Katugampola分?jǐn)?shù)階微分方程解的吸引性

陳星汝, 顧海波, 王星昭, 陳奕如, 馬麗娜

(新疆師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 新疆 烏魯木齊 830017)

由于分?jǐn)?shù)階微分方程比整數(shù)階微分方程更具一般性, 且較整數(shù)階微分方程能更準(zhǔn)確地描述客觀規(guī)律和事物的本質(zhì), 因此分?jǐn)?shù)階微積分在許多領(lǐng)域得到應(yīng)用，引起了越來越多的關(guān)注, 如分?jǐn)?shù)動(dòng)力學(xué)模型、分?jǐn)?shù)控制系統(tǒng)、分?jǐn)?shù)種群動(dòng)力學(xué)模型和分?jǐn)?shù)流體力學(xué)都涉及分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)。另外分?jǐn)?shù)階微分方程也極大地豐富了數(shù)學(xué)理論的內(nèi)容, 并滲透到了自然科學(xué)的很多領(lǐng)域中。近年來提出的Katugampola分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù), 是對(duì)分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的推廣, 具有很大的研究潛能。許多研究者都致力于分?jǐn)?shù)階微積分的研究，如脈沖微分方程[1]、模糊微分方程等[2-3]?，F(xiàn)在基礎(chǔ)數(shù)學(xué)研究和工程應(yīng)用研究中最常采用的分?jǐn)?shù)階微積分定義有Riemann-Liouville微積分定義、Caputo微分定義、Grunwald-Letnikov 微分定義等[4]。

2011年, Katugampola[5]將Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)積分和Hadamard分?jǐn)?shù)積分推廣到同一個(gè)形式, 提出了一種推廣的分?jǐn)?shù)積分定義, 并于2014年提出了對(duì)應(yīng)的分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)定義[6], 后命名為Katugampola分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)。隨后, Katugampola[7]研究了一類Katugampola分?jǐn)?shù)階微分方程在初值條件下解的存在、唯一性。此外, 許多學(xué)者也研究了Katugampola分?jǐn)?shù)階算子的性質(zhì)，如擴(kuò)展公式[8]、變分法應(yīng)用[9-12]、控制理論應(yīng)用[13]、凸性和積分不等式[14-15]以及新算子和類似算子的Hermite-Hadamard類[16-17]不等式等。除此之外,Katugampola 分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)還應(yīng)用于物理[18]、動(dòng)力系統(tǒng)[19-20]、生物學(xué)[21]等領(lǐng)域。根據(jù)目前文獻(xiàn)報(bào)道,還沒有關(guān)于Katugampola分?jǐn)?shù)階微分方程解的吸引性研究，而吸引性可以為研究其他類型的非線性積分方程解的局部和全局吸引性提供幫助, 方便證明解的穩(wěn)定性、存在性。

本文將討論Katugampola分?jǐn)?shù)階微分方程解的吸引性，如式(1)所示。

(1)

本文利用Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理和非緊性測(cè)度方法, 建立了解全局吸引的充分判據(jù), 得到了Katugampola分?jǐn)?shù)微分方程解的吸引性結(jié)果。本文結(jié)果從本質(zhì)上揭示了Katugampola分?jǐn)?shù)階微分方程解的特性。

1 背景知識(shí)

C表示所有連續(xù)函數(shù)x:[0,∞)→X的Banach空間, 范數(shù)可表示為式(2)。

(2)

(3)

定義1[6]當(dāng)-∞

(4)

定義2[7]當(dāng)0≤a

(5)

命題1[22]如果a>0,b>0, 則

(6)

定理1[23]即Schauder 不動(dòng)點(diǎn)定理，令X為Banach空間,Q為X中的非空有界閉凸子集且Λ:Q→Q為連續(xù)的緊映射。則Λ在Q中至少有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)。

定理2[24]即Arzela-Ascoli 定理，為使F?C(M)為一個(gè)列緊集, 必須且僅須F是一致有界且等度連續(xù)的函數(shù)族。

對(duì)?{xn}?C0([t0,+∞),X)為基本列, 即‖xn-xm‖∞→0,n,m→∞。

對(duì)?ε>0, ?N>0, 當(dāng)n,m≥N時(shí), 有

(7)

則對(duì)每一個(gè)t∈[t0,+∞)有‖xn(t)-xm(t)‖<ε,則{xn(t)}為X中的基本列, 所以{xn(t)}收斂, 記為xn(t)→x0(t),n→∞, 且

即x0∈C0([t0,+∞),X)。

在式(7)中, 令m→+∞, 則

因此xn一致收斂于x0。

我們還需要下面的廣義Ascoli-Arzela定理。

引理2[25]當(dāng)且僅當(dāng)下列條件成立，集合H?C0([t0,+∞),X)是相對(duì)緊的。

(1)對(duì)任意的T>0,H中的函數(shù)在[0,T]上是等度連續(xù)的;

(2)對(duì)任意的t∈[0,∞),H(t)={x(t):x∈H}在X中是相對(duì)緊的;

(3)如果x∈H,當(dāng)t→∞時(shí), ∣x(t)∣一致收斂于0。

2 主要結(jié)果

引理3假設(shè)算子f:[0,∞)×X→X是連續(xù)的。則式(1)的解可表示為

(8)

且右側(cè)在(0,∞)上是逐點(diǎn)定義的。

我們給出下面的假設(shè):

(H1)若t∈(0,∞),x∈X, 則|f(t,x(t))|≤Lt-β|x|δ, 其中L≥0,α<β<1,δ∈。

(H2)存在一個(gè)常數(shù)κ>0使得對(duì)任何有界集合E?X，有σ(f(t,E))≤κσ(E)，其中σ是非緊的Hausdorff測(cè)度。

對(duì)任意的x∈C([0,∞),X)和給定的n∈+, 定義算子U

(9)

由于0<α<β<1, 我們令γ>0足夠小, 使得

令T>0足夠大, 使得

(10)

定義集合S

S={x(t)|x∈C([0,∞),X), |tγx(t)|≤1,t≥T}，

明顯地,S≠?, 且S是C0([t0,+∞),X)的一個(gè)有界閉凸子集。

引理4假設(shè)H1成立, 則{Ux:x∈S}是等度連續(xù)的且若x∈S, 則

對(duì)任意的x∈S, 和t1,t2≥T, 我們有

|(Ux)(t2)-(Ux)(t1)|

進(jìn)一步, 當(dāng)0≤t1

相似地，對(duì)任意的t1

|(Ux)(t2)-(Ux)(t1)|≤|(Ux)(t2)-(Ux)(T1)|+|(Ux)(T1)-(Ux)(t1)|→0,t2→t1。

因此, 結(jié)合上面的論證, 很明顯, {Ux:x∈S}是等度連續(xù)的。

還需證明若x∈S, 當(dāng)t→∞時(shí), |(Ux)(t)|是否一致收斂于0。事實(shí)上, 我們有

(11)

這證明了若x∈S, 當(dāng)t→∞時(shí), |(Ux)(t)|一致收斂于0。

引理5假設(shè)H1成立。則U為S到S的映射且U在S上連續(xù)。

證明

步驟1U:S→S

若x∈S, 通過引理4, 我們有Ux∈C([0,∞),X)。另一方面, 當(dāng)t≥T時(shí), 運(yùn)用不等式(10), 我們有

這意味著U:S→S。

則, 當(dāng)t>T2時(shí)

當(dāng)0

因此, 當(dāng)m→∞時(shí), 有‖(Uxm)(t)-(Ux)(t)‖→0, 這意味著算子U是連續(xù)的。

定理6假設(shè)H1和H2成立。則問題(1)有至少一個(gè)吸引解。

證明通過引理5可得U:S→S有界且連續(xù)。下面將證明U∈C0([t0,+∞),X)是相對(duì)緊的。

由引理4可得{Ux:x∈S}是等度連續(xù)及若x∈S, 當(dāng)t→∞時(shí), |(Ux)(t)|一致收斂于0。下面參考文獻(xiàn)[26]中的定理4.34的證明方式, 我們由假設(shè)H2可得在X中，對(duì)任意t∈[0,∞),{Ux:x∈S}是相對(duì)緊的。因此, 運(yùn)用Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理, 算子U有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)xn∈S, 且當(dāng)t→∞時(shí), 有xn(t)→0。通過使用與引理4相似的證明方法, 可得在[0,∞)上, {xn(t)}是一致有界且等度連續(xù)的, 對(duì)任意的t∈[0,∞), {xn(t)}是相對(duì)緊的。因此, 運(yùn)用Arzela-Ascoli定理, {xnk}是{xn(t)}的一個(gè)一致收斂子序列。進(jìn)一步我們有, {xnk}滿足

(12)

這意味著x*(t)是式(1)的一個(gè)吸引解。