相干聲線跟蹤理論中的周期界面迭代散射仿真方法?

楊 勃 徐祿文 王海濤 陳建明 徐大然

(1國(guó)網(wǎng)重慶市電力公司電力科學(xué)研究院 重慶 401123)

(2西北工業(yè)大學(xué)航海學(xué)院 西安 710072)

(3國(guó)網(wǎng)重慶市電力公司信息通信分公司 重慶 401121)

(4重慶市送變電工程有限公司 重慶 400039)

0 引言

聲場(chǎng)仿真預(yù)測(cè)是聲學(xué)領(lǐng)域中的一項(xiàng)重要研究?jī)?nèi)容，在噪聲控制、聲品質(zhì)設(shè)計(jì)以及聲環(huán)境監(jiān)測(cè)等應(yīng)用中均可發(fā)揮重要的作用。室內(nèi)環(huán)境中的聲場(chǎng)仿真受聲波反射因素的影響，相較于自由場(chǎng)環(huán)境下的仿真具有更高的復(fù)雜度，特別是對(duì)于戶內(nèi)變電站主變室等低頻噪聲突出且噪聲分布頻段較寬的室內(nèi)環(huán)境，其仿真還需要對(duì)干涉、衍射等波動(dòng)現(xiàn)象進(jìn)行模擬，對(duì)仿真方法提出了更高的要求；另外，在戶內(nèi)變電站主變室、大型廳堂等場(chǎng)所中，常存在著較大范圍的周期排列結(jié)構(gòu)，例如設(shè)備散熱器、通風(fēng)百葉窗、聲學(xué)擴(kuò)散體等，這些界面上的聲散射具有較強(qiáng)的規(guī)律性[1?2]，其模擬準(zhǔn)確性對(duì)于最終的聲場(chǎng)仿真精度也起到重要的限制作用。因此，發(fā)展一種能夠?qū)χ芷诮缑媛暽⑸溥M(jìn)行準(zhǔn)確模擬，且具有寬頻高精度的聲學(xué)仿真方法，對(duì)于室內(nèi)聲學(xué)設(shè)計(jì)、噪聲控制、聲學(xué)監(jiān)測(cè)等應(yīng)用的支撐具有重要的意義。

經(jīng)典的聲場(chǎng)仿真預(yù)測(cè)方法主要可以分為波動(dòng)聲學(xué)方法、統(tǒng)計(jì)聲學(xué)方法以及幾何聲學(xué)方法3類。3類方法目前都有較為成熟的研究，但都存在一定的應(yīng)用限制。其中波動(dòng)聲學(xué)方法主要適用于低頻段聲場(chǎng)仿真，常見方法包括有限元法(Finite element method,FEM)、邊界元法(Boundary element method,BEM)等。波動(dòng)聲學(xué)方法通過求解波動(dòng)方程而獲得聲場(chǎng)分布結(jié)果，是一種具有嚴(yán)格數(shù)學(xué)理論支撐的仿真方法，可以獲得聲場(chǎng)分布的精確解。但是，由于波動(dòng)聲學(xué)方法需要對(duì)空間進(jìn)行網(wǎng)格離散化處理，受網(wǎng)格尺寸與波長(zhǎng)關(guān)系影響，當(dāng)處理較高頻段的聲場(chǎng)仿真問題時(shí)，會(huì)造成計(jì)算規(guī)模的急劇上升，特別是當(dāng)空間中包含周期界面時(shí)，需對(duì)所有周期子結(jié)構(gòu)進(jìn)行非常細(xì)化的空間離散處理，會(huì)進(jìn)一步影響計(jì)算精度并嚴(yán)重降低計(jì)算效率[3]。統(tǒng)計(jì)聲學(xué)方法通常特指統(tǒng)計(jì)能量分析法(Statistic energy analysis,SEA)，此方法在高聲模態(tài)密度條件下分析功率流實(shí)現(xiàn)對(duì)聲場(chǎng)的預(yù)測(cè)，僅適用于高頻仿真問題，而在低頻段無法適用，而且在實(shí)際應(yīng)用中，統(tǒng)計(jì)能量分析法所需參數(shù)較為復(fù)雜且不容易獲取，例如各類耦合因子等，因此應(yīng)用受限較多[4]。幾何聲學(xué)方法是另一類重要的聲學(xué)仿真方法，是指通過模擬聲波物理傳播過程或物理規(guī)律而實(shí)現(xiàn)對(duì)聲場(chǎng)仿真的方法，主要包含聲線跟蹤法(Ray tracing method,RT)、虛聲源法(Image source method,ISM)等。其中聲線跟蹤法由于具有物理描述直觀、建模簡(jiǎn)易等特點(diǎn)，自其在20世紀(jì)60年代被提出后就獲得廣泛關(guān)注[5]。

早期的聲線跟蹤法中，由于聲線無法模擬聲波的衍射、干涉等波動(dòng)現(xiàn)象，導(dǎo)致其只能適用于高頻聲場(chǎng)仿真。為了在簡(jiǎn)便的幾何聲學(xué)框架下提高對(duì)低頻段聲場(chǎng)的模擬精度，Gensane等[6]提出了一種能考慮不同反射波之間聲壓干涉疊加的干涉模型，并將其應(yīng)用于幾何聲學(xué)方法之中，以提高低頻仿真精度；之后，Lemire等[7]在對(duì)點(diǎn)聲源于封閉空間內(nèi)的聲傳播研究的基礎(chǔ)上，提出了相干幾何法，大大提高了幾何聲學(xué)方法在低頻段的仿真精度。而且，由于無需對(duì)空間幾何模型進(jìn)行頻率相關(guān)的模型細(xì)化，在計(jì)算效率方面相較于波動(dòng)聲學(xué)方法具有更加明顯的優(yōu)勢(shì)，因此，相干幾何法已成為涵蓋低頻仿真精度要求的全頻段聲學(xué)仿真常用方法。

雖然相干幾何法目前已成為寬頻段聲學(xué)仿真的一種常用方法，但是在復(fù)雜聲散射存在的情況下，例如周期散射界面存在時(shí)仿真精度仍有不足，主要體現(xiàn)在低頻段精度差，其原因是：在低頻段，聲波在周期結(jié)構(gòu)表面實(shí)際并不會(huì)發(fā)生明顯散射，但是傳統(tǒng)相干幾何法中的聲線會(huì)受周期結(jié)構(gòu)幾何形狀影響而向無規(guī)方向反射，導(dǎo)致聲場(chǎng)趨向于擴(kuò)散場(chǎng)，與實(shí)際情況產(chǎn)生偏差。

針對(duì)周期散射界面存在條件下的寬頻空間聲場(chǎng)仿真問題，本文發(fā)展了一種基于聲線迭代散射模型的相干聲線跟蹤法。此方法以經(jīng)典的相干聲線跟蹤法為基礎(chǔ)，在周期散射結(jié)構(gòu)界面反射過程中，聲線將會(huì)在散射作用下發(fā)生迭代分裂，通過格柵方程預(yù)判結(jié)構(gòu)尺寸與波長(zhǎng)的關(guān)系，給出子聲線的反射方向，并通過散射系數(shù)估計(jì)不同子聲線反射后的能量；同時(shí)，借助于散射模型的引入，可將復(fù)雜的周期結(jié)構(gòu)等效為更為簡(jiǎn)便的模型，從而降低了幾何建模難度及運(yùn)算時(shí)間。與邊界元法及傳統(tǒng)相干幾何法的比較驗(yàn)證了此模型在寬頻段，特別是在傳統(tǒng)幾何法精度較差的低頻段，具有較高的仿真精度。

1 基于聲線迭代散射模型的相干聲線跟蹤法

1.1 聲線迭代散射模型

在實(shí)際空間環(huán)境中，常存在各類周期結(jié)構(gòu)，例如戶內(nèi)變電站主變室中的散射設(shè)備、大型音樂廳中的周期擴(kuò)散體、各類廠房空間中的通風(fēng)百葉窗等，均可視為周期結(jié)構(gòu)。假設(shè)一包含周期結(jié)構(gòu)的室內(nèi)環(huán)境如圖1所示，其中S為聲源，R為接收區(qū)域，Γ為包含周期結(jié)構(gòu)的壁面。

圖1 包含周期散射界面室內(nèi)環(huán)境示意圖Fig.1 The schematic of room environment containing the periodic scattering surface

在聲線跟蹤法中，所有頻段的聲波均采用聲線的形式模擬。對(duì)于傳統(tǒng)的相干幾何法，當(dāng)空間中存在周期結(jié)構(gòu)時(shí)，低頻聲線可能會(huì)受周期結(jié)構(gòu)的輪廓影響而發(fā)生如圖1所示的S′1方向的反射。但實(shí)際上，當(dāng)?shù)皖l聲波波長(zhǎng)較大時(shí)，周期結(jié)構(gòu)不會(huì)對(duì)低頻聲波產(chǎn)生散射，即低頻聲波將以鏡面反射的方式與界面發(fā)生作用，如圖1所示的S1反射，此時(shí)傳統(tǒng)的相干幾何法由于對(duì)聲線方向模擬不準(zhǔn)確，導(dǎo)致提高了聲場(chǎng)的擴(kuò)散性，造成精度下降。針對(duì)此問題，本文發(fā)展了一種聲線迭代模型，此模型中，將周期結(jié)構(gòu)在幾何上進(jìn)行簡(jiǎn)化，同時(shí)當(dāng)聲線在周期結(jié)構(gòu)散射界面上發(fā)生散射時(shí)，將依據(jù)周期散射定理發(fā)生分裂，分裂的形式與頻率、周期結(jié)構(gòu)尺寸等因素密切相關(guān)，以下為模型的具體推導(dǎo)。

假設(shè)一根聲線入射到具有周期輪廓的散射體上，首先僅考慮聲線在周期結(jié)構(gòu)垂直切面xOy內(nèi)的情況，如圖2所示。散射體的單元周期長(zhǎng)度為L(zhǎng)，凹槽長(zhǎng)度為l，高度為H，入射波的聲壓可表示為

式(1)中，θi為入射角，k=2π/λ為波數(shù)，λ為波長(zhǎng)。與光柵類似，周期型的聲學(xué)散射體同樣具有可用光柵方程所表示的周期散射效應(yīng)，在xOy平面內(nèi)，散射波的階次及方向可根據(jù)周期散射定理求得[8?9]：

式(2)中，θs為散射角，λ為入射波的波長(zhǎng)，n為散射波的階次，n=0即代表鏡面反射波。

式(2)表明，當(dāng)一束聲波入射到周期散射界面上時(shí)，會(huì)被界面散射為多束反射波。由于需要滿足?1≤sinθs≤1的條件，因此散射波階次n的取值會(huì)受聲波頻率、周期結(jié)構(gòu)尺寸以及入射角度多重因素影響。當(dāng)聲波頻率較低時(shí)，波長(zhǎng)較大，散射波階次較低，從而反射波的數(shù)量較少，但至少會(huì)有一束鏡面反射波；而當(dāng)頻率較高時(shí)，散射波階次會(huì)較高，反射波的數(shù)量也會(huì)相應(yīng)較多。依據(jù)此理論，本文提出了聲線迭代來模擬聲波在周期結(jié)構(gòu)表面上的散射作用。此算法的核心思想是將圖2中邊界處的周期結(jié)構(gòu)視為平面結(jié)構(gòu)，這樣可以降低建模的難度，也降低跟蹤過程中的界面處理復(fù)雜度，當(dāng)聲線入射到周期結(jié)構(gòu)上時(shí)，聲線會(huì)依據(jù)式(2)迭代分裂為多根子聲線，此后仍按照經(jīng)典方法對(duì)各個(gè)聲線繼續(xù)跟蹤。

圖2 入射聲波在周期散射界面散射示意圖Fig.2 Scattering of sound waves incident on the periodic surface

聲線經(jīng)過周期結(jié)構(gòu)界面散射后，子聲線的數(shù)量與n的取值相關(guān)，其中第n階子聲線的散射方向?yàn)?/p>

根據(jù)此散射方向即可得到此子聲線跟蹤方向的方向向量。

然后，將上述xOy平面內(nèi)的入射情況拓展到三維情況，如圖3所示，當(dāng)聲線在xOy平面以外入射到周期結(jié)構(gòu)上時(shí)，將其首先投影在xOy平面以內(nèi)，如圖3中紅色虛線所示，求解入射聲線與其投影夾角γ；然后，按式(3)確定散射子聲線在xOy平面內(nèi)的反射角θs；以此為基礎(chǔ)，確定xOy平面以外的實(shí)際散射子聲線，其自然坐標(biāo)系下的反射角度通過(θs,r)求得，γ為反射子聲線與其在xOy平面投影的夾角，等于入射聲線與其在xOy平面投影的夾角γ。

圖3 三維空間內(nèi)的入射聲波在周期界面散射示意圖Fig.3 Scattering of sound waves incident on the periodic surface in three dimension space

1.2 相干聲線跟蹤

通過上述方式確定散射子聲線的反射角度后，即確立了周期結(jié)構(gòu)的聲線散射模型，此后可采用經(jīng)典的相干聲線跟蹤法完成所有聲線的跟蹤以及統(tǒng)計(jì)。對(duì)于每一根聲線及其子聲線，跟蹤其傳播路徑，當(dāng)其達(dá)到所設(shè)置的測(cè)點(diǎn)時(shí)，即將其記錄，若一直未到達(dá)測(cè)點(diǎn)，則在能量低于某一閾值后對(duì)其停止跟蹤。最終，在測(cè)點(diǎn)處所形成的聲場(chǎng)可表示為

式(4)中，等式右側(cè)第一項(xiàng)表示直達(dá)聲的貢獻(xiàn)，第二項(xiàng)表示混響聲的貢獻(xiàn)，其中E0表示聲源的源強(qiáng)，ddir表示聲源到測(cè)點(diǎn)的直達(dá)距離，di表示到達(dá)測(cè)點(diǎn)的第i根聲線所經(jīng)過的距離，j為虛數(shù)單位，N表示所有到達(dá)測(cè)點(diǎn)處聲線或子聲線的數(shù)量，Qi為聲線從聲源到達(dá)測(cè)點(diǎn)之間經(jīng)過的所有界面的聲反射系數(shù)，可以由聲線傳輸路徑中每次聲反射對(duì)應(yīng)的單次反射系數(shù)依次相乘得到：

式(5)中，M為聲線由聲源到測(cè)點(diǎn)之間所經(jīng)過的反射次數(shù)，Qm為每次反射的反射系數(shù)，在Lemire相干模型中，利用無限大界面上球面波反射場(chǎng)的近似解來表示，由于聲線在周期結(jié)構(gòu)界面上有可能會(huì)發(fā)生散射，因此此處將其定義為傳統(tǒng)反射系數(shù)與某階散射系數(shù)的乘積：

式(6)中，smn為聲線發(fā)生第m次反射時(shí)第n階散射波的散射系數(shù)，即可確定每一個(gè)子聲線在新的傳播路徑中所攜帶的初始能量。散射系數(shù)的計(jì)算值可根據(jù)周期結(jié)構(gòu)中一個(gè)子單元凹槽的性質(zhì)，通過有限元方法求解[10?11]，當(dāng)周期結(jié)構(gòu)的輪廓為矩形結(jié)構(gòu)時(shí)，可采用更為簡(jiǎn)便的直接估算方法[12]得到其散射系數(shù)，此處散射系數(shù)的計(jì)算也表明，本文所推導(dǎo)的迭代散射模型實(shí)際上可適用于具有任意輪廓的周期結(jié)構(gòu)的情況；Rm為第m個(gè)反射面上的平面波反射系數(shù)，表達(dá)式為

式(7)中，θm表示聲線入射到第m個(gè)反射面上時(shí)與其法線的夾角，βm表示第m個(gè)反射面的法向比聲導(dǎo)納。式(6)中，F(xiàn)(w)為界面損失因子，其表達(dá)式為

式(8)中，erfc(·)為比例輔助誤差函數(shù)，而w為數(shù)值距離參數(shù)，與聲線所經(jīng)過的距離、入射角以及相應(yīng)的邊界有關(guān)：

通過上述過程，即可實(shí)現(xiàn)對(duì)空間內(nèi)的相干聲線跟蹤。

1.3 適用頻段設(shè)定

本文所發(fā)展的散射模型一個(gè)關(guān)鍵處理是在界面上按照散射性質(zhì)將原始聲線進(jìn)行迭代處理，在此過程中，原始聲線有可能經(jīng)過反射后會(huì)迭代為多根子聲線，此處分析了聲線數(shù)量增長(zhǎng)對(duì)計(jì)算效率的影響。

在傳統(tǒng)的相干幾何法中，選定一根聲線，假設(shè)此聲線不被吸收，當(dāng)經(jīng)過m次反射后，其能量衰減到限定能量值以下時(shí)，即停止對(duì)這根聲線的跟蹤。此過程可以表示為

式(10)中，E0為聲線初始攜帶能量，ET為跟蹤過程中的限定能量值，α為壁面的吸聲系數(shù)，m為反射次數(shù)。對(duì)于這根聲線，從其發(fā)出到能量過小截止跟蹤后，其跟蹤總次數(shù)為

式(11)中，?{·}表示取大于內(nèi)部函數(shù)值的最大正整數(shù)。

對(duì)于本文方法，假設(shè)一個(gè)選定聲線每次反射都會(huì)發(fā)生迭代，迭代后的數(shù)量假設(shè)為固定值β，即一個(gè)聲線會(huì)分裂為β根子聲線；且每根子聲線所攜帶的能量相同，即聲線反射后的能量可以平均分配在每根子聲線上。此時(shí)對(duì)于最終的一個(gè)子聲線，其停止跟蹤的過程可以表示為

式(12)中，各符號(hào)意義與式相同。根據(jù)此式，m值可表示為

對(duì)于選定初始聲線，由于每次反射后均會(huì)變?yōu)楦嗟淖勇暰€，是一個(gè)等比增長(zhǎng)的過程，因此，其跟蹤總次數(shù)為

通過一特例對(duì)跟蹤次數(shù)進(jìn)行對(duì)比。假設(shè)限定能量值與初始能量值之比為0.2，那么在吸聲系數(shù)從0.1～0.5變化條件下的跟蹤次數(shù)如圖4所示，其中本文方法每次反射后的迭代子聲線數(shù)量β分別為2、3。

圖4 不同方法的聲線跟蹤次數(shù)統(tǒng)計(jì)Fig.4 Statistics of ray tracing times in different methods

從圖4所示跟蹤次數(shù)來看，本文方法總體上相較于傳統(tǒng)相干幾何法會(huì)產(chǎn)生較多的跟蹤次數(shù)，特別是當(dāng)較大且吸聲系數(shù)較小時(shí)，跟蹤次數(shù)會(huì)嚴(yán)重影響計(jì)算效率。

為了能夠兼顧計(jì)算精度與計(jì)算效率，依據(jù)室內(nèi)聲學(xué)理論[13]，本文對(duì)散射模型的使用頻段進(jìn)行了限定，適用于迭代模型的頻段為

式(15)中，T為空間的混響時(shí)間，V為空間體積。根據(jù)室內(nèi)聲學(xué)理論，當(dāng)頻率高于此頻率時(shí)，聲場(chǎng)將以擴(kuò)散性質(zhì)為主，此時(shí)，傳統(tǒng)的相干幾何法也可以得到較為準(zhǔn)確的結(jié)果。

2 數(shù)值驗(yàn)證

為了驗(yàn)證本文所發(fā)展模型的正確性，在一個(gè)空間中進(jìn)行了仿真驗(yàn)證試驗(yàn)。此空間的尺寸為2.6 m×2.2 m×2.0 m，由于尺寸較小，會(huì)發(fā)生明顯的波動(dòng)效應(yīng)，以此來驗(yàn)證本文方法對(duì)于低頻波動(dòng)效應(yīng)模擬的正確性。在其一個(gè)壁面上布置有矩形輪廓周期結(jié)構(gòu)，周期結(jié)構(gòu)輪廓的周期長(zhǎng)度L為0.2 m，高度H為0.2 m。本算例中，所有界面的聲阻抗設(shè)置為80ρ0c0，即法向比聲阻抗為80。算例中設(shè)置了一個(gè)點(diǎn)聲源，其位置為圖5(a)中橘色圓點(diǎn)所示的(2.4,0.2,0.2)m處，另外設(shè)置了9個(gè)測(cè)點(diǎn)，坐標(biāo)分別為(0.6,1.8,0.3)m、(0.6,1.6,0.3)m、(0.6,1.4,0.3)m、(0.6,1.8,0.7)m、(0.6,1.6,0.7)m、(0.6,1.4,0.7)m、(0.6,1.8,1.1)m、(0.6,1.6,1.1)m、(0.6,1.4,1.1)m。

圖5 算例1封閉空間及其網(wǎng)格劃分示意圖Fig.5 The schematic of room environment 1 and its mesh for FEM

此算例首先運(yùn)用Virtual.Lab軟件的有限元法完成了計(jì)算，網(wǎng)格尺寸為40 mm，如圖5(b)所示。根據(jù)有限元法網(wǎng)格應(yīng)滿足上限計(jì)算頻率對(duì)應(yīng)波長(zhǎng)1/6的經(jīng)驗(yàn)定理，此網(wǎng)格條件下，有限元法可達(dá)到的上限計(jì)算頻率為1416 Hz。為了保證參考方法的準(zhǔn)確性，本文選擇1000 Hz作為上限對(duì)比頻率。此外，還利用傳統(tǒng)的相干聲線法計(jì)算了聲源到所有測(cè)點(diǎn)的頻率響應(yīng)。經(jīng)過計(jì)算，有限元法、本文方法以及傳統(tǒng)相干幾何法在30～1000 Hz所得到的頻率響應(yīng)如圖6所示，此處給出了測(cè)點(diǎn)1處的對(duì)比結(jié)果。

圖6所示的頻響曲線對(duì)比表明，相較于有限元法，傳統(tǒng)相干幾何法在低頻段存在較為明顯的誤差，而本文方法則具有更高的精度。其中，在400 Hz以內(nèi)的頻段，本文方法所得到的結(jié)果與有限元法的結(jié)果存在細(xì)微的頻率偏移，即所得模態(tài)頻率與準(zhǔn)確的模態(tài)頻率存在一定的誤差，但是在頻率曲線的結(jié)構(gòu)方面吻合度較高，而傳統(tǒng)相干幾何法則除了較為明顯的頻率偏移外，曲線的幅值與有限元法結(jié)果也存在一定誤差，這說明在周期結(jié)構(gòu)存在的空間內(nèi)，本文方法相較于傳統(tǒng)的相干幾何法在低頻段的精度上有較大的提高。在400 Hz以上的頻段，本文方法以及傳統(tǒng)相干幾何趨向于與有限元法結(jié)果一致，誤差均較低。此對(duì)比說明當(dāng)空間內(nèi)存在周期類型結(jié)構(gòu)時(shí)，傳統(tǒng)相干幾何方法由于未能準(zhǔn)確地模擬周期結(jié)構(gòu)的散射特性，導(dǎo)致其誤差較高，而本文方法對(duì)于散射的處理則更符合實(shí)際情況，具有較高的精度。

圖6 測(cè)點(diǎn)1處不同方法的頻率響應(yīng)對(duì)比Fig.6 Comparison of frequency responses of different methods at measuring point 1

為了分析所有測(cè)點(diǎn)處的誤差，統(tǒng)計(jì)了9個(gè)測(cè)點(diǎn)處的模態(tài)頻率偏移平均誤差。需要說明的是，此處之所以主要對(duì)比模態(tài)頻率的誤差，是因?yàn)樵诘皖l段模態(tài)頻率的位置是一項(xiàng)基礎(chǔ)評(píng)價(jià)指標(biāo)，只有當(dāng)模態(tài)頻率處于同一位置時(shí)，不同方法才可以比較幅值的關(guān)系，否則會(huì)因?yàn)轭l響曲線在頻率軸上的偏移造成幅值無法比較。本文使用式(16)方法統(tǒng)計(jì)了本文方法以及傳統(tǒng)方法相對(duì)于有限元法的模態(tài)頻率平均誤差，結(jié)果如圖7所示。

圖7 本文方法與傳統(tǒng)相干幾何法的平均誤差對(duì)比Fig.7 Comparison of average errors of the proposed method and the traditional coherent method

從圖7所示的結(jié)果來看，在各個(gè)測(cè)點(diǎn)處，本文方法相較于傳統(tǒng)相干幾何法均體現(xiàn)出了更高的精度，在30～1000 Hz范圍內(nèi)，本文方法在所有測(cè)點(diǎn)處的平均誤差均小于2 Hz，而傳統(tǒng)相干幾何法則比本文方法平均誤差要高，進(jìn)一步證明了本文方法的正確性。

為了進(jìn)一步分析本文方法對(duì)空間聲場(chǎng)幅值分布預(yù)測(cè)的正確性，統(tǒng)計(jì)了不同方法在各個(gè)測(cè)點(diǎn)上的聲壓級(jí)分布對(duì)比，限于篇幅，此處給出了100 Hz、300 Hz、500 Hz、700 Hz等4個(gè)示例性頻率的對(duì)比圖，如圖8所示；另外以有限元法為標(biāo)準(zhǔn)參考方法，統(tǒng)計(jì)了本文方法以及傳統(tǒng)相干幾何法在各個(gè)測(cè)點(diǎn)上的聲壓級(jí)分布對(duì)比誤差，如圖9所示。

從圖8所示的測(cè)點(diǎn)聲壓級(jí)對(duì)比以及圖9所示的誤差對(duì)比來看，在100 Hz時(shí)，本文方法所得結(jié)果與有限元法比較接近，一方面是在各個(gè)測(cè)點(diǎn)的變化趨勢(shì)上具有良好的一致性，另一方面是在幅值上具有良好的一致性，而傳統(tǒng)幾何方法雖然在變化趨勢(shì)上較為接近，但是在幅值方面具有明顯的誤差，主要表現(xiàn)為在各個(gè)測(cè)點(diǎn)上的起伏性較低。這說明，在低頻處，真實(shí)聲場(chǎng)分布并不是均勻的，即擴(kuò)散性較低。傳統(tǒng)的相干幾何法在模擬聲線跟蹤的過程中，受周期結(jié)構(gòu)影響，在原本不會(huì)發(fā)生散射的位置模擬發(fā)生了聲線的散射，在一定程度上增加了聲場(chǎng)的擴(kuò)散性，從而導(dǎo)致其精度較低，而本文方法則能夠準(zhǔn)確模擬出散射的情況，從而具有較高的精度。當(dāng)頻率升高時(shí)，聲場(chǎng)擴(kuò)散性隨之升高，例如圖8(b)、圖8(c)、圖8(d)所示的300 Hz、500 Hz、700 Hz的情況，聲壓級(jí)的變化范圍趨向于減小，本文方法均達(dá)到了良好的仿真效果。當(dāng)頻率較高時(shí)，傳統(tǒng)方法因?yàn)榭梢阅M聲場(chǎng)的這種擴(kuò)散性，從而具有良好的模擬精度。除上述4個(gè)示例性頻率之外，從整個(gè)頻段的各個(gè)測(cè)點(diǎn)聲壓級(jí)分布來看，本文方法由于在低頻段能夠更加準(zhǔn)確地模擬周期結(jié)構(gòu)的散射規(guī)律，因此相較于傳統(tǒng)相干幾何法具有更高的精度，隨著頻率的升高，傳統(tǒng)方法對(duì)于周期結(jié)構(gòu)散射現(xiàn)象的模擬逐漸適用，精度提高，同時(shí)本文方法仍具有較好的精度。

圖9 100 Hz、300 Hz、500 Hz、700 Hz時(shí)處各測(cè)點(diǎn)聲壓級(jí)分布誤差Fig.9 Errors of sound field distributions of the different methods at 100 Hz,300 Hz,500 Hz and 700 Hz

為了驗(yàn)證本文方法在更加復(fù)雜的周期結(jié)構(gòu)場(chǎng)景中的仿真精度，本文在上一個(gè)算例模型基礎(chǔ)上，在模型空間內(nèi)部增加周期結(jié)構(gòu)，如圖10所示。增加的周期結(jié)構(gòu)處于與原周期結(jié)構(gòu)相對(duì)的壁面上，新的周期結(jié)構(gòu)L為0.1 m，高度H為0.1 m。本算例中，所有界面的聲阻抗仍設(shè)置為80ρ0c0。此算例中設(shè)置了一個(gè)點(diǎn)聲源，其位置為圖5(a)中橘色圓點(diǎn)所示的(2.4,0.2,0.2)m處，另外設(shè)置了1個(gè)測(cè)點(diǎn)，坐標(biāo)為(0.6,1.8,0.3)m。經(jīng)計(jì)算，有限元法、本文方法以及傳統(tǒng)相干幾何法在30～1000 Hz所得到的頻率響應(yīng)如圖11所示。

圖10 算例2封閉空間及其網(wǎng)格劃分示意圖Fig.10 The schematic of room environment 2 and its mesh for FEM

圖11 測(cè)點(diǎn)處不同方法的頻率響應(yīng)對(duì)比Fig.11 Comparison of frequency responses of different methods at the measuring point

圖11所示的頻響曲線對(duì)比表明，與算例1類似，本文方法在低頻段相較于傳統(tǒng)相干幾何法具有更高的精度，雖然本文方法與有限元法對(duì)比存在細(xì)微的頻率偏移，但是在頻率曲線的結(jié)構(gòu)方面吻合度較高。在較高頻段，本文方法以及傳統(tǒng)相干幾何趨向于與有限元法結(jié)果一致，誤差均較低。此對(duì)比說明當(dāng)空間內(nèi)存在較為復(fù)雜的周期類型結(jié)構(gòu)時(shí)，本文方法依然能夠給出良好的仿真結(jié)果。

3 結(jié)論

針對(duì)周期結(jié)構(gòu)存在條件下的室內(nèi)寬頻聲場(chǎng)仿真問題，本文發(fā)展了一種基于迭代散射模型的相干聲線跟蹤法。此方法在一定頻段范圍內(nèi)將周期散射結(jié)構(gòu)視為平面，然后基于周期散射定理，依據(jù)周期結(jié)構(gòu)的輪廓尺寸以及聲波波長(zhǎng)、入射角條件確定不同的散射波，此時(shí)原始聲線將會(huì)根據(jù)散射波情況迭代分裂為多個(gè)子聲線，此后繼續(xù)按照經(jīng)典相干法對(duì)子聲線展開跟蹤，直到完成所有聲線的跟蹤。此迭代散射模型可準(zhǔn)確模擬聲波在周期結(jié)構(gòu)界面上的散射情況，相較于傳統(tǒng)的相干幾何法在低頻段有了較大的精度提高。此方法是對(duì)幾何聲學(xué)方法的有效補(bǔ)充，可為周期散射結(jié)構(gòu)存在條件下的室內(nèi)聲場(chǎng)仿真提供簡(jiǎn)便且準(zhǔn)確的新方法。