它保證Ui至少要從Vi中獲得一個(gè)元素，以確保有新的個(gè)體產(chǎn)生.

2.2.3 選擇操作

采用貪婪選擇策略，根據(jù)Xi和交叉?zhèn)€體Ui的適應(yīng)度值f(·)來選擇較優(yōu)個(gè)體進(jìn)入下一代.對(duì)于最小化問題，其選擇操作按式（6）進(jìn)行.

2.3 偵察蜂策略

采用了貪婪選擇策略，加快了算法的收斂速度，但隨著迭代的進(jìn)行，算法收斂于全局最優(yōu)解和局部最優(yōu)解.為了防止算法陷入局部最優(yōu)，采用人工蜂群（ABC）算法中的偵察蜂算子，對(duì)個(gè)體適應(yīng)度值連續(xù)nlim次沒有進(jìn)步的個(gè)體隨機(jī)初始化，以增加種群多樣性，提高全局探索能力.

2.4 全局最優(yōu)個(gè)體變異策略

以提高算法優(yōu)化精度和收斂速度為目標(biāo)，對(duì)全局最優(yōu)個(gè)體Pg按式（7）和（8）進(jìn)行高斯變異操作，生成新個(gè)體，如果的適應(yīng)度值優(yōu)于Pg，則用替代P.g

式中，δ2為方差，按式（8）產(chǎn)生，δ2max和δ2min分別為方差變化的最大值和最小值.這種處理使算法在迭代搜索前期注重全局探索，而在迭代搜索后期主要進(jìn)行局部開發(fā)，這在一定程度上提高了算法的優(yōu)化精度.

為了減少算法時(shí)間復(fù)雜度，每隔h次迭代，執(zhí)行kmax次小規(guī)模的全局最優(yōu)個(gè)體變異策略.一般情況下，滿足kmax≤M.

2.5 算法步驟及流程

SCADE算法的步驟如下：

步驟1：隨機(jī)產(chǎn)生種群M個(gè)個(gè)體，設(shè)置當(dāng)前迭代次數(shù)t，最大迭代次數(shù)T，交叉概率常數(shù)CR，方差變化的最大值δ2max和最小值δ2min，執(zhí)行全局最優(yōu)個(gè)體變異策略的迭代間隔h和迭代次數(shù)kmax；

步驟2：計(jì)算每個(gè)個(gè)體的適應(yīng)度，并找出全局最優(yōu)個(gè)體Pg；

步驟 3：計(jì)算r1；

步驟 4：當(dāng)tmodh==0時(shí)，按式（7）和（8）執(zhí)行kmax次小規(guī)模的全局最優(yōu)個(gè)體變異策略，轉(zhuǎn)向步驟8，否則轉(zhuǎn)向步驟5；

步驟 5：按式（4）～（6）更新每個(gè)個(gè)體；

步驟6：更新全局最優(yōu)個(gè)體Pg；

步驟7：執(zhí)行偵察蜂策略；

步驟8：終止條件是否滿足？若滿足，停止迭代并輸出全局最優(yōu)解，否則轉(zhuǎn)向步驟3.

SCADE算法對(duì)應(yīng)的流程圖如圖1所示.

圖1 SCADE算法流程圖Fig.1 Flowchart of the proposed SCADE algorithm

2.6 算法時(shí)間復(fù)雜度分析

SCADE算法的時(shí)間復(fù)雜度主要由差分進(jìn)化、偵察蜂策略和全局最優(yōu)個(gè)體變異策略3部分組成.假設(shè)種群規(guī)模為M，問題維度為N，最大迭代次數(shù)為T，每隔h次迭代，交叉概率常數(shù)CR，執(zhí)行kmax次小規(guī)模的全局最優(yōu)個(gè)體變異策略，當(dāng)種群中每個(gè)個(gè)體適應(yīng)度值連續(xù)nlim次沒有進(jìn)步時(shí)，在解空間中隨機(jī)產(chǎn)生一個(gè)新個(gè)體進(jìn)行替換，則SCADE算法的時(shí)間復(fù)雜度為：

SCA的算法時(shí)間復(fù)雜度為：

3 仿真實(shí)驗(yàn)

3.1 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

實(shí)驗(yàn)環(huán)境配置為：操作系統(tǒng)Windows 8.1，處理器Intel_Core_i3-4150_CPU_@_3.50 GHz，內(nèi)存4G，編程語言Microsoft Visual C++ 6.0.本文選取文獻(xiàn)[1, 22]中的23個(gè)基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)（函數(shù)表達(dá)式詳見文獻(xiàn)），以求函數(shù)最小值為例進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)以評(píng)價(jià)SCADE算法的優(yōu)化性能.其中，F(xiàn)1～F7為單峰函數(shù)，F(xiàn)8～F13為多峰函數(shù)，F(xiàn)14～F23為固定維度多峰函數(shù).各算法設(shè)置的具體參數(shù)見表2.其中，PSO中Vmax和W分別為微粒的飛行最大速度和慣性加權(quán)系數(shù)，DE中F為常量因子，m-SCA中JR為躍變率，COSCA中pr 為選擇比例，astart和aend分別為控制參數(shù)a的初始值和最終值.最終測(cè)試結(jié)果采用獨(dú)立運(yùn)行30次后的平均值，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表3、表4和圖2所示.

表2 各算法設(shè)置的具體參數(shù)表Table 2 Specific parameters set by each algorithm

3.2 評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)

通過算法找到的平均最優(yōu)值、中值、最優(yōu)值、最差值、標(biāo)準(zhǔn)差、平均運(yùn)行時(shí)間和收斂曲線圖等7個(gè)方面評(píng)價(jià)算法的性能.其中平均最優(yōu)值反映算法的優(yōu)化精度，中值、最優(yōu)值和最差值反映可行解的質(zhì)量，標(biāo)準(zhǔn)差反映算法的穩(wěn)定性，平均運(yùn)行時(shí)間反映算法執(zhí)行的時(shí)間代價(jià)，收斂曲線圖反映算法的收斂情況.

表3 SCADE與基本SCA的實(shí)驗(yàn)結(jié)果Table 3 Experimental results of SCADE and basic SCA

表3 (續(xù))Table 3 (Continued)

表4 SCADE與SCA改進(jìn)算法及其它智能優(yōu)化算法的性能比較Table 4 Performance comparison of SCADE with modified SCA and other algorithms

表4 (續(xù))Table 4 (Continued)

3.3 SCADE 與基本 SCA的性能比較

為了測(cè)試改進(jìn)算法SCADE相比基本SCA的尋優(yōu)性能，2種算法參數(shù)設(shè)置見表2，并采用相同的函數(shù)最大評(píng)價(jià)次數(shù)15000.表3列出了改進(jìn)算法SCADE與基本SCA的測(cè)試結(jié)果對(duì)比情況.

由表3可以看出：在算法獲得的平均最優(yōu)值和標(biāo)準(zhǔn)差方面，SCADE對(duì)函數(shù)F16、F18和F19的優(yōu)化結(jié)果中的平均最優(yōu)值與SCA相當(dāng)，標(biāo)準(zhǔn)差優(yōu)于SCA，但對(duì)其余的20個(gè)測(cè)試函數(shù)，所獲得的優(yōu)化結(jié)果明顯優(yōu)于SCA，而且優(yōu)化精度較高；在算法獲得的中值、最優(yōu)值和最差值方面，SCADE對(duì)函數(shù)F15、F16、F17和F18的優(yōu)化結(jié)果與SCA相當(dāng)，在其余測(cè)試函數(shù)上所獲得的優(yōu)化結(jié)果仍明顯優(yōu)于SCA，表明SCADE獲得的可行解質(zhì)量較高；在算法獲得的運(yùn)行時(shí)間方面，相比SCA，SCADE除了函數(shù)F14、F16和F18稍長(zhǎng)或相等外，在其余測(cè)試函數(shù)上運(yùn)行時(shí)間最短，這是因?yàn)镾CADE中去掉了絕對(duì)值運(yùn)算符，采用了差分進(jìn)化策略，只對(duì)部分維度進(jìn)行更新，減少了計(jì)算量，從而縮短了算法的運(yùn)行時(shí)間.

3.4 SCADE 與 SCA 改進(jìn)算法及其它智能優(yōu)化算法的性能比較

為進(jìn)一步測(cè)試改進(jìn)算法的性能，將SCADE與SCA改進(jìn)算法及其它智能優(yōu)化算法PSO、DE、ABC、m-SCA、COSCA進(jìn)行比較.參數(shù)設(shè)置同上文，函數(shù)最大評(píng)價(jià)次數(shù)仍保持一致.另外，采用顯著性水平為5%的Wilcoxon秩和檢驗(yàn)以評(píng)價(jià)算法的尋優(yōu)性能.

3.4.1 優(yōu)化精度分析

表4列出了改進(jìn)算法SCADE與上述算法在23個(gè)測(cè)試函數(shù)上的平均最優(yōu)值、標(biāo)準(zhǔn)差及秩和檢驗(yàn)決策結(jié)果（+ /=/-）.其中，決策結(jié)果“+ /=/ -”分別表示通過Wilcoxon秩和檢驗(yàn)后對(duì)比算法“優(yōu)于/相當(dāng)/遜于”SCADE算法的函數(shù)個(gè)數(shù).

由表4可以看出：SCADE在12個(gè)測(cè)試函數(shù)上獲得的優(yōu)化結(jié)果優(yōu)于其它對(duì)比算法，且在多峰函數(shù)F9、F11、F14、F16、F17、F18、F19、F22和F23上均已取得理論最優(yōu)值.同時(shí)，從秩和檢驗(yàn)結(jié)果可知，SCADE在23個(gè)測(cè)試函數(shù)上的結(jié)果優(yōu)于SCA，在19個(gè)測(cè)試函數(shù)上的結(jié)果優(yōu)于PSO，在16個(gè)測(cè)試函數(shù)上的結(jié)果優(yōu)于DE，在18個(gè)測(cè)試函數(shù)上的結(jié)果優(yōu)于ABC，在21個(gè)測(cè)試函數(shù)上的結(jié)果優(yōu)于m-SCA，在18個(gè)測(cè)試函數(shù)上的結(jié)果優(yōu)于COSCA.

3.4.2 收斂性分析

圖2是7種算法在部分測(cè)試函數(shù)中運(yùn)行30次后得到平均最優(yōu)值收斂曲線圖.除了圖2（c）和（f）外，其余函數(shù)收斂曲線圖的縱坐標(biāo)為函數(shù)平均最優(yōu)值的對(duì)數(shù)值，橫坐標(biāo)為迭代次數(shù).

從圖中可以看出：在單峰測(cè)試函數(shù)中，對(duì)于F2，相比其它6種算法，SCADE收斂速度明顯加快，同時(shí)優(yōu)化精度最高，并且相比基本SCA達(dá)到了60次方數(shù)量級(jí)的優(yōu)化效果.對(duì)于F5，SCADE與COSCA的收斂趨勢(shì)一致，但SCADE收斂速度更快，得到的解較好；在多峰測(cè)試函數(shù)中，對(duì)尋優(yōu)難度較大的F8而言，在迭代前期，SCADE收斂速度高于基本SCA、DE、PSO、m-SCA和COSCA，但在迭代中期，SCADE的收斂速度顯著加快，并且在迭代次數(shù)約350次時(shí)開始收斂直到趨向全局最優(yōu)解.對(duì)具有許多局部極小值的F10而言，在迭代次數(shù)小于150次時(shí)，SCADE和COSCA的收斂趨勢(shì)基本一致，并且收斂速度大于其它6種對(duì)比算法，當(dāng)?shù)螖?shù)大于150次時(shí)，SCADE同COSCA以相等的收斂速度和優(yōu)化精度不斷收斂；在固定維度的多峰測(cè)試函數(shù)中，對(duì)于F14，相比其它5種算法，SCADE同ABC收斂趨勢(shì)和優(yōu)化精度基本一致，且好于DE、PSO以及SCA的改進(jìn)算法m-SCA和COSCA.對(duì)于F23，相比其它6種算法，SCADE前期的收斂速度略低于ABC和DE，但當(dāng)?shù)螖?shù)達(dá)到400次左右時(shí)，SCADE能優(yōu)于PSO、m-SCA和COSCA達(dá)到其理論最優(yōu)值.

綜上所述，相比基本SCA、SCA改進(jìn)算法及其它智能優(yōu)化算法，本文提出的算法SCADE收斂性較好，優(yōu)化精度更高，穩(wěn)定性和魯棒性更強(qiáng).

3.5 重要參數(shù)分析

3.5.1 連續(xù)次數(shù)nlim

在ABC算法的偵察峰策略中，連續(xù)次數(shù)nlim的選取對(duì)算法性能的影響顯得尤為重要.一般而言，nlim的設(shè)置不能太小[26].因此，選取不同峰型、具有代表性的3個(gè)測(cè)試函數(shù)，通過仿真實(shí)驗(yàn)分析不同取值的nlim對(duì)SCADE性能的影響.仿真實(shí)驗(yàn)中，考慮到算法的最大迭代次數(shù)為500，故在范圍[0, 100]內(nèi)設(shè)置不同間隔的nlim值，其它參數(shù)設(shè)置見表2，同時(shí)用顯著性水平為5%的Friedman檢驗(yàn)反映實(shí)驗(yàn)結(jié)果的差異性.表5列出了不同nlim的值對(duì)SCADE性能影響的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，影響指標(biāo)包含平均最優(yōu)值、標(biāo)準(zhǔn)差、排序及Friedman檢驗(yàn)的概率值P.從表5可以看出，除測(cè)試函數(shù)F2外，其它函數(shù)的Friedman檢驗(yàn)概率值P均小于0.05，這說明不同的nlim設(shè)置下實(shí)驗(yàn)結(jié)果存在一定的差異性.根據(jù)表中函數(shù)結(jié)果顯示，當(dāng)nlim等于50時(shí)算法性能最優(yōu)，故本文設(shè)置參數(shù)nlim的值為50.

3.5.2 交叉概率常數(shù)CR

交叉概率常數(shù)CR在SCADE算法中起關(guān)鍵作用.通過仿真實(shí)驗(yàn)分析不同取值的交叉概率常數(shù)CR對(duì)SCADE性能的影響.在[0.1, 0.5]范圍內(nèi)以0.1的間距設(shè)置CR的值，測(cè)試函數(shù)及其它參數(shù)設(shè)置見表2，表6列出了不同取值的CR對(duì)SCADE的性能影響.由表6可見，除測(cè)試函數(shù)F2外，其余函數(shù)的Friedman檢驗(yàn)概率值P均小于0.05，這說明在不同的CR設(shè)置下，實(shí)驗(yàn)結(jié)果仍存在差異性.同時(shí)，表中函數(shù)結(jié)果顯示，當(dāng)CR等于0.3時(shí)算法性能最好，故本文設(shè)置參數(shù)CR的值為0.3.

表5 nlim對(duì)SCADE的性能影響Table 5 Influence of nlim on the SCADE performance

表6 CR對(duì)SCADE的性能影響Table 6 Influence of CR on the SCADE performance

3.5.3 迭代間隔h

為提高算法的優(yōu)化精度，每隔h次迭代，執(zhí)行小規(guī)模的全局最優(yōu)個(gè)體變異策略.在[5, 25]范圍內(nèi)以5的間距設(shè)置h的值并進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，測(cè)試函數(shù)及其它參數(shù)設(shè)置同見表2.表7列出了不同取值的h對(duì)SCADE性能的影響.表中所有函數(shù)的Friedman檢驗(yàn)概率值P均小于0.05，同樣說明不同的h設(shè)置下實(shí)驗(yàn)結(jié)果存在差異性.另外，表中測(cè)試函數(shù)結(jié)果顯示，h等于10時(shí)算法尋優(yōu)效果較好.

表7 h對(duì)SCADE的性能影響Table 7 Influence of h on the SCADE performance

4 結(jié)論

針對(duì)SCA在優(yōu)化部分高維函數(shù)問題時(shí)的缺陷，提出了一種基于差分進(jìn)化的正弦余弦（SCADE）算法.本文所做的主要工作總結(jié)為：（1）通過去掉SCA位置更新公式中的絕對(duì)值，降低算法的計(jì)算復(fù)雜度；（2）通過參數(shù)調(diào)整策略，提高算法的搜索能力和收斂速度；（3）通過交替執(zhí)行差分進(jìn)化策略和全局最優(yōu)個(gè)體變異策略，較好地平衡算法的全局探索能力和局部搜索能力；（4）通過利用偵察蜂策略，增加種群多樣性，并提高全局探索能力；（5）通過選取有代表性的不同峰型測(cè)試函數(shù)進(jìn)行Friedman檢驗(yàn)，反映出連續(xù)次數(shù)、交叉概率常數(shù)和迭代間隔的特定取值對(duì)SCADE算法性能影響較敏感；（6）通過23個(gè)測(cè)試函數(shù)的仿真實(shí)驗(yàn)，并與其它改進(jìn)算法進(jìn)行比較，結(jié)果表明SCADE算法具有較高的優(yōu)化性能.最后，下一步的工作將是研究如何運(yùn)用SCADE算法解決實(shí)際優(yōu)化問題.