基于Kramers-Kronig方程的油紙絕緣寬頻域介電過(guò)程參數(shù)提取與分析

王 柯，李中為，趙 麗，范繼鋒，賈雅君

（1.烏海超高壓供電局，內(nèi)蒙古 烏海 016000；2.上海交通大學(xué)，上海 200240）

0 引言

油紙絕緣復(fù)合材料作為電力系統(tǒng)中最常見的絕緣結(jié)構(gòu)，由于兼具優(yōu)異的散熱性能和絕緣強(qiáng)度，被廣泛應(yīng)用于各類電力系統(tǒng)一次設(shè)備中[1]。絕緣結(jié)構(gòu)的性能優(yōu)劣顯著影響著設(shè)備乃至整個(gè)電力系統(tǒng)的運(yùn)行安全，因而長(zhǎng)期受到業(yè)界的重視。隨著智能電網(wǎng)建設(shè)的推進(jìn)和超/特高壓輸電系統(tǒng)在我國(guó)的建成和投運(yùn)，傳統(tǒng)絕緣評(píng)估手段如介質(zhì)損耗測(cè)量、油中溶解氣體分析(dissolved gas analysis，DGA)以及絕緣電阻測(cè)量等已不能滿足日益嚴(yán)格的現(xiàn)場(chǎng)電力設(shè)備安全標(biāo)準(zhǔn)[2]。在此背景下，以絕緣材料介電響應(yīng)原理為基礎(chǔ)的新型評(píng)估方法獲得了研究人員的廣泛關(guān)注。其中，頻域介電譜(frequency domain spectroscopy，F(xiàn)DS)相較于以回復(fù)電壓法(recovery voltage method，RVM)和極化/去極化電流(polarization and depolarization current，PDC)法為代表的時(shí)域介電響應(yīng)評(píng)估法，由于能夠提供更為豐富的診斷信息，同時(shí)抗干擾能力更強(qiáng)，更適用于現(xiàn)場(chǎng)設(shè)備的狀態(tài)評(píng)估[3]。

目前，采用FDS評(píng)估油紙絕緣的相關(guān)研究可大致分為兩個(gè)方向：①基于測(cè)量圖譜特征參量的提取及其與油紙絕緣狀態(tài)參量（水分含量、老化時(shí)間等）的對(duì)比，如廖瑞金等[4]利用寬頻帶介質(zhì)損耗圖譜建立了FDS特征參量與油紙絕緣樣品老化時(shí)間的擬合方程；D LINHJELL等[5]利用FDS的相關(guān)特征量進(jìn)行油紙絕緣的受潮觀察。②基于電介質(zhì)物理的FDS機(jī)理解釋，如董明等[6]對(duì)FDS進(jìn)行了解譜分析；周利軍等[7]研究了低頻帶油紙絕緣的低頻彌散現(xiàn)象。然而，由于對(duì)FDS的微觀機(jī)理還有待深入研究，目前尚未建立被廣泛接受的、基于可靠物理意義的頻域介電譜模型，制約了FDS在現(xiàn)場(chǎng)應(yīng)用方面的進(jìn)一步推廣。

本研究將頻譜分析領(lǐng)域的重要關(guān)系——Kramers-Kronig方程（簡(jiǎn)稱K-K方程）引入FDS的復(fù)介電常數(shù)實(shí)部數(shù)據(jù)分析中，揭示介電譜實(shí)部在油紙絕緣介電響應(yīng)中的相關(guān)原理，對(duì)寬頻帶內(nèi)對(duì)各種物理過(guò)程進(jìn)行觀察表征，進(jìn)而定量比較各介電過(guò)程的權(quán)重，驗(yàn)證K-K方程在FDS分析領(lǐng)域的有效性。

1 相關(guān)理論

1.1 Kramers-Kronig變換

Kramers-Kronig關(guān)系是廣泛存在于光譜、材料頻譜分析以及射頻電磁波領(lǐng)域的一種反映激勵(lì)與響應(yīng)間復(fù)解析函數(shù)實(shí)、虛部關(guān)系的普適規(guī)律[8]。具體而言，復(fù)函數(shù)系統(tǒng)的實(shí)部可以表示為其虛部的積分形式，反之亦然，如式（1）所示。

式（1）中：P為積分的柯西主值；ω為激勵(lì)的角頻率，與激勵(lì)源頻率f的關(guān)系為ω=2πf；φ′(ω)和φ″(ω)分別表示頻域內(nèi)復(fù)函數(shù)系統(tǒng)的實(shí)部和虛部，積分公式被稱為柯西主值積分。

以姚熹院士為代表的諸多學(xué)者已經(jīng)對(duì)K-K方程在電介質(zhì)物理領(lǐng)域的適用性進(jìn)行了證明[8]，然而，相較于光學(xué)或射頻通信領(lǐng)域的極高頻帶，油紙絕緣的FDS測(cè)量頻帶集中在10-3～103Hz，兩者相差較大，因此現(xiàn)有研究尚未建立基于K-K方程的FDS分析方法。

1.2 FDS相關(guān)理論

簡(jiǎn)單而言，F(xiàn)DS譜圖源于施加在樣品的電壓激勵(lì)與其電流響應(yīng)之間的相位及幅值相關(guān)關(guān)系。而復(fù)介電常數(shù)ε*(ω)和介質(zhì)損耗因數(shù)tanδ(ω)是FDS最常用的測(cè)量參量，其相關(guān)關(guān)系如式（2）所示。

式（2）中：I*表示流過(guò)樣品的體電流；U*表示施加在樣品上的電壓；i表示為虛數(shù)單位；C0表示樣品的幾何電容。

介質(zhì)損耗因數(shù)的確定受制于復(fù)介電常數(shù)的虛部和實(shí)部之比，不能直接反映電介質(zhì)在頻域內(nèi)的物理過(guò)程。復(fù)介電常數(shù)的實(shí)部和虛部分別對(duì)應(yīng)響應(yīng)電流的容性分量和阻性分量，因此從微觀角度而言，實(shí)部可以用來(lái)衡量電荷在電介質(zhì)內(nèi)部的存儲(chǔ)特性，而虛部則表征電介質(zhì)在交變電場(chǎng)下的能量損耗。

從電荷運(yùn)動(dòng)角度討論，在交變電場(chǎng)內(nèi)，電荷的運(yùn)動(dòng)類型包括極化和電導(dǎo)兩種。其中，極化過(guò)程不僅會(huì)引起電荷在陷阱中的存儲(chǔ)，還會(huì)在外施交變電場(chǎng)頻率與其極化頻率相近時(shí)造成顯著的弛豫損耗，損耗在ωτ=1（τ為極化過(guò)程的時(shí)間常數(shù)）時(shí)達(dá)到峰值。而電導(dǎo)過(guò)程不會(huì)對(duì)電荷的存儲(chǔ)造成影響，是一個(gè)純損耗過(guò)程。綜上所述，復(fù)介電常數(shù)虛部的頻譜曲線具有更加明確的物理意義和更豐富的信息，因而在FDS機(jī)理研究中更受重視，而針對(duì)實(shí)部的研究鮮有報(bào)道。

1.3 K-K方程應(yīng)用于FDS的推導(dǎo)

基于1.1和1.2兩節(jié)內(nèi)容可知，K-K方程能夠表征復(fù)介電常數(shù)實(shí)部與虛部的對(duì)應(yīng)關(guān)系，但想要實(shí)現(xiàn)二者的互相推導(dǎo)，由式（1）可知，還需要其中一個(gè)參量的函數(shù)模型。在頻域內(nèi)電介質(zhì)物理學(xué)定量描述單一極化過(guò)程和電導(dǎo)過(guò)程的經(jīng)典方程分別是Debye方程和交流電導(dǎo)模型，分別如式（3）、式（4）所示。由式（3）可以看出，極化過(guò)程的表達(dá)式為實(shí)、虛部均不為零的復(fù)數(shù)，因此極化過(guò)程同時(shí)影響介電常數(shù)實(shí)部和虛部；由式（4）可以看出，電導(dǎo)過(guò)程的表達(dá)式為實(shí)部等于零的虛數(shù)，因此電導(dǎo)過(guò)程僅影響復(fù)介電常數(shù)虛部。

式（3）～（4）中：εpolar*(ω)和εresis*(ω)分別表示僅考慮極化損耗和電導(dǎo)損耗情況下的復(fù)介電常 數(shù)；ε∞和εs分別表示光頻相對(duì)介電常數(shù)和靜態(tài)相對(duì)介電常數(shù)；σ0表示直流電導(dǎo)率；ε0表示真空介電常數(shù)。

通過(guò)式（3）和式（1）的推導(dǎo)和聯(lián)立可知，單一極化過(guò)程引起的實(shí)部與虛部對(duì)應(yīng)變化符合K-K方程。然而對(duì)于實(shí)際材料的頻域介電響應(yīng)，在整個(gè)寬頻帶內(nèi)包含了多個(gè)不同的介電過(guò)程，這些過(guò)程之間在某些頻段內(nèi)還存在交聯(lián)、重疊或掩蓋等現(xiàn)象，因此電介質(zhì)材料的頻域介電響應(yīng)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)通常無(wú)法通過(guò)K-K方程實(shí)現(xiàn)互相推導(dǎo)。然而，基于前文對(duì)實(shí)部和虛部物理含義的分析，利用K-K方程可以實(shí)現(xiàn)極化過(guò)程與電導(dǎo)過(guò)程的有效分離。這一過(guò)程的實(shí)現(xiàn)能夠?yàn)樯钊肜斫釬DS的物理機(jī)理奠定重要基礎(chǔ)?？紤]到K-K方程在實(shí)際計(jì)算中的繁瑣與不便，參考文獻(xiàn)[9]的三對(duì)角線矩陣算法和Debye方程解析式，對(duì)其進(jìn)行近似優(yōu)化，如式（5）所示。

式（5）中：k為常數(shù)，取1～4的正整數(shù)，表示保留解析式的前4項(xiàng)；ak具體取值分別為0.445 3、0.227 26、-0.110 0、0.134 58。通過(guò)前文分析可知，式（5）中的ε″KK(ω)是由極化過(guò)程引起的復(fù)介電常數(shù)虛部，由于復(fù)介電常數(shù)虛部與介質(zhì)在交流電場(chǎng)中的損耗相關(guān)[10]，本研究中ε″KK(ω)的物理內(nèi)涵可以概括為極化引起的損耗因子，是構(gòu)成電介質(zhì)材料阻性響應(yīng)電流的一個(gè)分量。

2 試驗(yàn)

為驗(yàn)證1.3中的相關(guān)推導(dǎo)，需要對(duì)油紙絕緣樣品進(jìn)行FDS測(cè)量。本研究中選擇變壓器中常用的克拉瑪依25號(hào)礦物油和厚度為2 mm的纖維素絕緣紙板作為樣品。

油浸紙樣品的制備：將絕緣油和紙板在100℃高溫條件下放置1 d以上去除水分，獲得干燥樣品；在密封的罐體內(nèi)真空條件下將干燥紙板浸入干燥絕緣油中靜置2 d以上，以保證浸漬充分；制備好的油浸紙板在真空環(huán)境儲(chǔ)存，避免接觸空氣中的水分和氣體。

樣品制備完成后采用IDAX-300型絕緣診斷分析儀進(jìn)行頻域介電譜測(cè)量，測(cè)量頻率范圍為10-3～104Hz。采用直徑為30 cm的圓柱形銅板作為FDS的測(cè)量電極，采用三電極系統(tǒng)為表面泄漏電流提供回路，以減少測(cè)量誤差。為了獲得多條不同的油紙絕緣樣品FDS曲線，選擇在不同溫度下對(duì)樣品進(jìn)行測(cè)量并通過(guò)溫度傳感器記錄溫度，設(shè)置的試驗(yàn)溫度分別為30、40、50、60、70℃。整個(gè)試驗(yàn)裝置的接線圖如圖1所示。

圖1 FDS測(cè)量接線圖Fig.1 Wiring diagram of FDS test

3 數(shù)據(jù)處理與分析

3.1 油紙絕緣復(fù)介電常數(shù)譜觀察

在不同溫度下測(cè)得油浸紙板樣品的介電常數(shù)實(shí)部和虛部數(shù)據(jù)如圖2所示。需要指出的是，根據(jù)相關(guān)研究的慣例，在表征FDS曲線時(shí)橫坐標(biāo)采用電壓頻率f，與前文理論部分K-K方程及Debye方程等相關(guān)模型中的變量ω呈正比，具體關(guān)系為ω=2πf。

圖2 各溫度下油紙絕緣的FDS測(cè)量數(shù)據(jù)Fig.2 FDS measurement results of oil-paper insulation at different temperatures

從圖2可以看出，隨著溫度的升高，頻譜曲線表現(xiàn)出向右移動(dòng)的趨勢(shì)，這一現(xiàn)象的物理機(jī)制在于溫度升高會(huì)提高微觀電荷的動(dòng)能，進(jìn)而令電荷在電場(chǎng)作用力下越過(guò)能量勢(shì)壘實(shí)現(xiàn)重新分布的速率提升，大量相關(guān)文獻(xiàn)的定量分析表明，F(xiàn)DS在不同溫度下的頻移特性符合Arrhenius方程[10]，因此將頻域內(nèi)材料的介電過(guò)程溫度特性歸納為Arrhenius過(guò)程[5]。

從圖2還可以看出，僅用于表征電荷存儲(chǔ)的實(shí)部圖譜在10-3～100Hz呈現(xiàn)出下降的趨勢(shì)，通過(guò)式（3）可知，在此頻帶范圍內(nèi)存在極化與電場(chǎng)頻率的“共振”，基于K-K方程的因果關(guān)系，虛部在同一頻帶內(nèi)必然存在相應(yīng)的響應(yīng)。而式（4）表明，阻性電流造成的損耗在交變電場(chǎng)下與頻率成反比，即在低頻帶范圍內(nèi)的阻性損耗顯著，也正因?yàn)樽栊該p耗顯著的緣故，在圖2(b)中低頻段，表征能量損耗的介電常數(shù)虛部大致呈線性下降的趨勢(shì)。綜合以上分析，實(shí)測(cè)FDS存在極化過(guò)程和電導(dǎo)過(guò)程的交聯(lián)重疊，為微觀過(guò)程的觀測(cè)分析帶來(lái)了困難。

通過(guò)圖2還可以看出，表征損耗的介電常數(shù)虛部曲線隨溫度升高而向右平移，與極化的溫度特性，即Arrhenius函數(shù)的規(guī)律吻合。

3.2 K-K變換對(duì)實(shí)部數(shù)據(jù)的處理

通過(guò)式（5）的優(yōu)化K-K方程對(duì)實(shí)部數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，以驗(yàn)證K-K變換在分類交聯(lián)重疊頻段極化損耗的有效性。

以40℃的樣品數(shù)據(jù)為例，圖3展示了實(shí)測(cè)虛部數(shù)據(jù)ε″(ω)和基于K-K方程變換后的推導(dǎo)數(shù)據(jù)ε″KK(ω)。

圖3 K-K變換所得虛部與實(shí)測(cè)虛部對(duì)比Fig.3 Comparison of measured imaginary parts and imaginary parts obtained by K-K transformation

由圖3可見，ε″(ω)和ε″KK(ω)在頻率大于100Hz頻帶內(nèi)數(shù)據(jù)趨于一致，但在低頻范圍內(nèi)差異顯著，與ε″(ω)在低頻帶內(nèi)近似呈線性下降不同，ε″KK(ω)在這一頻段內(nèi)先上升后下降，出現(xiàn)了損耗峰。根據(jù)電介質(zhì)相關(guān)理論可知，虛部呈峰狀是弛豫型極化損耗的典型特征，這與本研究理論部分的分析，即通過(guò)K-K方程的定量關(guān)系和復(fù)介電實(shí)部頻譜數(shù)據(jù)，推導(dǎo)復(fù)介電常數(shù)中與極化過(guò)程相關(guān)的損耗分量，在一定程度上吻合。

為了進(jìn)一步驗(yàn)證K-K變換的效果，基于第2節(jié)的理論分析可知，產(chǎn)生介質(zhì)損耗的阻性響應(yīng)電流由極化和電導(dǎo)過(guò)程共同決定，兩種電流分量無(wú)相位差，通過(guò)相加可得到總損耗電流，再考慮到復(fù)介電常數(shù)虛部與阻性電流的定量關(guān)系，可將圖3中的實(shí)測(cè)點(diǎn)與基于K-K變換的推導(dǎo)點(diǎn)直接對(duì)應(yīng)相減，得到的頻域曲線應(yīng)為純電荷傳導(dǎo)引起的損耗項(xiàng)。為減小數(shù)據(jù)處理過(guò)程的誤差，僅選取10-3～100Hz的數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行處理，并對(duì)處理后的差值譜線基于最小二乘法原理進(jìn)行擬合，結(jié)果如圖4所示，擬合方程為lgε″=-1.039 81 lgf-1.492，擬合優(yōu)度R2=0.986。

圖4 阻性損耗的擬合結(jié)果Fig.4 Fitting result of resistance loss

由圖4可見，在lgf-lgε″坐標(biāo)系中，阻性損耗點(diǎn)的擬合方程為一條直線，斜率接近-1，與式（4）接近，表明計(jì)算所得的阻性損耗與相關(guān)機(jī)理吻合，驗(yàn)證了K-K方程的有效性。

3.3 基于K-K方程的電荷極化損耗與傳導(dǎo)損耗對(duì)比分析

本研究1.3節(jié)通過(guò)理論分析提出了一種K-K方程在油紙絕緣FDS分析中的應(yīng)用思路，而3.2節(jié)基于實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)驗(yàn)證了這一思路的有效性，并直觀地揭示了在較低頻帶內(nèi)電荷的極化損耗和電導(dǎo)損耗共存的物理事實(shí)?；?.2節(jié)的數(shù)據(jù)處理方法，對(duì)所測(cè)量的多條FDS曲線進(jìn)行求解，量化研究極化時(shí)間較長(zhǎng)的弛豫過(guò)程在總體極化中所占權(quán)重。

對(duì)試驗(yàn)測(cè)得的不同溫度下復(fù)介電常數(shù)實(shí)部圖譜進(jìn)行與3.1節(jié)方法相似的K-K變換處理，處理頻段為10-3～100Hz。在獲得各溫度下從重疊頻段內(nèi)分離而來(lái)的極化損耗譜線基礎(chǔ)上，得到各溫度的極化損耗在峰值點(diǎn)占整體損耗的權(quán)重如圖5所示。

圖5 不同溫度下極化損耗與阻性損耗占比Fig.5 Proportion of polarization loss and resistive loss at different temperatures

電介質(zhì)材料頻譜分析的相關(guān)文獻(xiàn)中常將低頻段的復(fù)介電常數(shù)虛部視為電導(dǎo)過(guò)程的主導(dǎo)頻帶，在這一區(qū)域內(nèi)，不存在極化損耗或者極化損耗相較于電導(dǎo)損耗可以忽略不計(jì)。然而，圖5的結(jié)果表明，至少針對(duì)油浸紙板這一復(fù)合材料，上述結(jié)論并不適用：對(duì)于在頻域內(nèi)呈峰狀的極化損耗，在常見溫度范圍內(nèi)，其峰值附近的損耗量值占整體損耗的比例為30%～50%，且該占比與溫度呈正相關(guān)。可見，油紙絕緣低頻帶的極化在峰值附近引起的損耗與阻性損耗量級(jí)相當(dāng)，不能忽略不計(jì)。

4 結(jié)論

本研究將Kramers-Kronig方程應(yīng)用于FDS分析，結(jié)合對(duì)材料復(fù)介電常數(shù)物理內(nèi)涵的分析解釋，提出了K-K方程具體的應(yīng)用思路及在FDS分析中實(shí)現(xiàn)低頻極化損耗分量的提取和觀察。在充分驗(yàn)證這一手段有效性的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步比較了極化損耗在整體損耗中的權(quán)重情況。主要得到以下結(jié)論：

（1）由于電荷傳導(dǎo)和存儲(chǔ)等不同物理過(guò)程的共存現(xiàn)象，F(xiàn)DS測(cè)量頻帶內(nèi)介電常數(shù)的實(shí)部和虛部并不直接符合K-K關(guān)系，因此，可以利用K-K方程分離交聯(lián)重疊頻帶內(nèi)的純極化分量。

（2）基于Debye方程的表達(dá)式，提出了優(yōu)化的K-K方程多項(xiàng)式形式，以便對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理。

（3）K-K方程變換結(jié)果表明油紙絕緣FDS圖譜低頻帶的復(fù)介電常數(shù)由峰狀的極化損耗和線性的阻性損耗共同構(gòu)成。

（4）極化引起的損耗在峰值處與電導(dǎo)損耗量級(jí)相當(dāng)，且其占整體損耗的比例與溫度呈正相關(guān)。