一類含時滯和非線性擾動項的不確定隨機微分大系統(tǒng)的穩(wěn)定性

易 玲， 李樹勇

（四川師范大學 數(shù)學科學學院，四川 成都610066）

含時滯的不確定隨機微分系統(tǒng)廣泛應(yīng)用于物理、化學、生物學、工程等領(lǐng)域，由于時滯和隨機因素的影響，導致系統(tǒng)不穩(wěn)定或震蕩，因而，含時滯的不確定隨機微分系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析受到學者們大量的關(guān)注，一系列的結(jié)果被建立［1-9］.通常，學者們用Lyapunov 泛 函 法［1-5］、Lyapunov - Razumikhin法［6］或線性矩陣不等式法（LMIs）［7-9］研究含時滯的隨機微分系統(tǒng)解的穩(wěn)定性，然而Lyapunov泛函或函數(shù)構(gòu)造較困難.因此，學者們致力于尋求其他的易于判別含時滯隨機微分系統(tǒng)穩(wěn)定性的技巧.最近，Wang 等［10］利用非負矩陣、隨機卷積和不等式技巧研究了一類具有時滯的非線性隨機偏微分方程的穩(wěn)定性，建立了這個系統(tǒng)解的吸引域和穩(wěn)定性的判別定理.受他們思想的啟發(fā)，本文通過建立常數(shù)變易公式，利用非負矩陣性質(zhì)和不等式技巧，研究一類含時滯和非線性擾動項的不確定隨機微分大系統(tǒng)的吸引性和穩(wěn)定性，得到判斷這個系統(tǒng)吸引性和穩(wěn)定性的充分條件，所得結(jié)果易于驗證且沒有要求非線性擾動項范數(shù)有界，擴大了穩(wěn)定性的判別范圍.

1 基本準備

本文中，Rn表示n維的歐式空間，R表示n維非負的歐式空間. ?a∈Rn，定義‖·‖=I表示n×n維的單位矩陣，（Ω，F(xiàn)，P）是給定的完備概率空間，｛Ft｝t≥t0是（Ω，F(xiàn)，P）上給定的σ-代數(shù)流，滿足通常條件.w（t）是定義在其上的一維實值布朗運動，E（·）表示期望.對τ ＞0和正整數(shù)m，Cm?C（［-τ，0］，Rm）表示從［-τ，0］到Rm的連續(xù)函數(shù)空間，其上定義范數(shù)為‖φ‖τ=其中φ=（φ1，…，φm）T∈Cm.對p≥2，定義表示滿足E‖ζ‖p＜∞的Rm值F 可測的隨機過程ζ 的集合，Cm）表示滿足的Cm值F可測的隨機過程 的集合.分別定義范數(shù)

本文考慮含有時滯和非線性擾動項的不確定隨機微分大系統(tǒng)Σ，它由如下子系統(tǒng)Σi（i=1，2，…，N）組成：

定義1.3假設(shè)齊次泛函微分方程

其中，x∈Rm，L（t，xt）=A（t）x（t）+B（t）x（t-τ），A（t）和B（t）是m×m的連續(xù)矩陣函數(shù).則稱矩陣Φ（t-s）是齊次方程（5）的基本解矩陣是指Φ（t-s）滿足

由文獻［11］的定理3. 1，方程（5）的基本解矩陣存在.

引理1.1［12］對于如下隨機微分系統(tǒng)

證明由（6）式，i=1，2，…，N，得

dΦi（t）=［Ai（t）Φi（t）+ Bi（t）Φi（t -τ）］dt.令ηi（t）=Φi（t）yi（t）（i=1，2，…，N），其中yi（t）滿足

與系統(tǒng)Σ對比，只需要證明

事實上，由（6）式有

Φi（t -τ- s）=0，s∈［t -τ，t］，所以

同理

因此

從而（12）式成立，即η（t）是系統(tǒng)Σ 的具有初始函數(shù)ξ的解.另一方面，由于系統(tǒng)Σ 的解唯一存在，所以x（t）=η（t），即（9）式成立.

2 主要結(jié)果

定理2.1對于系統(tǒng)Σ，假設(shè)：

（H1）存在向量函數(shù)H（φ）=（h1（φ），…，hN（φ））T和K（φ）=（k1（φ），…，kN（φ））T，且hi（φ），ki（φ）：RN+→R+是連續(xù)單調(diào)不減的凹函數(shù)，使得

（H2）設(shè)Φi（t）（i=1，2，…，N）是齊次方程（8）的基本解矩陣，滿足

并存在常數(shù)Mi≥1 和μi＞0 使得

（H3）存在一個常向量z=（z1，…，zN）T≥0使得

現(xiàn)在，對（19）式右邊分別進行估計.首先，由條件（H2）有

再次，由條件（H1）和（H2）、BDG不等式［12］和H?lder不等式有

與（28）式矛盾.因此，（27）式成立.令?→0，則（26）式成立.

定理2.2假設(shè)定理2.1 中所有條件成立.令向量函數(shù)

根據(jù)上極限的定義和（32）式，?? ＞0，?T1＞t0使得對任意的t≥T1，有

另一方面，由廣義積分性質(zhì)的定義，?T2＞t0使得

（35）式兩邊求上極限得

令?→0+，則

所以Ξ（σ）≥0，σ∈Ω0，即S是系統(tǒng)Σ 的p-階矩吸引集.

由函數(shù)Ξ（y）的定義，易知集合

3 例子

例3.1考慮如下的一維時滯的隨機不確定微分方程

其中，xt（θ）=x（t+θ），-1≤θ≤0.

假設(shè)F和G滿足

因為齊次確定方程

所以有Ξ（y）=（Ξ1（y），Ξ2（y））T，其中