一類具有非局部條件的Sobolev型Hilfer分?jǐn)?shù)階發(fā)展方程的偏近似可控性

王星昭，顧海波

(新疆師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，新疆 烏魯木齊 830017)

可控性問題是控制系統(tǒng)的重要問題，在許多工程問題中起到至關(guān)重要的作用，例如使用反饋控制可以使不穩(wěn)定的系統(tǒng)穩(wěn)定化?？煽匦源笾驴煞譃榫_可控性和近似可控性，對兩者進(jìn)行區(qū)分是非常有必要的：若系統(tǒng)是精確可控的，我們可以控制系統(tǒng)到一個(gè)任意的最終狀態(tài)；而若系統(tǒng)是近似可控的，則只能控制系統(tǒng)到一個(gè)任意最終狀態(tài)的任意小的鄰域內(nèi)。通常，精確可控性比近似可控性要求的條件更加苛刻，而在大多數(shù)情況下，近似可控性已經(jīng)可以滿足我們的需求，因此近似可控性在實(shí)際中應(yīng)用更為廣泛。近幾年，有大批學(xué)者研究了多種不同類型的分?jǐn)?shù)階動(dòng)力系統(tǒng)的近似可控性問題，已有很多關(guān)于近似可控性的研究成果。例如，Kerboua等[1]研究了Hilbert空間中一類帶有Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的Sobolev型隨機(jī)發(fā)展方程的近似可控性，方程具有非局部條件；Mahmudov等[2]研究了Hilbert空間中一類帶有Hilfer分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的發(fā)展方程的近似可控性；Ge等[3]用近似法，研究了Banach空間中一類帶有Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的發(fā)展方程的近似可控性，方程具有非局部條件和脈沖條件；Chang等[4]利用預(yù)解算子的性質(zhì)，研究了Banach空間中兩類Sobolev型發(fā)展方程的近似可控性，一類帶有Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，一類帶有Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)；Mahmudov[5]用近似法和變分法，分別研究了Hilbert空間中一類帶有Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的發(fā)展方程的偏近似可控性和有限近似可控性[6]，方程具有非局部條件；He等[7]研究了Hilbert空間中一類帶有Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的隨機(jī)波動(dòng)方程的近似可控性；Huang等[8]研究了Banach空間中一類帶有Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的拋物方程的近似可控性；Mokkedem[9]研究了一類帶有Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的微分方程的近似可控性，方程具有無窮時(shí)滯；Jeet等[10]用近似法研究了一類中立型微分方程的近似可控性，方程具有非局部條件和脈沖條件；Anguraj等[11]研究了一類具有Poisson跳躍的隨機(jī)微分方程的近似可控性，方程具有非局部條件和脈沖條件。

然而，具有非局部條件的Sobolev型Hilfer分?jǐn)?shù)階發(fā)展方程的偏近似可控性研究還未見報(bào)道。我們在沿用Mahmudov[5]方法的基礎(chǔ)上，對其控制系統(tǒng)進(jìn)行了推廣，將Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)推廣為Hilfer分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，將發(fā)展方程推廣成Sobolev型的。

更具體地，我們研究了如下一類分?jǐn)?shù)階發(fā)展方程的偏近似可控性：

(1)

本文在研究系統(tǒng)(1)的偏近似可控性時(shí)，非局部項(xiàng)g并不滿足Lipschitz條件。此外，為得到控制系統(tǒng)解的存在性，我們構(gòu)造了控制系統(tǒng)的近似解算子，并證明了近似解集的緊性，將解的存在性問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)序列問題。這與傳統(tǒng)的方法(將不動(dòng)點(diǎn)定理直接應(yīng)用于相應(yīng)的解算子)是不同的。

1 預(yù)備知識

我們回顧一些符號、定義，以及分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)和分?jǐn)?shù)階微分方程方面的結(jié)果。

定義1[12]函數(shù)f:[0,+∞)→R的下限為0，階為μ的分?jǐn)?shù)階積分為：

假設(shè)右側(cè)是逐點(diǎn)定義在[0,+∞)上的，R表示實(shí)數(shù)，Γ(·)是伽馬函數(shù)。

定義2[13]函數(shù)f:[0,+∞)→R的下限為0，階為ν∈[0,1]和μ∈(0,1)的Hilfer分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)為：

其中函數(shù)需使得右側(cè)的表示存在。

定義3[1,6,14]如果函數(shù)x∈C((0,b],X)滿足方程：

(2)

則x是(1)的一個(gè)適度解。其中

且ωμ(θ)滿足

(3)

引理1[1,14-15]算子Pν,μ和Qμ具有以下性質(zhì)：

(i){Pν,μ(t)|t∈(0,+∞)}和{Qμ(t)|t∈(0,+∞)}是強(qiáng)連續(xù)的；

(ii)如果{S(t)|t∈(0,+∞)}是緊的，則{Pν,μ(t)|t∈(0,+∞)}和{Qμ(t)|t∈(0,+∞)}是緊算子；

(iii)對任意固定的t∈(0,+∞)，Pν,μ(t)和Qμ(t)是線性算子，且對任意的x∈X，有

(4)

定義4[16]給定b∈(0,+∞)，x0∈X，xb∈E，如果對任意的ε∈(0，+∞)，總存在一個(gè)控制uε∈L2([0,b],U)，使得(1)對應(yīng)的解x(t;uε)滿足條件

‖Ξx(b;uε)-xb‖<ε,

則系統(tǒng)(1)在(0,b]上是偏近似可控的。

注記1特別地，當(dāng)E=X時(shí)，偏近似可控性概念與近似可控性概念一致。

2 主要結(jié)果

在本文中，我們給出以下假設(shè)：

(H1)S(t),t∈(0,+∞)是緊算子；

(H2)對每個(gè)t∈[0,b]，函數(shù)f(t,·):X→X是連續(xù)的，且對每個(gè)x∈X，函數(shù)f(·,x):[0,b]→X是強(qiáng)可測的；

(H3)存在一個(gè)正連續(xù)函數(shù)n∈C([0,b],R+)，使得對任意的(t,x)∈[0,b]×X，都有

‖f(t,x)‖≤n(t)；

(H4)函數(shù)g:C((0,b],X)→X是連續(xù)的，且存在一個(gè)正常數(shù)Λg，使得對任意的x∈X，都有

‖g(x)‖≤Λg；

(H5)存在δ∈(0,b)，使得對任意的x,y∈C((0,b],X)，都有

x(t)=y(t)，t∈[δ,b]，

g(x)=g(y)；

(H6)線性分?jǐn)?shù)階微分系統(tǒng)

(5)

在(0,b]上是偏近似可控的。

對任意的ε∈(0,+∞)，n=1,2,3,…，定義泛函

(6)

其中

(7)

并定義算子Q:Cν,μ((0,b],X)→E如下：

=Q1(x)+Q2(x)。

(8)

證明見本文OSID開放科學(xué)數(shù)據(jù)與內(nèi)容。

證明見本文OSID開放科學(xué)數(shù)據(jù)與內(nèi)容。

證明見本文OSID開放科學(xué)數(shù)據(jù)與內(nèi)容。

證明見本文OSID開放科學(xué)數(shù)據(jù)與內(nèi)容。

證明見本文OSID開放科學(xué)數(shù)據(jù)與內(nèi)容。

對任意的ε∈(0,+∞),n=1,2,3，…，定義算子Θε,n:Cν,μ((0,b],X)→Cν,μ((0,b],X)如下：

(9)

根據(jù)式(3)可得

(10)

證明見本文OSID開放科學(xué)數(shù)據(jù)與內(nèi)容。

證明見本文OSID開放科學(xué)數(shù)據(jù)與內(nèi)容。

對任意的ε∈(0,+∞)，t∈(0,b]，定義(Θεx)(t)如下：

(11)

(12)

(13)

在Cν,μ((0,b],X)中的一個(gè)適度解。

我們定義近似解集D如下：

對任意的yε,n∈D,n=1,2,3,…，定義

由假設(shè)(H5)可得

由S(t)和g的連續(xù)性，當(dāng)n→+∞時(shí)，

故D(0)在X中是相對緊的。

(ii)對任意的t∈(0,b]，集合D(t)={yε,n(t)|n=1,2,3，…}在X中是相對緊的。

(iii)D在t=0處是等度連續(xù)的。

故集合D在t=0處是等度連續(xù)的。

(iv)D在(0,b]上是等度連續(xù)的。

對任意的yε,n∈D，0

=I1+I2+I3+I4。

由假設(shè)(H4)及Pν,μ(t)，t∈(0,+∞)的強(qiáng)連續(xù)性，對任意的yε,n∈D，當(dāng)t2→t1時(shí)，

當(dāng)t2→t1時(shí)，

當(dāng)t2→t1時(shí)，

選取η∈(0,+∞)，使得t1-η∈(0,+∞)，由Rμ(t),t∈(0,+∞)的連續(xù)性，當(dāng)t2→t1，η→0時(shí)，

綜上，集合D在(0,b]上是等度連續(xù)的。

因此集合D在C([0,b],X)中是相對緊的。故可以假設(shè)：當(dāng)n→+∞時(shí)，

yε,n→yε∈C([0,b],X),

則由引理7得，uε,n(s,xε,n)→uε(s,xε)。

由定理2知，控制系統(tǒng)(13)有解xε，即對任意的ε∈(0,+∞)，存在xε∈Cν,μ((0,b],X)，使得

定理3 若假設(shè)(H1)～(H6)成立，則系統(tǒng)(1)在(0,b]上是偏近似可控的.

故對任意的τ∈R，ψ∈X，有

(14)

當(dāng)τ∈(0,+∞)時(shí)，式(14)兩邊同除以τ得

令τ→0+可得

(15)

當(dāng)τ∈(-∞,0)時(shí)，也進(jìn)行類似的討論，可得

(16)

結(jié)合式(15)、(16)有

(17)

注意到

故

(18)

結(jié)合式(17)、(18)可得

|〈Ξxε(b)-xb,ψ〉|≤ε‖ψ‖。

(19)

由式(19)可得

‖Ξx(b;uε)-xb‖<ε,

即系統(tǒng)(1)是偏近似可控的。

3 結(jié)論

我們最終得到了控制系統(tǒng)(1)在(0,b]上偏近似可控的充分條件，即假設(shè)(H1)～(H6)成立。本文的研究結(jié)果比相關(guān)問題的現(xiàn)有成果更具一般性。事實(shí)上，以下兩類經(jīng)典的分?jǐn)?shù)階發(fā)展方程是本文所研究的分?jǐn)?shù)階發(fā)展方程的特例：

當(dāng)算子C=I為恒等算子，階數(shù)ν=0時(shí)，系統(tǒng)(1)變?yōu)?/p>

(20)

當(dāng)算子C=I為恒等算子，階數(shù)ν=1時(shí)，系統(tǒng)(1)變?yōu)?/p>

(21)