基于動態(tài)遺忘因子最小二乘與EKF的電池SOC估計

馬福榮,李演明,杜 浩,焦 振,邱彥章

(長安大學 電子與控制工程學院,西安 710064)

0 引言

隨著全球化石能源短缺的問題日益嚴峻，新能源技術(shù)迎來了前所未有之發(fā)展機遇，其中鋰離子電池扮演著越來越重要的角色，因此對鋰離子電池管理系統(tǒng)的研究逐漸成為熱點[1]。作為電池的關(guān)鍵性能參數(shù)之一，SOC(荷電狀態(tài))的準確估算成為一大重點，SOC主要用來表示電池電量的使用情況，準確的SOC估計可以為電池健康監(jiān)測、使用時長以及合理的能量分配提供重要的參考依據(jù)，對有效地使用能源具有重要的積極影響[2]。鋰離子電池的荷電狀態(tài)受諸多因素的影響，其中主要包括電壓、電流及溫度等，由于SOC與其相關(guān)影響因素主要呈非線性的關(guān)系，并且電池系統(tǒng)本身也是個典型的非線性系統(tǒng)，因此電池荷電狀態(tài)的研究是眾多學者研究的一大難點[3]。

對于電池SOC的主流研究方法主要是集中于能量守恒角度，即認為電池剩余電量是電池即時剩余容量與電池總?cè)萘康谋戎礫4]。目前國內(nèi)外對電池SOC的研究主要是通過兩大類角度來進行，一類是通過電池的電化學性質(zhì)，對電池的化學特性與能量關(guān)系來計算SOC從而避免建立復雜物理模型[5]；另一類是通過對電池建立合理的數(shù)學模型，根據(jù)電池外部物理量與數(shù)學原理來計算電池SOC[6]。國內(nèi)外對電池SOC的主要研究方式如圖1所示。

圖1 國內(nèi)外電池SOC主要研究方式

在前人研究的基礎(chǔ)上，對鋰離子電池進行等效模型建立，基于動態(tài)工況的需求，根據(jù)數(shù)學原理，引入在線參數(shù)辨識算法，對算法進行改進，然后再結(jié)合擴展卡爾曼濾波進行電池SOC的有效估計，并且對模型參數(shù)辨識算法進行改進，從而提高整個SOC估計系統(tǒng)的精度與穩(wěn)定性。

1 鋰離子電池等效電路

1.1 等效電路模型分析

相較于電池內(nèi)部復雜的化學反應，等效電路模型基于其簡潔的模型和簡單的數(shù)學表達式得到了鋰離子電池研究的廣泛應用[7]。等效電路模型主要用于表示電池內(nèi)部狀態(tài)與電池外部狀態(tài)之間的關(guān)聯(lián)性，使用物理原理及數(shù)學表達式來對電池的狀態(tài)進行綜合的數(shù)學表達。在電池研究中，常用的模型有Rint模型、Thevenin模型和PNGV模型，基于這些常見模型的框架之上，為了更好描述電池的復雜狀態(tài)，提出多級的RC電路模型，其主要結(jié)構(gòu)是在Rint電路上串聯(lián)多個RC電路[8]，如圖2所示。

圖2 多階RC電路模型

多階RC電路的動態(tài)方程為：

(1)

電路模型與式(1)中，UOC表示開路電壓，R0表示內(nèi)阻；I表示負載電流，規(guī)定圖1中的電流方向為正方向，Rpn表示極化電阻，Cpn表示極化電容；Upn表示RC回路兩端電壓。

多階RC具有多個極化電容和多個極化電阻，因此具有較高的精度，電路模型的階數(shù)與模型的精確度成正比關(guān)系。但模型階數(shù)的增加帶來的是復雜的計算過程以及龐大的計算量，對于電池的SOC估計，模型的精確度將提高SOC的估計準確度，但同時復雜的過程會導致SOC計算速度的降低，因此需要在精度和速度的綜合考慮下進行對模型階數(shù)的合理選擇[1]。

1.2 基于AIC準則的模型階數(shù)的確定

AIC(赤池信息準則)是一種統(tǒng)計學中常用的最優(yōu)模型選擇準則，該準則建立在熵的概念基礎(chǔ)之上，可以對模型的復雜度和模型擬合的優(yōu)良性之間進行合理的均衡，AIC準則的一般形式如式(2)所示：

(2)

式(2)中，T表示實驗數(shù)據(jù)量，m表示模型未知參數(shù)數(shù)量，(SSE，sum of squares for error)表示殘差平方和，SSE的表達式如公式(3)所示：

(3)

AIC準則力求在模型的復雜度和準確度之間達到平衡，對于鋰離子電池的等效電路模型而言，電路的最佳平衡電路模型對應的AIC值應為最小。為了控制模型的實用性隨著實驗數(shù)量T的增加而降低，同時保證電池等效電路模型的準確度，可將AIC準則一般形式優(yōu)化為:

(4)

其中:引入指數(shù)d，使得2m/T的階數(shù)提高，以此提高等效電路模型的過度擬合懲罰力度，達到提高電路模型實用性比重的目的，根據(jù)統(tǒng)計學理論，在此處d取值為4。在等效電路的RC回路中，電路模型的階數(shù)每增加一個，未知參數(shù)就會多增加兩個，因此模型階數(shù)n與電路未知參數(shù)m的關(guān)系為m=2n+1，由此可確定等效RC電路模型的AIC準則方程為：

(5)

根據(jù)圖3，在不同的SOC范圍內(nèi)，AIC值在不同階數(shù)條件表現(xiàn)出差異，基于AIC值最小準則，當SOC值在20%～80%范圍內(nèi)時，二階的AIC值表現(xiàn)為最小，并且此范圍涵蓋了SOC估計的主要階段，因此可以選定等效電路RC模型的階數(shù)為2。

圖3 不同階數(shù)充放電AIC值對比

2 二階RC等效電路參數(shù)辨識

二階RC等效電路模型如圖4所示。

圖4 二階RC等效電路模型

根據(jù)二階RC等效電路模型，可得電池端電壓的零狀態(tài)響應為：

UL=UOC-IR0-IRP1(1-e-t/RP1CP1)-

IRP2(1-e-t/RP2CP2)

(6)

在實際的電池應用環(huán)境中，對于電池二階RC等效模型而言，端電壓UL、電流I及溫度等數(shù)據(jù)是可以直接測量獲取的，而模型參數(shù)UOC、R0、RP和CP等參數(shù)需要對電路模型進行參數(shù)辨識才能獲取，進而利用辨識出來的參數(shù)進行電池SOC的準確估計。

2.1 二階RC電路模型的離線參數(shù)辨識

鋰電池等效電路的參數(shù)辨識主要有離線和在線兩種模式。等效電路參數(shù)的離線辨識可以通過OCV-SOC曲線擬合來實現(xiàn)，通過標準實驗獲取OCV和SOC的函數(shù)關(guān)系，然后通過混合動力脈沖能力特性(HPPC,Hybrid PulsePower Characteristic)實驗數(shù)據(jù)來辨識各項參數(shù)，最終辨識出來的各項參數(shù)實際上是關(guān)于SOC的函數(shù)[3]。

首先根據(jù)HPPC測試步驟對電池依次進行靜置、放電和充電等測試操作，對每一個SOC點進行一次HPPC循環(huán)測試，記錄下每一個SOC值所對應的開路電壓OCV值，根據(jù)記錄數(shù)據(jù)來進行OCV與SOC的函數(shù)擬合[6]。使用Matlab里的CruveFittingTool工具箱以及六階多項式RMSE方式擬合OCV與SOC的曲線關(guān)系，擬合結(jié)果如圖5所示。

圖5 OCV-SOC擬合曲線

根據(jù)電池實驗規(guī)范，采用HPPC測試獲得電池電壓回彈特性曲線，對其進行局部放大，使用指數(shù)擬合的方式，依次在每一處SOC所對應的電壓回彈特性曲線計算出對應的參數(shù)UOC、R0、RP和CP等。

2.2 二階RC電路模型的在線參數(shù)辨識

對于鋰電池SOC的估計，離線辨識雖能較為準確地計算出電路模型各狀態(tài)參數(shù)，是分段獲取電池某一段SOC狀態(tài)下的參數(shù)值，而電池的工作過程是一個動態(tài)變化的過程，在實際的工程實際中離線辨識方法在實時監(jiān)測方面具有一定的局限性[6]。因此電池模型參數(shù)的在線辨識顯得尤為重要，本課題通過遞推最小二乘方法對電池進行在線參數(shù)辨識，運用最小二乘算法。

2.2.1 最小二乘理論

設函數(shù):

f(x)=a1φ1(x)+a2φ2(x)+…+amφm(x)

(7)

式(7)中，φk(x)為設定的一組線性無關(guān)函數(shù)，ak為待定系數(shù)(k=1,2,3…m，m

(8)

目標函數(shù)L的最小值的參數(shù)ωi(i=1,2…n)為最小二乘算法求得的ω最優(yōu)解。對于一個系統(tǒng)而言，若其系統(tǒng)離散函數(shù)為：

(9)

此離散函數(shù)對應的差分方程為：

yk=-a1yk-1-a2yk-2-…-anyk-n+

b1uk-1+b2uk-2+…+bnuk-n+ek=

(10)

式(10)中：yk為系統(tǒng)輸出，uk為系統(tǒng)輸入。令：

φk=[-yk-1-yk-2… -yk-nuk-1uk-2…uk-n]T

θ=[a1a2…anb1b2…bn]為系統(tǒng)待估計參數(shù)。

將式(10)可以寫為:

(11)

對uk和yk進行N維擴展，k=1,2,3…N+n，則矩陣形式為：

Y=?θ+e

(12)

式(12)中：

對于上述矩陣形式，可以取泛函數(shù)為：

(13)

為取J(θ)的最小值，對其進行求一階導數(shù)并令為0：

(14)

解方程可得最小二乘估計值為：

(15)

在實際應用中，需要通過多次計算來使得估計值更精確，所以需要多次最小二乘算法，即遞推最小二乘算法，遞推最小二乘算法過程如下所示：

(16)

Kk+1=Pk+1?k+1

(17)

(18)

2.2.2 基于遞推最小二乘的二階RC電路模型在線參數(shù)辨識

根據(jù)二階RC電路等效模型及電路原理，可得電路辨識原理式為：

(19)

設定中間變量A=τ1τ2,B=τ1+τ2,C=R1+R2+R0,D=R1τ2+R2τ1+R0(τ1+τ2)。

式(19)可以改寫為：

UOC+AUOCS2+BUOCS=

AR0IS2+DIS+CI+AULS2+BULS+UL

(20)

則電路辨識原理式對應差分方程為：

UOC(k+1)-UL(k+1)=θ1[UL(k)-UOC(k)]+

θ2[UL(k-1)-UOC(k-1)]+θ3I(k+1)+

θ4I(k)+θ5I(k-1)

(21)

根據(jù)以上各式解方程得參數(shù)辨識結(jié)果：

(22)

基于遞推最小二乘原理及以上電路原理分析可得二階RC等效電路模型參數(shù)辨識的標準遞推最小二乘方程為：

(23)

2.3 含有動態(tài)遺忘因子的遞推最小二乘改進算法

遞推最小二乘算法在參數(shù)辨識任務中發(fā)揮十分重要中的作用，但是在具體執(zhí)行過程中同時存在一定的問題，其中比較顯著的問題就是最小二乘具有無限記憶長度。在電池模型參數(shù)辨識過程中，隨著采樣次數(shù)的逐步增加，其遞推次數(shù)也在增加，從而導致每次遞推后積累下來的舊數(shù)據(jù)會越來越多，使得后面的遞推過程中難以帶入新的數(shù)據(jù)，最后對參數(shù)辨識結(jié)果帶來影響，電池模型在線參數(shù)辨識是一個典型的時變過程，積存下來的舊數(shù)據(jù)會導致新舊數(shù)據(jù)不平衡問題。

為了避免數(shù)據(jù)冗余對電池模型在線參數(shù)辨識造成影響，可以對傳統(tǒng)遞推最小二乘算法進行改進，引入遺忘因子λ(0<λ<1)。遺忘因子在統(tǒng)計學中主要用來做誤差測量函數(shù)中的加權(quán)因子，這個加權(quán)因子被用來分配舊數(shù)據(jù)與新數(shù)據(jù)之間的權(quán)重，可以適當?shù)亟档退惴ㄖ信f數(shù)據(jù)的比重，以此避免數(shù)據(jù)冗余。在最小二乘算法中引入遺忘因子λ，可以使最小二乘算法增強對輸入過程特性變化的快速反應能力，提高新數(shù)據(jù)的利用效率，降低數(shù)據(jù)變化對在線辨識結(jié)果的影響。引入遺忘因子λ后的更新過程為：

(24)

引入遺忘因子后，即使遞推次數(shù)很多，PN+1也不會無限接近于0，從而可以達到避免數(shù)據(jù)飽和的目的。在含有遺忘因子的最小二乘算法中，λ的引入對算法跟蹤能力有促進作用，但同時會導致波動變大，為了使算法系統(tǒng)更加穩(wěn)定與精確，進而可以將固定遺忘因子改進為動態(tài)遺忘因子。依據(jù)模型的開路電壓UOC辨識結(jié)果UOC與真實電壓uOC之間的誤差εk來動態(tài)調(diào)整含遺忘因子最小二乘算法過程中的因子λ，εk的值為：

εk+1=|UOC(k)-uOC(k)|

(25)

εk在辨識過程中主要用來表示模型參數(shù)辨識的效果，根據(jù)含遺忘因子最小二乘算法原理，當εk較大時，需要適度降低遺忘因子的取值，以此來提高算法的收斂性，當εk較小時，可以適度提高遺忘因子的取值來保證算法的精度與抗噪能力。建立λ的動態(tài)變化函數(shù)為：

λk+1=μ+(1-μ)e-γεk

(26)

式(26)中，μ為接近且小于1的可調(diào)正參數(shù)，γ為正參數(shù)。由動態(tài)函數(shù)可知，當εk為一個較大值時，λ越接近于u，反之λ越接近于1，從而可以達到動態(tài)調(diào)整遺忘因子的目的。

含有動態(tài)遺忘因子的最小二乘遞推算法推導過程如式(27)、(28)、(29)所示：

(27)

(28)

(29)

3 基于擴展卡爾曼濾波的鋰電池SOC估計

3.1 擴展卡爾曼濾波算法原理

卡爾曼濾波主要用來研究線性系統(tǒng)，而電池系統(tǒng)是一個典型的非線性系統(tǒng)，尤其電池的溫度及電流變化會加劇電池系統(tǒng)的非線性，因此需要先對非線系統(tǒng)進行線性化處理。擴展卡爾曼濾波算法(EKF)是在卡爾曼濾波算法(KF)為基礎(chǔ)之上，先對系統(tǒng)的每一個采樣點處進行級數(shù)展開，保留一階部分系數(shù)，略去高階部分系數(shù)，從而將其等效為線性系統(tǒng)，最后再使用卡爾曼濾波迭代過程進行遞推計算?？柭鼮V波算法中主要包括時間更新過程和測量更新過程，即先對某一采樣時刻的狀態(tài)預測值進行更新，然后再將含有噪聲的的觀測變量作為反饋，從而獲得此時刻的狀態(tài)估計值。

對于一個非線性離散系統(tǒng)，其狀態(tài)方程為：

Xk+1=F(Xk,Uk)+ωk

(30)

觀測方程為：

yk=g(Xk,Uk)+vk

(31)

式(30)、(31)中，f(Xk,Uk)為狀態(tài)轉(zhuǎn)移函數(shù)，g(Xk,Uk)為測量函數(shù)，Xk為系統(tǒng)狀態(tài)變量，Uk為系統(tǒng)輸入變量，ωk為系統(tǒng)噪聲，vk為觀測噪聲，兩類噪聲的協(xié)方差為：Qk=E[ωkωkT],Rk=E[vkvkT]。

在每一個采樣時刻，對f(Xk,Uk)和g(Xk,Uk)進行泰勒展開，取其一階部分，并設定其在每一個采樣時刻點處線性可微，則可令：

(32)

得非線性系統(tǒng)線性化后關(guān)于狀態(tài)變量的表達式為：

(33)

(34)

其中:ωk、vk的均值為0，且ωk～N(0,Qk),vk～N(0,Rk)。

可得擴展卡爾曼濾波(EKF)算法具體過程為：

(1)初始設定：k-1時刻:

(35)

(36)

(2)進行預測：狀態(tài)預測方程：

(37)

噪聲協(xié)方差預測方程：

(38)

(3)進行校正：計算增益反饋:

(39)

計算濾波方程：

(40)

(4)噪聲協(xié)方差矩陣更新：

(41)

3.2 RC等效電路SOC預模型的建立

對于鋰離子電池的SOC估算模型，需要先確定系統(tǒng)的輸入和輸出，以此來確定系統(tǒng)狀態(tài)方程和系統(tǒng)觀測方程，根據(jù)二階RC電路模型和卡爾曼濾波算法原理，可以將SOC、UP1和UP2作為系統(tǒng)的狀態(tài)變量，以電池的端電壓方程作為系統(tǒng)的觀測方程，模型各類電壓的變化本質(zhì)上體現(xiàn)了電流的變化，同時從外部宏觀角度出發(fā)，可見輸入為電壓和電流，輸出為SOC值，滿足模型估算總要求。

通過安時積分法及電路電壓離散法，可得式：

(42)

根據(jù)以上狀態(tài)向量，可得模型離散化狀態(tài)向量方程：

(43)

模型的離散化觀測方程為：

UL(k)=UOC(k)-ikR0-UP1(k)-UP2(k)

(44)

式(41)中，Ts表示采樣時間間隔，在此取Ts=1 s，UP1(k)和UP2(k)分別代表采樣時刻k時的RC回路電壓值，由此可得系統(tǒng)狀態(tài)向量Xk為：

(45)

觀測矩陣為：

(46)

3.3 基于動態(tài)遺忘因子最小二乘在線參數(shù)辨識與EKF算法的電池SOC聯(lián)合估計

含有動態(tài)遺忘因子最小二乘算法與擴展卡爾曼濾波算法都是含有循環(huán)迭代的過程，因此在使用這兩種算法對電池SOC進行聯(lián)合估計時，需要一定的初值設定。使用離線辨識OCV-SOC標定來獲取初始SOC值和其余參數(shù)初始值，設定各類初始矩陣，然后啟用擴展卡爾曼濾波算法，利用擴展卡爾曼濾波算法對電池SOC進行估算時，使用的狀態(tài)變量為SOC和RC回路電壓UP1、UP1。對于UP1、UP1兩個的非初值狀態(tài)變量，使用動態(tài)遺忘因子最小二乘算法在線辨識出的參數(shù)來獲取。EKF中ωk作為系統(tǒng)噪聲主要來源于非線性系統(tǒng)進行采樣時候引起的誤差，觀測噪聲vk主要來源于電壓測量誤差。

圖6 電池SOC聯(lián)合估計整體過程

4 實驗仿真與分析

圖7 極化電容C1辨識結(jié)果

圖8 極化內(nèi)阻R0辨識結(jié)果

圖9 端電壓Uoc辨識結(jié)果

圖10 端電壓Uoc辨識結(jié)果誤差

如圖7、圖8、圖9所示極化電容、極化內(nèi)阻和端電壓辨識結(jié)果，遞推最小二乘算法可以較好地擬合出模型參數(shù)，但是在遞推后期參數(shù)結(jié)果波動較大，而改進后的動態(tài)遺忘因子最小二乘算法相較于普通遞推最小二乘，在遞推后期有效減小波動。由圖9結(jié)果所示，含有動態(tài)遺忘因子最小二乘算法比普通遞推最小二乘算法結(jié)果更接近真實值；如圖10所示，含有動態(tài)遺忘因子最小二乘的電壓誤差小于0.05，二普通遞推最小二乘電壓結(jié)果誤差大于0.05，在運算后期，普通遞推最小二乘算法的結(jié)果誤差越來越大，而加入動態(tài)遺忘因子后，可以有效降低誤差，提高算法的精確性和收斂性。

對于聯(lián)合估計最終結(jié)果如圖11所示。

圖11 在線參數(shù)辨識與EKF聯(lián)合估計SOC結(jié)果

如圖11所示結(jié)果，最小二乘算法與EKF聯(lián)合估計模型可以較好地估算出SOC值，在計算過程后期，最小二乘EKF聯(lián)合算法結(jié)果逐漸偏離真實值，通過對比分析可知，加入動態(tài)遺忘因子最小二乘EKF聯(lián)合估計模型比普通最小二乘EKF聯(lián)合估計的結(jié)果更接近真實SOC值，表明動態(tài)遺忘因子機制使整個聯(lián)合估計系統(tǒng)更加趨于穩(wěn)定，給系統(tǒng)精確度帶來修正作用，驗證了遞推最小二乘算法的改進(加入動態(tài)遺忘因子)具有實用價值。

5 結(jié)束語

針對鋰離子電池荷電狀態(tài)SOC的準確估計，在動態(tài)工況需要在線參數(shù)辨識需求之下，本文提出遞推最小二乘算法并對其進行改進，加入動態(tài)遺忘因子后，有效調(diào)整了在線參數(shù)辨識算法的波動，提高收斂能力，提高電池模型參數(shù)辨識精度。將改進前辨識算法與改進后辨識算法同擴展卡爾曼濾波算法進行電池SOC的聯(lián)合估計，結(jié)果表明改進后的含動態(tài)遺忘因子最小二乘算法能夠更好地跟隨SOC，明顯具有較高的估計精度，同時也表明基于最小二乘與EKF搭建的電池等效模型可以較好地模擬真實電池系統(tǒng)，具有工程實用價值。