柔性鉸接板振動(dòng)測量及迭代學(xué)習(xí)主動(dòng)控制*

邱志成，黃子騫

0 引 言

大型柔性板狀結(jié)構(gòu)廣泛應(yīng)用于航空航天領(lǐng)域，但這種結(jié)構(gòu)特性極易引起低頻振動(dòng)[1].從動(dòng)力學(xué)角度分析，大型柔性結(jié)構(gòu)通常具有柔性大、低頻模態(tài)密集、模態(tài)耦合度高等特點(diǎn)[2]，故而采用傳統(tǒng)的控制方式或單一形式的被動(dòng)控制方式難以實(shí)現(xiàn)預(yù)期的振動(dòng)抑制效果.與被動(dòng)控制方式相比，主動(dòng)控制能更好地適應(yīng)工作環(huán)境、具備更優(yōu)的靈活性，使用主動(dòng)控制方式對柔性結(jié)構(gòu)的振動(dòng)進(jìn)行抑制是一種行之有效的方法.基于此，探討大型柔性結(jié)構(gòu)如太陽翼、薄膜天線等板狀結(jié)構(gòu)的主動(dòng)控制具有一定的研究價(jià)值和研究意義.

關(guān)于振動(dòng)控制，CHU等[3]針對雙連桿柔性機(jī)械臂研究了一種基于輸入整形器和多模態(tài)自適應(yīng)正位置反饋的振動(dòng)主動(dòng)抑制方法，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明了該方法具有可行性和適用性.EHSAN等[4]提出了一種新型MPF控制器用于壓電柔性結(jié)構(gòu)的振動(dòng)主動(dòng)控制，并采用H2和H∞范數(shù)對增益進(jìn)行優(yōu)化，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明相較于MPPF控制器，MPF控制器不僅能有效地抑制振動(dòng)位移和速度，而且具有更好的性能.HUANG等[5]針對超長柔性機(jī)械臂在沖擊載荷作用下的端部振動(dòng)問題，提出了一種改進(jìn)的最小均方法來確定控制路徑的頻域響應(yīng)矩陣和外部激勵(lì)響應(yīng)的復(fù)振幅，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明所提出的方法能有效降低機(jī)械臂的振動(dòng)幅值.NATRAJ等[6]采用了一種混合控制技術(shù)以探究雙連桿柔性機(jī)械臂的振動(dòng)主動(dòng)控制問題，這一技術(shù)涉及到壓電陶瓷傳感器和驅(qū)動(dòng)器的組合使用，為本文研究柔性結(jié)構(gòu)的振動(dòng)測量裝置及主動(dòng)控制裝置提供了參考.MOSTAFA等[7]對多連桿柔性機(jī)構(gòu)的建模與控制研究的發(fā)展趨勢進(jìn)行了綜述，包括FLMs的建模方法和實(shí)現(xiàn)的控制技術(shù)等內(nèi)容，趨勢表明，開環(huán)控制、前饋控制等策略已被頻繁地用于連桿柔性機(jī)構(gòu)的振動(dòng)主動(dòng)控制.

在研究柔性結(jié)構(gòu)的振動(dòng)檢測與振動(dòng)主動(dòng)控制過程中，振動(dòng)檢測裝置及方法、振動(dòng)控制裝置及方法在選用和實(shí)施上有著舉足輕重的重要性.壓電陶瓷是一類具有壓電特性的電子陶瓷材料，因其材料特性故而在機(jī)械應(yīng)力的作用下將引起壓電陶瓷內(nèi)部正負(fù)電荷中心的相對位移從而形成極化現(xiàn)象，導(dǎo)致材料兩端表面分布集結(jié)了符號相反的電荷即壓電效應(yīng).壓電陶瓷成本較低、易于安裝，OLIVER等[8]利用壓電材料研究了軸流中平板顫振時(shí)產(chǎn)生的能量；HE等[9]在經(jīng)典層合板理論的基礎(chǔ)上，研究了基于壓電傳感器和執(zhí)行機(jī)構(gòu)的功能梯度材料板的主動(dòng)振動(dòng)控制.本實(shí)驗(yàn)將選用壓電陶瓷傳感器作為柔性板的主要振動(dòng)檢測裝置.

在柔性結(jié)構(gòu)振動(dòng)主動(dòng)控制的研究中，主動(dòng)控制算法的選用將直接決定控制效果的優(yōu)劣.主動(dòng)控制包括經(jīng)典的PID控制、現(xiàn)代控制、智能控制[10]等.迭代學(xué)習(xí)控制(ILC, iterative learning control)就是一種典型的智能控制，該方法于1984年由Arimoto等[11]提出，而后一直發(fā)展成智能控制系統(tǒng)中具有嚴(yán)格數(shù)學(xué)描述的一個(gè)分支.如果要求系統(tǒng)在有限的時(shí)間間隔t?[0,T]內(nèi)準(zhǔn)確地完成給定的跟蹤任務(wù)，傳統(tǒng)的控制手段可能無法實(shí)現(xiàn)控制目標(biāo)，但采用迭代學(xué)習(xí)控制的方法是可以滿足這一控制要求的，條件是給定的任務(wù)能夠重復(fù)一定次數(shù)，且最初幾次基于迭代學(xué)習(xí)控制的誤差在可接受的范圍內(nèi)，此外重復(fù)執(zhí)行過程中的跟蹤誤差、輸入和其他需要的信號是能夠被測量和存儲的[12].曹樹平等[13]將迭代學(xué)習(xí)控制方法應(yīng)用于一類電液位置伺服系統(tǒng)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明只要選擇合適的學(xué)習(xí)律就能對系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)有效控制.CHIEN等[14]針對一類非線性系統(tǒng)提出了一種模型參考迭代學(xué)習(xí)方法，與傳統(tǒng)的迭代學(xué)習(xí)控制方法相比，模型參考的迭代學(xué)習(xí)方法可以更靈活地適用于多種情形下的軌跡跟蹤，通過在工業(yè)機(jī)械手上的成功應(yīng)用驗(yàn)證了該方法的可行性.孫瑜等[15]給出了一類非線性時(shí)變系統(tǒng)在任意初值條件下采用開環(huán)D型迭代學(xué)習(xí)控制算法時(shí)的收斂條件，該算法克服了系統(tǒng)輸出信號跟蹤期望輸出依賴于期望狀態(tài)和期望輸入的缺陷，解決了迭代學(xué)習(xí)控制中的初始狀態(tài)問題，仿真研究結(jié)果表明該算法具有可行性.

本文以柔性板狀結(jié)構(gòu)的振動(dòng)測量和主動(dòng)控制為研究目的，以柔性鉸接板為研究對象，為此搭建了一套用于測控柔性鉸接板振動(dòng)特性的實(shí)驗(yàn)平臺；而后將壓電陶瓷傳感器粘貼于柔性板表面，用于檢測待測對象的振動(dòng)信息；根據(jù)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)特性分別設(shè)計(jì)了迭代學(xué)習(xí)控制器和PD控制器，通過實(shí)驗(yàn)比較兩者的控制效果，以此驗(yàn)證所研究的控制方法的可行性和優(yōu)越性.

1 實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)

圖1(a)所示為本文的實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)示意圖，主要研究柔性鉸接板的振動(dòng)測量及主動(dòng)控制，它由以下這幾個(gè)部分組成：柔性鉸接板主體、雙目視覺檢測系統(tǒng)、壓電陶瓷傳感器、信號轉(zhuǎn)換及放大模塊、運(yùn)動(dòng)控制卡、計(jì)算機(jī)、壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器等.

柔性鉸接板是本實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)的研究對象，如圖1(b)所示為柔性鉸接板的平面示意圖，它由兩塊柔性板通過上下兩個(gè)彈簧鉸鏈鉸接形成一個(gè)整體，并由機(jī)械支撐架夾持裝置固定在水平基座上.其中，柔性板I的尺寸為560 mm×510 mm×2 mm，柔性板II的尺寸為300 mm×510 mm×2 mm.它們均使用環(huán)氧樹脂材料制成，其彈性模量E0=24 GPa，泊松比μ=0.33，密度ρ=2141 kg/m3.整體而言，柔性鉸接板一端通過夾持形成固定端，另一端不加約束即為自由端，整個(gè)柔性鉸接板主體呈現(xiàn)為一懸臂結(jié)構(gòu).所述兩塊柔性板的長寬尺寸均為板厚的100倍以上，符合克希霍夫薄板理論，即當(dāng)柔性板承受橫向載荷時(shí)會(huì)發(fā)生彈性形變，在柔性板橫截面上各點(diǎn)沿橫向產(chǎn)生的位移稱為撓度.對于一階彎曲振動(dòng)模態(tài)，從材料力學(xué)角度來看，從懸臂端到自由端，柔性鉸接板在橫向方向的撓度是逐漸增大的，而縱向方向形變程度是一致的.因此在研究柔性鉸接板的振動(dòng)測量方法和振動(dòng)控制方法時(shí)，可依據(jù)柔性鉸接板的結(jié)構(gòu)特性合理地布置傳感器和驅(qū)動(dòng)器.

圖1 實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)及柔性鉸接板示意圖Fig. 1 Schematic diagrams of the experimental system and the flexible hinged plate

在圖1(b)中，可見在柔性板I和柔性板II表面均粘貼有數(shù)個(gè)標(biāo)志點(diǎn)，它們可組成一個(gè)完備的標(biāo)志點(diǎn)序列用于柔性鉸接板的形態(tài)可視化研究，這在后續(xù)實(shí)驗(yàn)中將會(huì)有深入探究.本實(shí)驗(yàn)僅選用最靠近自由端那一列的標(biāo)志點(diǎn)1～標(biāo)志點(diǎn)5(P1～P5)用于視覺振動(dòng)測量，其檢測原理簡述如下：雙目視覺測量基于視差原理，可采用張氏標(biāo)定法對所配置的雙目視覺系統(tǒng)進(jìn)行相機(jī)標(biāo)定，之后雙目視覺系統(tǒng)采集柔性鉸接板振動(dòng)狀態(tài)下的圖像，采集到的圖像經(jīng)圖像處理及特征點(diǎn)立體匹配等步驟后可得到圖像中標(biāo)志點(diǎn)的三維坐標(biāo)信息.如圖1(a)中的信號流1表征了雙目視覺測量方式的信號流向.鑒于相機(jī)標(biāo)定及三維解算的方法已相當(dāng)成熟，此處不再贅述，詳盡可參考文獻(xiàn)[16].至此在柔性鉸接板的振動(dòng)過程中，某一時(shí)刻板上標(biāo)志點(diǎn)的振動(dòng)位移量可表示為

(i=1,…,5)

(1)

最后，對于柔性鉸接板的一階彎曲振動(dòng)，將標(biāo)志點(diǎn)1～標(biāo)志點(diǎn)5的振動(dòng)位移量作算術(shù)平均即可得到視覺測量下柔性鉸接板的一階彎曲振動(dòng)量dv，即

(2)

在圖1(b)中，可見在柔性板II上粘貼有數(shù)個(gè)壓電陶瓷片，單片尺寸為50 mm×15 mm×1 mm.其中片9是壓電陶瓷傳感器，它粘貼在柔性板II的中線附近且靠近固定端根部位置，主要用于檢測柔性鉸接板的一階彎曲振動(dòng)，其檢測原理如下：在振動(dòng)過程中，粘貼在柔性板固定端處的壓電陶瓷傳感器因柔性板的變形而隨之發(fā)生形變，根據(jù)壓電效應(yīng)，當(dāng)壓電陶瓷傳感器發(fā)生形變時(shí)，它的兩個(gè)相對表面上會(huì)分別聚集極性相反的電荷，故而在壓電陶瓷內(nèi)部形成了電勢差.將壓電陶瓷傳感器表面電荷信號通過電荷放大器放大，再由端子板進(jìn)行A/D轉(zhuǎn)換，可得到壓電片當(dāng)前形變量的數(shù)字表達(dá)形式，如圖1(a)中的信號流2表征了壓電測量方式的信號流向.在實(shí)驗(yàn)的初始化配置時(shí)，反復(fù)調(diào)節(jié)電荷放大器的放大倍數(shù)，并對比同一時(shí)刻下視覺檢測的信號和壓電檢測的信號，最終得到基于壓電的檢測方式其測量范圍在(-6 V,6 V)時(shí)對應(yīng)的柔性鉸接板末端實(shí)際橫向位移范圍為(-10 mm,10 mm)，即壓電檢測方式的靈敏度為sps=600 mV/mm.在這個(gè)幅值振動(dòng)范圍，二者之間近似滿足線性關(guān)系，即壓電測量下柔性鉸接板的一階彎曲振動(dòng)量dps可表示為

(3)

式中，ups為壓電測量的電壓值大小.

在圖1(b)中，片1-8均為壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器，它們對稱粘貼在柔性板靠近固定端根部位置的前后兩面，每面4片且并聯(lián)連接，主要用于抑制柔性鉸接板的一階彎曲振動(dòng)，其控制機(jī)理如下：計(jì)算機(jī)根據(jù)檢測裝置反饋的振動(dòng)量輸出指令到運(yùn)動(dòng)控制卡上，后者輸出控制信號，而后經(jīng)端子板上D/A轉(zhuǎn)換得到模擬信號，信號再通過電壓放大器放大，最后由壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器輸出電勢差.根據(jù)逆壓電效應(yīng)，當(dāng)壓電陶瓷兩表面間有電勢差時(shí)，驅(qū)動(dòng)器上會(huì)產(chǎn)生力矩，從而抑制柔性板的振動(dòng).如圖1(a)中的信號流3b表征了壓電驅(qū)動(dòng)方式的信號流向.在實(shí)際實(shí)驗(yàn)中，所設(shè)計(jì)的控制器輸出的電壓值范圍在(-5 V,5 V)，經(jīng)轉(zhuǎn)換放大52倍后由8片壓電陶瓷片組合成一路壓電驅(qū)動(dòng)器輸出，這種組合輸出具體表征為：振動(dòng)控制過程中，計(jì)算機(jī)輸出a(-5 V≤a≤5 V)大小的控制指令，經(jīng)轉(zhuǎn)換放大后柔性板正面的4片壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器均輸出52a(V)大小的電壓，與此同時(shí)柔性板反面的4片壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器均輸出-52a(V)大小的電壓.對于柔性板上雙面對稱粘貼壓電片單元(如下簡稱雙晶片)，在外加電壓upa作用下，雙晶片內(nèi)部會(huì)產(chǎn)生一電場E，且正反兩面壓電片所受電場的大小相等，方向相反，致使某一面的壓電片會(huì)伸長而另一面的壓電片會(huì)收縮，從而驅(qū)動(dòng)柔性板向一個(gè)方向彎曲.對單一雙晶片而言，參考文獻(xiàn)[17]可知，其產(chǎn)生的力矩：

(4)

式中，d31為壓電片的壓電應(yīng)變常量，Ep為壓電片的彈性模量，E0為柔性板的彈性模量，w為壓電片寬度，h為壓電片厚度，h0為柔性板厚度，upa為外加電壓.如圖1(b)所示為柔性板上8片壓電片的配置方式，它們上下對稱、前后同位，這種配置方式保證柔性鉸接板在根部位置能受到足夠的驅(qū)動(dòng)力作用，同時(shí)也能保證柔性鉸接板在根部上半面和下半面的受力均等，不至于因受力不均而激起板子其他模態(tài)的振動(dòng).實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明所使用的壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器滿足控制性能需求.

2 迭代學(xué)習(xí)控制器設(shè)計(jì)

假設(shè)被控對象的狀態(tài)方程為

(5)

其中，x?Rn×1,y?Rm×1,u?Rr×1分別為狀態(tài)向量、輸出向量、輸入向量，n,m,r表示維數(shù)，A,B,C為相應(yīng)維數(shù)的矩陣且CB是非奇異矩陣.

圖2所示為典型的迭代學(xué)習(xí)控制原理圖，其中xk,yk,uk分別為系統(tǒng)第k次運(yùn)行時(shí)系統(tǒng)的狀態(tài)量、輸出量和輸入量，yd(t)是系統(tǒng)的期望輸出，輸出誤差ek(t)=yd(t)-yk(t).此外，圖2中的學(xué)習(xí)律是對控制量uk而言的，一般地，迭代學(xué)習(xí)的控制量都可用遞推的形式來表示

圖2 迭代學(xué)習(xí)控制原理圖Fig.2 Schematic diagram of iterative learning control

uk+1(t)=L(uk(t),eλ(t))

(6)

其中，λ=k時(shí)表示開環(huán)迭代學(xué)習(xí)，λ=k+1 時(shí)表示閉環(huán)迭代學(xué)習(xí).迭代學(xué)習(xí)控制的目的是，已知系統(tǒng)每次的初始狀態(tài)xk(0)和期望輸出yd(t)，系統(tǒng)按照一定的學(xué)習(xí)律進(jìn)行多次重復(fù)的學(xué)習(xí)，每次的學(xué)習(xí)時(shí)間為t?[0,T]，要求k→∞，存在理想的控制量uk(t)使得系統(tǒng)的輸出yk(t)→yd(t).當(dāng)k→∞時(shí)，要求ek(t)在t?[0,T]上一致趨于0，則稱該迭代學(xué)習(xí)控制是收斂的.只有當(dāng)?shù)鷮W(xué)習(xí)過程是收斂的，這樣的迭代學(xué)習(xí)才有實(shí)際應(yīng)用意義.迭代學(xué)習(xí)控制理論適用于具有重復(fù)運(yùn)動(dòng)性質(zhì)的被控系統(tǒng)，可實(shí)現(xiàn)有限區(qū)間上的完全跟蹤任務(wù)，它用系統(tǒng)的實(shí)際輸出信號與期望輸出信號之間的誤差作為參考，按照一定的規(guī)律進(jìn)行學(xué)習(xí)以修正不理想的控制信號，從而使得整個(gè)系統(tǒng)的控制性能得到提升.本實(shí)驗(yàn)研究的是柔性鉸接板在受到外部激勵(lì)下的振動(dòng)情形，具有重復(fù)運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)，比較適合于用迭代學(xué)習(xí)的方法進(jìn)行控制.然而，目前大部分的迭代學(xué)習(xí)控制的研究都要求系統(tǒng)每次運(yùn)行時(shí)的初始狀態(tài)滿足

xk(0)=xd(0)，k=0, 1, 2,…

(7)

uk+1(t)=(1-g(t))uk(t)+g(t)u0(t)+

(8)

其中，g(t)是uk(t)的變遺忘因子函數(shù)，0

?x?Rn×1,t?[0,T]

(9)

(10)

其中，0≤a<1，b1

(11)

將式(11)代入式(8)中，則最終迭代學(xué)習(xí)控制的學(xué)習(xí)律為

(12)

3 實(shí) 驗(yàn)

如圖3所示為本實(shí)驗(yàn)的實(shí)體裝置圖.本實(shí)驗(yàn)將重點(diǎn)研究柔性鉸接板的一階彎曲模態(tài)，為有效抑制振動(dòng)，選用型號為GTS-400-PV-PCI的固高運(yùn)動(dòng)控制卡輸出控制信號，經(jīng)壓電放大器后輸出到壓電驅(qū)動(dòng)器.壓電傳感器檢測的信號經(jīng)放大、A/D轉(zhuǎn)換、采樣等操作后，換算得到實(shí)際可檢測的最小應(yīng)變單位為0.1 mm，壓電陶瓷傳感器檢測的振動(dòng)電壓型號，折算到柔性鉸接板末端振動(dòng)的實(shí)際橫向位移范圍為(-10 mm,10 mm)；相機(jī)圖像傳感器的分辨率為1920 Pixel×1200 Pixel，視覺方式檢測的信號經(jīng)圖像處理、立體匹配等處理后，換算得到實(shí)際可檢測的位移變化量單位為0.1mm，視覺方式檢測的柔性鉸接板末端振動(dòng)實(shí)際橫向位移范圍在(-10 mm,10 mm)，且相機(jī)所采集的信號僅作參考對比.所設(shè)計(jì)控制器輸出的電壓值范圍在(-5 V,5 V)，經(jīng)電壓放大器(芯片型號PA240CX)放大52倍后至(-260 V,260 V).

圖3 實(shí)驗(yàn)平臺實(shí)體裝置圖Fig. 3 Photos of experimental system

軟件方面，在VS編程環(huán)境里使用C++語言編寫控制算法及界面.考慮到視覺檢測處理時(shí)間的需要，實(shí)驗(yàn)時(shí)，采樣周期設(shè)定為50 Hz.進(jìn)行柔性鉸接板一階彎曲模態(tài)的自由振動(dòng)測試，并分別采用PD控制和迭代學(xué)習(xí)控制算法進(jìn)行主動(dòng)控制并探究其控制效果.

(1) 自由振動(dòng)實(shí)驗(yàn)結(jié)果

在柔性鉸接板的懸臂端施加一激勵(lì)使其產(chǎn)生振動(dòng)，過程中不加入任何控制以使其保持自由振動(dòng)狀態(tài)，且同時(shí)采用視覺方式和壓電傳感方式檢測柔性鉸接板的振動(dòng).圖4(a)為壓電片所測dps-t表示的振動(dòng)曲線，dps即壓電測量下柔性鉸接板的一階彎曲振動(dòng)量，是通過式(3)轉(zhuǎn)換得來的，單位mm.

圖4(b)為相機(jī)所測dv-t表示的振動(dòng)曲線，dv即視覺測量下柔性鉸接板的一階彎曲振動(dòng)量，是通過式(2)計(jì)算得來的，單位mm.圖4(c)所示為壓電片所測前30s振動(dòng)曲線.對比發(fā)現(xiàn)，壓電片所測信號曲線光滑穩(wěn)定，噪聲??；而相機(jī)所測信號曲線不夠光滑，且在小幅值范圍噪聲影響較為明顯，這些可能與相機(jī)的分辨率和光照等因素有關(guān).可見相比于相機(jī)，選用壓電片作檢測得到的振動(dòng)信號會(huì)更加穩(wěn)定可靠，后續(xù)實(shí)驗(yàn)中的振動(dòng)響應(yīng)曲線均為壓電片所測.

圖4 自由振動(dòng)時(shí)域響應(yīng)Fig.4 Time domain response of free vibration

從圖4(a)可知，柔性板的初始振幅在10±0.2 mm附近，在不加入任何控制作用下，柔性鉸接板會(huì)持續(xù)振動(dòng)65 s左右才衰減到2%，即進(jìn)入小幅值范圍；到90 s左右衰減到0.5%以內(nèi)，此時(shí)柔性鉸接板基本趨于穩(wěn)定狀態(tài).此外，從圖4(a)可見系統(tǒng)存在由噪聲引起的零漂現(xiàn)象，接下來便從頻域角度分析并解決這一問題.圖5(a)所示，為自由振動(dòng)時(shí)域曲線所對應(yīng)的功率譜密度圖，從圖上可知，系統(tǒng)在1.15 Hz時(shí)達(dá)到峰值11.67 dB，為系統(tǒng)的一階彎曲模態(tài)頻率.但在低頻段存在-5 dB到-10 dB不等的低頻噪聲對系統(tǒng)的干擾；在6.575 Hz處出現(xiàn)另一極大值，這是系統(tǒng)的第二階彎曲模態(tài)頻率.本實(shí)驗(yàn)重點(diǎn)研究柔性鉸接板一階彎曲模態(tài)的振動(dòng)情況，故而應(yīng)盡量避免二階及以上振動(dòng)模態(tài)的影響.因此，針對這一現(xiàn)象，使用巴特沃斯帶通濾波器對信號進(jìn)行濾波處理.如圖5(b)所示，為濾波后的功率譜密度圖.從圖上可見濾波后，0.5 Hz及以下低頻段的信號，幅值均不大于-20 dB，改善了低頻段對系統(tǒng)的影響；在5 Hz及以上頻段的信號，幅值較之前均下降了近20 dB，減少了高頻段對振動(dòng)信號的干擾.

圖5 自由振動(dòng)頻域響應(yīng)Fig. 5 Frequency domain response of free vibration

(2) PD控制實(shí)驗(yàn)結(jié)果

圖6為柔性鉸接板的PD控制實(shí)驗(yàn)結(jié)果，PD控制器的控制參數(shù)分別是kp=0.86,kd=0.02，控制量向后移20個(gè)采樣周期后開始控制.對比圖4(a)和圖6(a)，柔性板的初始振幅都在10±0.2 mm附近，相比于自由振動(dòng)，PD控制下柔性板會(huì)在21 s左右衰減到2%的小幅值范圍，可見PD控制對柔性板的大幅值振動(dòng)抑制效果明顯.但后續(xù)柔性板一直處于小幅值殘余振動(dòng)狀態(tài)，到30 s左右才基本抑制到0.5%以內(nèi)，可見PD控制對柔性板的抑制仍具有一定的局限性.

圖6 PD振動(dòng)控制曲線Fig. 6 Vibration curve under PD control

(3) 迭代學(xué)習(xí)控制實(shí)驗(yàn)結(jié)果

柔性鉸接板的迭代學(xué)習(xí)控制實(shí)驗(yàn)中，算法選用變遺忘因子的閉環(huán)迭代學(xué)習(xí)控制算法，其學(xué)習(xí)律為式(11)所示，經(jīng)多次實(shí)驗(yàn)后選取到的參數(shù)為：學(xué)習(xí)增益Γ=0.02，學(xué)習(xí)增益Φ=0.86，遺忘因子函數(shù)中a=0.482，b1=2.2，b2=27，c1=1.6，c2=10；學(xué)習(xí)時(shí)間t?[0,T]，T取30 s，學(xué)習(xí)次數(shù)7次.控制量向后移20個(gè)采樣周期后開始控制.

如圖7所示為遺忘因子函數(shù)的變化趨勢.該遺忘因子函數(shù)可保證在控制的初始階段和臨近截止階段兩個(gè)區(qū)間段上，上一次迭代學(xué)習(xí)的控制量對本次學(xué)習(xí)的影響小，而在其余區(qū)間段影響大.

圖7 遺忘因子的變化趨勢Fig. 7 Variation trend of forgetting factor

如圖8(a)、8(b)、8(c)、8(d)、8(e)、8(f)、8(g)分別為柔性鉸接板的第1次、第2次、第3次、第4次、第5次、第6次、第7次迭代學(xué)習(xí)控制的振動(dòng)響應(yīng)曲線，8(h)、8(i)、8(j)、8(k)、8(l)、8(m)、8(n)為對應(yīng)的控制量曲線.

到了第2次迭代學(xué)習(xí)，經(jīng)驗(yàn)算第2次迭代后柔性板會(huì)在17 s左右衰減到2%的小幅值范圍；但之后會(huì)持續(xù)較長時(shí)間的小幅值殘余振動(dòng)，到29 s左右基本抑制到0.5%以內(nèi).對比圖8(a)與圖8(b)可見，相比于第1次迭代，柔性板在第2次迭代控制作用下大幅值振動(dòng)衰減效果比第1次迭代快8 s左右，但小幅值殘余振動(dòng)的抑制效果比第1次迭代只快1 s左右，說明小幅值的振動(dòng)抑制提升不大，這一點(diǎn)從控制量曲線上也可以看出.

到了第4次迭代，經(jīng)驗(yàn)算第4次迭代后柔性板會(huì)在14.5 s左右衰減到2%的小幅值范圍，而后在20.5 s左右將小幅值殘余振動(dòng)抑制到0.5%以內(nèi).對比圖8(b)與圖8(d)可見，第4次迭代學(xué)習(xí)后，柔性板的大幅值快速衰減效果比第2次迭代快2.5s，小幅值殘余振動(dòng)抑制效果比第2次快8 s左右，說明不論是大幅值的快速衰減還是小幅值的振動(dòng)抑制都得到較大提升，這一點(diǎn)從控制量曲線上也可以看出.

到了第5次迭代，經(jīng)驗(yàn)算第5次迭代后柔性板會(huì)在14 s左右衰減到2%的小幅值范圍，而后在20 s左右將小幅值殘余振動(dòng)抑制到0.5%以內(nèi).對比圖8(d)與圖8(e)，柔性板的大幅值快速衰減效果比第4次迭代只快0.5 s，耗時(shí)相近；與此同時(shí)小幅值的殘余振動(dòng)抑制效果比第4次迭代也只快0.5 s，耗時(shí)相近，說明不論是大幅值的快速衰減還是小幅值的殘余振動(dòng)，迭代學(xué)習(xí)控制的改善效果已放緩，這一點(diǎn)從各自的控制量曲線也可以看出.

到了第7次迭代，經(jīng)驗(yàn)算第7次迭代后柔性板會(huì)在14 s左右衰減到2%的小幅值范圍，而后在20 s左右將小幅值殘余振動(dòng)抑制到0.5%以內(nèi).對比圖8(e)與圖8(g)，這一次柔性板的大幅值快速衰減效果和第5次迭代的效果相同，均為14 s左右；與此同時(shí)小幅值的殘余振動(dòng)抑制效果也與第5次迭代的效果相同，均約20 s，說明這一次迭代后控制的改善效果很小.

圖8 迭代學(xué)習(xí)振動(dòng)控制曲線Fig.8 Vibration curve under iterative learning control

如圖9所示，為迭代學(xué)習(xí)控制效果(柔性板振幅衰減到2%用時(shí))隨迭代次數(shù)的變化關(guān)系.從圖上可見從第1次迭代到第5次迭代這一過程中，柔性板大幅值快速衰減的耗時(shí)從21 s逐步減少到了14 s，說明隨著迭代次數(shù)的增加，柔性板的大幅值快速衰減效果在逐步提升，但改善效果在逐步放緩.到了第6次、第7次迭代時(shí)，柔性板大幅值衰減的耗時(shí)均約14 s，與第5次迭代的效果相同，說明當(dāng)前條件下迭代學(xué)習(xí)控制表現(xiàn)出了收斂的特性.在此選用第5次迭代作為本實(shí)驗(yàn)最終的學(xué)習(xí)控制效果.

圖9 迭代學(xué)習(xí)控制效果隨迭代次數(shù)的變化關(guān)系Fig. 9 Relationship between the effect of iterative learning control and the times of iteration

將圖8(e)的學(xué)習(xí)控制效果和圖6(a)的PD控制效果作對比發(fā)現(xiàn)，柔性板的初始振幅都在10±0.2 mm附近，PD控制在21 s左右進(jìn)入小幅值振動(dòng)范圍，在30 s左右才基本抑制到0.5%以內(nèi)；第5次迭代學(xué)習(xí)控制在14 s左右即進(jìn)入小幅值振動(dòng)范圍，在20 s左右將小幅值殘余振動(dòng)抑制到0.5%以內(nèi)，對比PD控制，迭代學(xué)習(xí)整體的抑振效果提高了近33%，可見5次迭代后的控制效果明顯優(yōu)于PD控制.

5 結(jié) 論

本文研究了柔性鉸接板的彎曲振動(dòng)特性，使用了壓電陶瓷傳感器檢測柔性板的振動(dòng)信息，以此振動(dòng)信息為反饋輸入，設(shè)計(jì)了變遺忘因子的迭代學(xué)習(xí)控制器對柔性鉸接板的振動(dòng)進(jìn)行主動(dòng)控制，同時(shí)以PD控制器的振動(dòng)控制效果作對比.實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，在此選用第5次迭代作為本實(shí)驗(yàn)最終的學(xué)習(xí)控制效果，對比PD控制，迭代學(xué)習(xí)整體的抑振效果提高了近33%，可見迭代學(xué)習(xí)控制效果明顯優(yōu)于PD控制.