基于混合核函數(shù)相關(guān)向量機(jī)的鉛酸蓄電池SOH估計(jì)方法研究

丁一，劉盛終，王旭東，戚艷，霍現(xiàn)旭，胡志剛

（1.國(guó)網(wǎng)天津市電力公司電力科學(xué)研究院，天津 300384；2.國(guó)網(wǎng)天津市電力公司，天津 300010；3.國(guó)網(wǎng)天津市電力公司城東供電分公司，天津 300250）

鉛酸電池儲(chǔ)能系統(tǒng)在電動(dòng)汽車工業(yè)具有廣泛的用途。它價(jià)格低廉、比功率大、技術(shù)相對(duì)成熟，目前仍廣泛應(yīng)用于供電系統(tǒng)的不間斷電源和大型光伏電站中，是供電持續(xù)性和穩(wěn)定性的重要保障。

儲(chǔ)能用鉛酸電池的日常維護(hù)一般是人工檢查和修理，電源中的蓄電池長(zhǎng)期使用不當(dāng)，如過(guò)充電、過(guò)放電、長(zhǎng)時(shí)間擱置等因素，會(huì)使電池的壽命大大縮短，同時(shí)，劣化的電池也會(huì)嚴(yán)重影響整個(gè)儲(chǔ)能系統(tǒng)的效率和可靠性，可能導(dǎo)致安全事故的發(fā)生。為了延長(zhǎng)電池組的循環(huán)使用壽命，提高安全性，電池管理系統(tǒng)（battery management system，BMS）應(yīng)運(yùn)而生，它負(fù)責(zé)系統(tǒng)監(jiān)控電池的狀態(tài)，合理安排電池的使用，進(jìn)而延長(zhǎng)電池的壽命，優(yōu)化系統(tǒng)的運(yùn)行。許多因素需要納入BMS的運(yùn)維中。電池健康狀態(tài)（state of health，SOH）可以反應(yīng)電池的老化程度，是BMS重點(diǎn)考察和規(guī)劃的對(duì)象。通常電池在出廠時(shí)SOH被認(rèn)為是100%，隨著充放電循環(huán)次數(shù)以及損耗的增加，SOH逐漸降低。SOH指標(biāo)可以用電池當(dāng)前狀態(tài)的最大容量與電池標(biāo)稱容量的比值來(lái)確定：

式中：Qm為當(dāng)前狀態(tài)電池的最大容量；Qnom為電池的標(biāo)稱容量，即SOH值為100%時(shí)的容量。

相比于目前對(duì)鉛酸電池荷電狀態(tài)（state of charge，SOC）的估計(jì)研究，對(duì)其SOH估計(jì)的研究成果較少。文獻(xiàn)[1]基于二階等效電路模型，采用卡爾曼濾波算法來(lái)估計(jì)電池的SOH值。文獻(xiàn)[2]采用支持向量機(jī)（support vector machine，SVM），對(duì)微分容量曲線特征進(jìn)行了提取，產(chǎn)生了基于峰值的SOH估計(jì)方法。文獻(xiàn)[3]考察了電池的電化學(xué)機(jī)理，推導(dǎo)出容量損失隨循環(huán)次數(shù)變化的遞推關(guān)系，建立了容量衰減模型。文獻(xiàn)[4]考察了變電站中使用的鉛酸電池，發(fā)現(xiàn)其電壓變化率和內(nèi)阻與SOH之間具有顯著關(guān)系，據(jù)此提出健康狀態(tài)的方案。文獻(xiàn)[5]基于鉛酸電池的Randles模型，用卡爾曼濾波的方法進(jìn)行模型參數(shù)辨識(shí)，并離線估計(jì)其SOH值。

本文采用相關(guān)向量機(jī)（relevance vector machine，RVM）對(duì)鉛酸蓄電池的SOH進(jìn)行在線估計(jì)和監(jiān)測(cè)。首先提取充電階段放電特征，然后由灰色關(guān)聯(lián)度結(jié)果建立RVM回歸模型，進(jìn)而可以對(duì)新數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行預(yù)測(cè)，最終實(shí)現(xiàn)對(duì)電池健康狀態(tài)的在線監(jiān)測(cè)。

1 充電階段特征分析

1.1 鉛酸電池工作原理

鉛酸電池屬于二次電池，具有可逆的正負(fù)極化學(xué)反應(yīng)。二氧化鉛、海綿鉛和稀硫酸分別是其正負(fù)極材料和電解溶液，充放電反應(yīng)遵循“雙硫酸鹽化理論”，既正負(fù)極都會(huì)產(chǎn)生PbSO4。

放電時(shí)，二氧化鉛和海綿鉛以及電解液反應(yīng)生成硫酸鉛和水。方程式為

放電初，正負(fù)極活性物質(zhì)上的H2SO4濃度首先被消耗，濃度下降較快，而電解液中的硫酸不能及時(shí)向電極表面擴(kuò)散以補(bǔ)償反應(yīng)消耗，導(dǎo)致正負(fù)極物質(zhì)表面的H2SO4濃度降低。電極表面的硫酸濃度是電壓的重要影響因素，故電池端電壓下降迅速。電解液中的硫酸逐漸擴(kuò)散到電極表面以補(bǔ)償反應(yīng)消耗，放慢了電壓的下降速度。放電一段時(shí)間后，生成物硫酸鉛擴(kuò)散至活性物質(zhì)里面，降低其孔隙率，造成硫酸越來(lái)越難以進(jìn)入活性物質(zhì)內(nèi)。且電解液中的硫酸鉛不易導(dǎo)電，造成其電阻增加，電池輸出的能量降低。

充電時(shí)化學(xué)反應(yīng)如下：

充電初，附著在活性物質(zhì)上的硫酸由于生成物中的硫酸而得到快速補(bǔ)充，電池端電壓迅速恢復(fù)，當(dāng)活性物質(zhì)內(nèi)外的硫酸濃度達(dá)到飽和狀態(tài)時(shí)，端電壓的增長(zhǎng)放緩。隨著正負(fù)極極化反應(yīng)加劇，正負(fù)極的電勢(shì)差加大，正負(fù)極分別有氧氣和氫氣析出，抬高了充電輸出電壓。

鉛酸電池放電階段具有不確定性和隨機(jī)性，而充電階段的特征較為分明，故本文提取該階段的典型特征來(lái)分析和建模。電池充電方式主要有恒壓、恒流和階段充電[6]。恒壓充電是整個(gè)充電過(guò)程都對(duì)電池施加恒壓，剛開始充電電流較大，容易對(duì)電池造成沖擊；恒流充電則是在充電過(guò)程中對(duì)電池施加恒定電流，適用于電池串聯(lián)較多的場(chǎng)合，容易造成較多氣體溢出，充電效率不高。而階段充電法將兩者結(jié)合。一般采取先恒流再恒壓的方式，這種充電方式較為“溫和”，可以減弱對(duì)電池的沖擊，并保證較高的充電效率。

1.2 充電階段特性分析

實(shí)驗(yàn)所用電池與文獻(xiàn)[7]中的電池同型號(hào)，常溫下的電池基本參數(shù)如下：額定容量200 A·h，循環(huán)充電電壓（14.70±0.18）V，最大充電電流50 A。

電池容量衰減實(shí)驗(yàn)的實(shí)驗(yàn)步驟如下：1）20 A恒流充電；2）當(dāng)端電壓達(dá)到14.4 V時(shí)，轉(zhuǎn)為恒壓充電，當(dāng)充電電流降到2.4 A時(shí)，充電過(guò)程結(jié)束；3）40 A恒流放電，放電過(guò)程用傳感器記錄放電電流和時(shí)間數(shù)據(jù)，用安時(shí)計(jì)量法計(jì)算實(shí)際容量；4）端電壓達(dá)到截止電壓1.6 V時(shí)，一個(gè)充放電循環(huán)結(jié)束；5）重復(fù)步驟1）～步驟4）55次。電池容量退化趨勢(shì)如圖1所示。

圖1 電池容量退化趨勢(shì)Fig.1 The degeneration trend of battery capacity

圖2為兩階段充電的電壓電流變化曲線，恒流過(guò)程開始時(shí)，電壓迅速增大，當(dāng)電壓達(dá)到14.5 V左右時(shí)，轉(zhuǎn)為恒壓階段，此后電流衰減，降至2.4 A，然后進(jìn)行涓流充電以保護(hù)電池，此時(shí)充電過(guò)程基本結(jié)束。

圖2 階段充電的電壓電流變化曲線Fig.2 The curves of current and voltage for stage charging

實(shí)驗(yàn)分別記錄了單個(gè)電池第5次、第15次以及第55次充電循環(huán)的充電過(guò)程。值得注意的是，隨著實(shí)驗(yàn)循環(huán)次數(shù)的增大，由于電池的容量的不斷衰減，兩階段的放電時(shí)間逐漸減小。

由圖2知，各階段的充電時(shí)間都隨著電池容量的損失而變短，表現(xiàn)出良好相關(guān)性。分別考察每次循環(huán)后的充放電時(shí)間同容量和循環(huán)次數(shù)的變化趨勢(shì)，得到圖3。

圖3 充電時(shí)間的變化趨勢(shì)Fig.3 The changing trend of charging time

由圖3易知，恒壓、恒流充電階段時(shí)間和充電總時(shí)間隨容量衰減而變化顯著。將恒流充電時(shí)間與恒壓充電時(shí)間的比值作為第4個(gè)充電特征。恒流恒壓兩階段充電時(shí)間和總時(shí)間分別為T1，T2和T。下面定量刻畫T1，T2，T，T1/T2對(duì)容量衰減變化的敏感程度，即灰色關(guān)聯(lián)度。

將蓄電池容量序列為回歸模型輸出，T1,T2,T3,T1/T2序列：{xi(k)},i=1,2,3,4為回歸輸入，用下式計(jì)算各比較序列同參考序列間的關(guān)聯(lián)性：

結(jié)果如表1所示，通過(guò)對(duì)比發(fā)現(xiàn)，T2的作用最為顯著，因此本文用T2時(shí)間序列和鉛酸電池的容量序列來(lái)建立RVM模型，用于SOH估計(jì)。

表1 灰色關(guān)聯(lián)度分析結(jié)果Tab.1 Results of grey relevance analysis

2 RVM模型的建立

前文已經(jīng)對(duì)鉛酸電池充電特征進(jìn)行灰色關(guān)聯(lián)度分析，并提取出恒壓充電時(shí)間作為健康特征進(jìn)行分析。本節(jié)基于健康特征和容量數(shù)據(jù)關(guān)系建立相關(guān)向量機(jī)[8]回歸模型，實(shí)現(xiàn)對(duì)SOH的在線估計(jì)。

相關(guān)向量機(jī)（RVM）是一種基于貝葉斯框架的新穎的監(jiān)督學(xué)習(xí)方法，與支持向量機(jī)（SVM）[9]相比，在RVM計(jì)算中，只考察非零權(quán)重構(gòu)成的向量既相關(guān)向量，因而減小了計(jì)算負(fù)擔(dān)，且核函數(shù)的選取更為自由。由于它具有許多SVM的優(yōu)良特征，同時(shí)又避免了SVM主要的局限性，在回歸分析中占有重要的位置。

式中：w為權(quán)重向量。

RVM模型輸出為

式中：K(x,xi)稱為核函數(shù)[10]；w0為權(quán)重偏值。

在RVM中，核函數(shù)是溝通低維變量間的非線性關(guān)系和相應(yīng)高維變量的簡(jiǎn)潔映射的橋梁，核函數(shù)的選取是RVM建模的關(guān)鍵一環(huán)。高斯核函數(shù)和多項(xiàng)式核函數(shù)在RVM建模中較為常見，它們的性質(zhì)如表2所示。

表2 兩種核函數(shù)的性質(zhì)比較Tab.2 Comparisons of two kernel functions

兩種核函數(shù)的表達(dá)式分別如下所示：

式中：r為Gaussian核寬度。

鑒于兩類核函數(shù)具有互補(bǔ)的優(yōu)勢(shì)和特點(diǎn)，引入權(quán)值w(0≤w≤1)將它們組合成混合核函數(shù)，將高斯核函數(shù)的局部?jī)?yōu)勢(shì)和多項(xiàng)式核函數(shù)的全局能力相結(jié)合，使模型具有更強(qiáng)的泛化能力?；旌虾撕瘮?shù)的表達(dá)式如下：

選好核函數(shù)后，通過(guò)擬合輸入數(shù)據(jù)和輸出數(shù)據(jù)的非線性映射關(guān)系來(lái)訓(xùn)練核函數(shù)參數(shù)，建立RVM回歸模型。當(dāng)有新數(shù)據(jù)輸入時(shí)，可以據(jù)此計(jì)算目標(biāo)輸出值的均值和方差，既預(yù)測(cè)目標(biāo)輸出。RVM回歸過(guò)程的詳細(xì)數(shù)學(xué)推導(dǎo)參見文獻(xiàn)[6]。

3 模型參數(shù)優(yōu)化

核函數(shù)的帶寬參數(shù)r和權(quán)重系數(shù)w顯著影響RVM的效果，直接決定了分類和回歸的準(zhǔn)確性。為了提高RVM的回歸能力，獲得更好的估計(jì)結(jié)果，需要優(yōu)化r和w以減小訓(xùn)練誤差，本文采用一種變概率遺傳算法（variable probability genetic algorithm，VPGA）對(duì)多核函數(shù)的參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。

遺傳算法（genetic algorithm，GA）[11]是基于進(jìn)化論的思想而產(chǎn)生的一種隨機(jī)群優(yōu)化算法，具有較好的全局搜索性能和局部調(diào)節(jié)能力，而且不要求提供目標(biāo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)信息，適應(yīng)于目標(biāo)函數(shù)復(fù)雜、離散或難解析的情形。適應(yīng)度函數(shù)選取RVM模型訓(xùn)練結(jié)果的平均相對(duì)誤差，如下式所示：

在種群進(jìn)化的過(guò)程中，交叉和變異操作決定了進(jìn)化的方向，影響更優(yōu)個(gè)體的產(chǎn)生。分別由交叉、變異概率Pc,Pm來(lái)控制，前者通過(guò)交換個(gè)體間染色體的一段編碼來(lái)獲取較優(yōu)個(gè)體，保證算法的全局性，后者通過(guò)改變個(gè)體某一位的基因序列來(lái)獲取新個(gè)體，進(jìn)行局部微調(diào)。在進(jìn)化前期，種群較分散，增加Pc同時(shí)減小Pm，能夠擴(kuò)大全局搜索的范圍，同時(shí)避免由于隨機(jī)變異而錯(cuò)失優(yōu)秀個(gè)體；在進(jìn)化后期，種群較集中，交叉操作的重復(fù)性增強(qiáng)，此時(shí)減小Pc同時(shí)增大Pm，有助于產(chǎn)生新個(gè)體以跳出局部最優(yōu)解。傳統(tǒng)GA一般設(shè)Pc,Pm為常數(shù)或線性自適應(yīng)調(diào)整[12]。常數(shù)不能滿足上述變化的要求，線性調(diào)整無(wú)法及時(shí)響應(yīng)種群多樣性的變化速度。鑒于此，本文設(shè)計(jì)了下2式來(lái)自適應(yīng)地計(jì)算交叉、變異概率：

式中：fav為所有個(gè)體的平均適應(yīng)度；fmax,fmin分別為最差個(gè)體和最優(yōu)個(gè)體；k1，k2為調(diào)節(jié)因子。

適應(yīng)度的變化曲線選取指數(shù)形式可以滿足快速響應(yīng)的需要，即當(dāng)(fav-fmin)/(fmax-fmin)變化時(shí)，exp[(fav-fmin)/(fmax-fmin)]能夠更快地變化。此外，選取每一代的最優(yōu)個(gè)體，不參與下一代的交叉和變異操作，這是為了防止該個(gè)體被不當(dāng)操作而破壞。然后將其復(fù)制k次，來(lái)替換下一代種群中表現(xiàn)最差的k個(gè)個(gè)體，k值由下式確定：

式中：[·]為取整函數(shù)。

當(dāng)種群較分散時(shí)，k較大，快速淘汰不良個(gè)體；當(dāng)種群趨于一致時(shí)，采取較小的k，避免陷入局部最優(yōu)。采取這種策略可以更好體現(xiàn)“優(yōu)勝劣汰”的進(jìn)化規(guī)則。

VPGA的流程圖如圖4所示。

圖4 VPGA算法流程圖Fig.4 The flow chart of VPGA

采用VPGA算法對(duì)RVM的混合核函數(shù)的參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，優(yōu)化過(guò)程中適應(yīng)度值的變化如圖5所示。

圖5 適應(yīng)度下降曲線Fig.5 The decline curve of the fitness

在迭代過(guò)程中，適應(yīng)度快速下降，在迭代8次左右以后，適應(yīng)度的值穩(wěn)定在一個(gè)極小的值附近，即核函數(shù)的參數(shù)收斂到最優(yōu)取值附近。

最優(yōu)參數(shù)值為：r=143.27,w=0.87，此時(shí)平均相對(duì)誤差fitness的最優(yōu)值為0.000 488。

4 在線SOH估計(jì)方法驗(yàn)證

為了驗(yàn)證所提出的SOH估計(jì)方法的有效性，本文使用恒壓充電時(shí)間序列作為RVM的模型輸入，容量序列作為輸出，訓(xùn)練RVM模型，訓(xùn)練回歸效果和擬合誤差分別如圖6、圖7所示。最大誤差小于0.4%。

圖6 模型回歸曲線Fig.6 The regression curve of the model

圖7 模型回歸誤差Fig.7 The regression error of the model

采用k-重交叉驗(yàn)證法[13]（k-fold cross validation）來(lái)驗(yàn)證回歸模型的預(yù)測(cè)效果，實(shí)施過(guò)程如下：將充電階段數(shù)據(jù)集隨機(jī)分成4組，隨機(jī)地抽取3組數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練集訓(xùn)練模型參數(shù)w和r，用另外的一組數(shù)據(jù)作為測(cè)試集測(cè)試估計(jì)效果。共進(jìn)行4次循環(huán)實(shí)驗(yàn)，對(duì)數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行訓(xùn)練和估計(jì)，各組預(yù)測(cè)及實(shí)測(cè)誤差如圖8～圖11所示，具體數(shù)值在表3中列出。從表3可以看出，訓(xùn)練好的RVM估計(jì)模型在對(duì)新數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)時(shí)，估計(jì)結(jié)果仍具有很好的準(zhǔn)確性，單個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的預(yù)測(cè)誤差在0.6%以內(nèi)。這說(shuō)明該模型具有較好的泛化能力和非線性擬合能力，能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)鉛酸蓄電池健康狀態(tài)的精準(zhǔn)估計(jì)。

圖8 第1組估計(jì)結(jié)果及誤差Fig.8 Group1 estimation results and errors

圖9 第2組估計(jì)結(jié)果及誤差Fig.9 Group2 estimation results and errors

圖10 第3組估計(jì)結(jié)果及誤差Fig.10 Group3 estimation results and errors

圖11第4組估計(jì)結(jié)果及誤差Fig.11 Group4 estimation results and errors

表3 電池容量預(yù)測(cè)偏差Tab.3 The prediction error of capability of battery

實(shí)時(shí)性和快速性是在線估計(jì)的重要特征，下面考察本算法的運(yùn)行時(shí)間。4次仿真實(shí)驗(yàn)的計(jì)算時(shí)間如表4所示。

表4 RVM運(yùn)算時(shí)間Tab.4 The calculation time of RVM model

由圖6可知，遺傳算法進(jìn)行到10代左右就能可靠地收斂到較優(yōu)水平，故模型的訓(xùn)練不需要太長(zhǎng)時(shí)間。基于VPGA優(yōu)化的RVM模型用于SOH估計(jì)的總時(shí)間在3 s以內(nèi)，計(jì)算速度較快，能夠滿足在線估計(jì)的需要。

5 結(jié)論

針對(duì)在鉛酸蓄電池容量老化過(guò)程中，其SOH不易高效和精準(zhǔn)測(cè)算的問(wèn)題，本文提出了一種基于RVM回歸模型的鉛酸蓄電池在線健康狀態(tài)估計(jì)方法。通過(guò)對(duì)電池容量衰退現(xiàn)象的觀察，并結(jié)合灰色關(guān)聯(lián)度計(jì)算，提取了蓄電池充電階段時(shí)間的健康特征，選取關(guān)聯(lián)度最高的電池恒壓充電時(shí)間來(lái)反映電池容量的退化趨勢(shì)。用VPGA對(duì)混合核函數(shù)的權(quán)重系數(shù)和帶寬參數(shù)進(jìn)行訓(xùn)練和優(yōu)化，建立了基于相關(guān)向量機(jī)的容量退化模型。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明該模型可以有效建立起SOH值和充電階段恒壓充電時(shí)間的關(guān)系，實(shí)現(xiàn)了對(duì)鉛酸蓄電池健康狀態(tài)的精確快速在線估計(jì)。本文可為今后電池管理系統(tǒng)的研究提供依據(jù)，有較大的參考價(jià)值。