基于k/n（G）模型的MMC系統(tǒng)可靠性建模與分析

鄭文迪，許啟東，邵振國(guó)，周騰龍，李怡馨，曾祥勇

（1.福州大學(xué)電氣工程與自動(dòng)化學(xué)院，福建福州 350108；2.福建省電器智能化工程技術(shù)研究中心，福建福州 350108；3.中國(guó)能源建設(shè)集團(tuán)湖南省電力設(shè)計(jì)院有限公司，湖南長(zhǎng)沙 410007）

模塊化多電平換流器（modular multilevel converter,MMC）自提出以來(lái)便受到了國(guó)內(nèi)外學(xué)者廣泛的關(guān)注[1-3]，目前對(duì)MMC 的研究主要圍繞子模塊（submodule，SM）拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)[4]、控制策略[5]和調(diào)制策略[6]及諧波抑制[7]等方面展開(kāi).此外，可靠性也是MMC 系統(tǒng)設(shè)計(jì)和運(yùn)行時(shí)需要考慮的關(guān)鍵因素[8].為了提高M(jìn)MC 可靠性，在實(shí)際工程中通常會(huì)進(jìn)行冗余配置[9].因此，有必要對(duì)配置冗余子模塊的MMC 系統(tǒng)進(jìn)行可靠性分析.目前已有相關(guān)學(xué)者對(duì)MMC 可靠性展開(kāi)相關(guān)研究.丁明等基于k/n（G）模型，建立了兩電平電壓源換流器的可靠性模型，計(jì)算了不同電壓等級(jí)和不同冗余度下的換流閥可靠性指標(biāo)，并以可靠性指標(biāo)配置換流閥模塊最優(yōu)冗余數(shù)目[10].許建中等提出了基于經(jīng)典概率理論的具有故障穿越能力的混合MMC的可靠性模型，并基于該模型對(duì)三維曲面進(jìn)行一階差分，求解出不同子模塊拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的MMC 冗余配置比[11].郭靜麗等建立了子模塊處于壽命曲線的穩(wěn)定運(yùn)行期的可靠性模型，并分別從故障率、電壓水平、電壓偏差三個(gè)角度對(duì)MMC 進(jìn)行綜合性能評(píng)估[12].然而上述文獻(xiàn)都是在各子模塊、控制模塊可靠性完全獨(dú)立條件下進(jìn)行的MMC 可靠性分析，未考慮同一橋臂中各模塊間存在的相關(guān)特征.而文獻(xiàn)[13]通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了某些子模塊發(fā)生故障時(shí)，同一橋臂上其余子模塊的電容電壓紋波幅值均受到了不同程度的影響；文獻(xiàn)[14]進(jìn)一步指出，相間環(huán)流會(huì)流經(jīng)同一橋臂所有的子模塊，子模塊的工作狀態(tài)具有一定的相關(guān)性.文獻(xiàn)[15-16]假設(shè)各子模塊間存在相關(guān)性，基于Copula 理論建立了MMC 可靠性模型，并在模型基礎(chǔ)上計(jì)算了MMC 橋臂可靠性.但其主要存在以下兩點(diǎn)不足：第一，該方法雖考慮了各子模塊間的相關(guān)性，但未能給出子模塊間的相關(guān)系數(shù)的確定方法；第二，未考慮橋臂控制模塊與各個(gè)子模塊之間的相關(guān)性的研究.文獻(xiàn)[17]中明確指出，不同工況下熱備用控制策略中算法時(shí)間復(fù)雜度及空間復(fù)雜度不同，導(dǎo)致了相間環(huán)流、子模塊電容電壓波動(dòng)幅值減小的程度也不盡相同.此外，不同容錯(cuò)控制策略的算法計(jì)算量不同，也會(huì)導(dǎo)致相應(yīng)子模塊投入時(shí)間有所不同，所以，子模塊出現(xiàn)故障時(shí)會(huì)導(dǎo)致其他電容電壓紋波出現(xiàn)不同程度變化[18].總而言之，不同的控制策略會(huì)導(dǎo)致各個(gè)子模塊的紋波電壓有不同程度的變化.因此，同一橋臂各個(gè)子模塊及控制模塊之間并不是嚴(yán)格獨(dú)立的，忽略MMC 各模塊間相關(guān)性，一定程度上會(huì)影響實(shí)際工程MMC-HVDC 系統(tǒng)的可靠性分析計(jì)算結(jié)果.

針對(duì)上述不足，本文首先在MMC 拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上建立各元件的可靠性模型，充分考慮各個(gè)模塊間的相關(guān)性，并通過(guò)極大似然估計(jì)法得到相關(guān)系數(shù)；基于k/n（G）模型建立MMC 可靠性分析模型，進(jìn)一步討論在運(yùn)行年數(shù)、相關(guān)系數(shù)和子模塊數(shù)量不同時(shí)MMC 可靠性變化規(guī)律；最后，通過(guò)算例分析，得到MMC 可靠性設(shè)計(jì)和優(yōu)化的方案.MMC 可靠性建模與分析流程如圖1 所示.

圖1 可靠性建模與分析方法流程圖Fig.1 Flow diagram of reliability modeling and analysis method

1 MMC 結(jié)構(gòu)

1.1 MMC 拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)

MMC 上、下橋臂分別由N 個(gè)必備子模塊和N0個(gè)冗余子模塊級(jí)聯(lián)構(gòu)成，如圖2 所示為直流側(cè)電壓，O 為直流側(cè)零電位參考點(diǎn).目前實(shí)際工程應(yīng)用中，子模塊通常采用半橋結(jié)構(gòu)[19]，故本文選用半橋結(jié)構(gòu)進(jìn)行可靠性分析.

圖2 MMC 拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)Fig.2 Configuration of MMC

1.2 子模塊結(jié)構(gòu)

每個(gè)半橋子模塊由2 個(gè)IGBT 模塊T1 和T2、儲(chǔ)能電容C、均壓電阻RP和保護(hù)開(kāi)關(guān)（旁路開(kāi)關(guān)K1 和壓接式封裝晶閘管K2）等一次設(shè)備以及取能電路、子模塊控制器（光纖通信驅(qū)動(dòng)和集成電路）等二次設(shè)備組成，具體如圖3 所示.

圖3 半橋子模塊結(jié)構(gòu)示意圖Fig.3 Configuration of a half-bridge submodule

2 MMC 模塊可靠性分析方法

2.1 Copula 理論

隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)能反映變量間的相關(guān)特性.因此，對(duì)于分析多維變量間的相關(guān)性最直接最有效的方法就是求解多維變量的聯(lián)合分布函數(shù).但若隨機(jī)變量服從非正態(tài)分布，其聯(lián)合分布函數(shù)的顯式表達(dá)式不易得出[20].而Copula 函數(shù)是一類(lèi)可將變量的聯(lián)合分布函數(shù)與它們各自的邊緣分布函數(shù)連接到一起的函數(shù)，為求解聯(lián)合分布函數(shù)提供了新的思路.

任何一個(gè)多維聯(lián)合分布函數(shù)都可由若干個(gè)邊緣分布函數(shù)以及描述相關(guān)結(jié)構(gòu)的Copula 函數(shù)來(lái)表示[21].為了最大限度地反映信息量間的相關(guān)性和最簡(jiǎn)潔的結(jié)構(gòu)[22-23]，可以從多個(gè)候選Copula 函數(shù)中選擇生成元為φ1/（1-θ）（t）=（-lnu）1/1-θ的Gumbel-Copula 函數(shù)對(duì)MMC 進(jìn)行可靠性分析.二維Copula 函數(shù)定義為：

式（1）中，u、v 為隨機(jī)變量；θ∈（0，1），為隨機(jī)變量u和v 之間的相關(guān)系數(shù).若描述對(duì)象為多元聯(lián)合分布函數(shù)，則n 維Gumbel-Copula 函數(shù)為：

式（2）中，θ=0 表示所有MMC 模塊均獨(dú)立，θ=1 表示所有模塊均完全相關(guān)，在實(shí)際MMC 工程中不可能發(fā)生.

Sklar 定理[24]：令F（T1，T2，…，Tn）為具有邊緣分布F1（T1），F(xiàn)2（T2），…，F(xiàn)n（Tn）的N 維聯(lián)合分布函數(shù)，則存在一個(gè)Copula 函數(shù)滿足：

若F1（T1），F(xiàn)2（T2），…，F(xiàn)n（Tn）是連續(xù)函數(shù)，則這個(gè)Copula 函數(shù)是唯一確定的。

2.2 子模塊及橋臂控制模塊可靠性模型

根據(jù)圖3 所示的子模塊結(jié)構(gòu)以及運(yùn)行原理，可建立元件的組合關(guān)系如圖4 所示，子模塊的可靠性由IGBT 模塊、電容器、均壓電阻、保護(hù)開(kāi)關(guān)、子模塊控制器和電源供給等共同決定.

圖4 子模塊組合關(guān)系圖Fig.4 Block diagram of submodule

本文假設(shè)MMC 元件服從指數(shù)分布[25]，則子模塊可靠性為

式中：RSM、R1、Rcap、RRp、RK、RSMC、RPS分別為子模塊、IGBT 模塊、電容、均壓電阻、保護(hù)開(kāi)關(guān)、子模塊控制器和電源供給的可靠性函數(shù)；而λ1、λcap、λRp、λK、λSMC、λPS和λSM分別是IGBT 模塊、電容、均壓電阻、保護(hù)開(kāi)關(guān)、子模塊控制器（光纖通信驅(qū)動(dòng)設(shè)備和集成電路）、電源供給和子模塊的故障率.

同理，橋臂控制模塊的可靠性函數(shù)可以表示如下：

MMC 中各元件故障率如表1 所示.

表1 元件故障率Tab.1 Component failure rate data

2.3 相關(guān)系數(shù)獲取方法

假設(shè)各個(gè)模塊間均有相關(guān)性，相關(guān)系數(shù)的獲取通常采用極大似然估計(jì)[30]（Maximum likelihood estimation，MLE）.由于世界上第一個(gè)MMC-HVDC 工程——Trans Bay Cable 柔性直流輸電工程從2010 年才開(kāi)始投運(yùn)，從原始的子模塊壽命數(shù)據(jù)獲取相關(guān)系數(shù)暫時(shí)無(wú)法實(shí)現(xiàn)，因此，為了獲取模塊間的模擬壽命數(shù)據(jù)，可通過(guò)生成多組符合λSM、λcp指數(shù)分布規(guī)律的MMC 系統(tǒng)關(guān)鍵元件壽命隨機(jī)數(shù)據(jù)而獲取.

首先利用式（4）（5）求出模塊間累積分布函數(shù)為：

然后求取F（t）的反函數(shù)：

式（7）中，u 為[0，1]間的任意隨機(jī)數(shù)，其服從均勻分布.對(duì)u 進(jìn)行蒙特卡洛隨機(jī)抽樣，用指數(shù)分布擬合元件的壽命數(shù)據(jù)，因此，模塊間基于Copula 理論的極大似然函數(shù)為：

式中：p 是運(yùn)行年數(shù)；fi（Tit）是子模塊的概率密度函數(shù)；fcp（Tcp）=是橋臂控制模塊的概率密度函數(shù)；FN（TNt）=是子模塊的累計(jì)分布函數(shù)；Fcp（Tcp）=1-是橋臂控制模塊的累積分布函數(shù)；Tit、Tcp分別為第i 個(gè)子模塊和控制模塊的壽命隨機(jī)變量，i=1，2，…，N.將lnL 極大化，得到L（θ）參數(shù)的極大似然估計(jì)為：

通過(guò)求解式（9）便可以得到MMC 中子模塊的相關(guān)系數(shù)θ，進(jìn)而確定θ 的范圍.

3 基于k/n（G）模型的MMC 可靠性建模

MMC 三相完全對(duì)稱(chēng)，上、下橋臂也完全相同，而與子模塊密切相關(guān)的換流閥基控制系統(tǒng)也可分為上、下橋臂部分，控制器結(jié)構(gòu)也相同，其三相完全對(duì)稱(chēng)且具備一定的獨(dú)立性.因此，本文中MMC 可靠性以一個(gè)橋臂的可靠性來(lái)表征.

3.1 表決系統(tǒng)可靠性基本計(jì)算模型

k/n（G）系統(tǒng)是容錯(cuò)系統(tǒng)冗余特性下可靠性分析領(lǐng)域的主流選擇[31].文獻(xiàn)[32]和[33]給出了k/n（G）系統(tǒng)的定義：G 系統(tǒng)由n 個(gè)元件組成，當(dāng)k 個(gè)或k 個(gè)以上元件正常工作時(shí)，系統(tǒng)正常運(yùn)行；當(dāng)n-k+1 個(gè)元件故障時(shí)，系統(tǒng)故障，其可靠性示意模型如圖5 所示.

圖5 表決系統(tǒng)可靠性框圖Fig.5 Voting system reliability block diagram

3.2 計(jì)及模塊間相關(guān)性的MMC 可靠性建模

橋臂模塊組合關(guān)系如圖6 所示.當(dāng)配置冗余子模塊時(shí)，由k/n（G）表決系統(tǒng)可得，N+N0個(gè)子模塊以及橋臂控制模塊組成的系統(tǒng)，若有N 個(gè)及以上的子模塊和橋臂控制模塊同時(shí)滿足要求，此時(shí)橋臂正常工作；MMC 不可靠有以下兩種情況：子模塊故障數(shù)量大于N0，橋臂控制模塊故障.

圖6 橋臂模塊組合關(guān)系圖Fig.6 Block diagram of arm module

如圖6 的橋臂模塊組合關(guān)系所示，利用Copula函數(shù)的參數(shù)描述模塊間的相關(guān)程度，能較好地反映橋臂各模塊間的非線性相關(guān)特性，因此，本文考慮所有模塊間相關(guān)性用以描述實(shí)際控制裝置與子模塊之間的復(fù)雜關(guān)系，重點(diǎn)建立計(jì)及模塊間相關(guān)性的MMC可靠性分析模型.

假設(shè)初始時(shí)刻系統(tǒng)所有元件都處于理想狀態(tài)且同時(shí)開(kāi)始運(yùn)行，系統(tǒng)壽命取決于各元件壽命的最小值.借鑒文獻(xiàn)[31]中分析冗余配置下系統(tǒng)可靠性的模型，設(shè)t 時(shí)刻橋臂中有k 個(gè)子模塊和橋臂控制模塊都無(wú)故障運(yùn)行，橋臂中其余的N+N0-k 個(gè)子模塊故障，當(dāng)k 大于或者等于N 時(shí)，此時(shí)橋臂是可靠的，此時(shí)定義事件Am：{子模塊中有m 個(gè)正常工作，另外N+N0-m 個(gè)故障，且橋臂控制模塊正常，其中m≥N}，可靠性概率為RAN（t），且Am包含的基本事件個(gè)數(shù)為選擇數(shù)，則配置子模塊的橋臂可靠性函數(shù)為：

式（10）中，m 表示第j 次從所有子模塊中選擇的正常工作的子模塊個(gè)數(shù)，且N≤m≤N+N0.

然后利用加法公式和Sklar 定理，可以得到um的表達(dá)式為：

同理，xm可以看作ym和zm復(fù)合而成的Copula函數(shù)；zm可以看成N+N0-k 維的Copula 函數(shù).

其中，αk=1-um.

因此，配置冗余子模塊后的橋臂可靠性為：

若橋臂上僅有必備的子模塊，對(duì)比式（11），不難得到其可靠性函數(shù)為：

4 算例分析

以某柔性直流輸電工程[34]為例進(jìn)行可靠性分析.該工程每個(gè)橋臂有48 個(gè)子模塊實(shí)際投入運(yùn)行，另配有8 個(gè)冗余子模塊.通過(guò)150 組符合指數(shù)分布規(guī)律的MMC 子模塊和橋臂控制模塊壽命數(shù)據(jù)，代入式（8）中，求得相關(guān)系數(shù)θ 的平均值約為0.05 且取值范圍在0～0.1 之間.下面將在考慮模塊間的相關(guān)性的基礎(chǔ)上，分析MMC 可靠性變化趨勢(shì).

首先分析橋臂僅有必備子模塊時(shí)的可靠性，運(yùn)行年限t=20，由式（15）可計(jì)算出橋臂的可靠度并繪制曲面圖，如圖7 所示.

圖7 橋臂可靠度曲線Fig.7 Reliability curve of the arm

定義情況①：僅考慮所有子模塊相關(guān)；情況②：考慮橋臂控制模塊與所有子模塊間的相關(guān).從圖7可看出，隨著運(yùn)行年數(shù)的增加，MMC 橋臂可靠性迅速下降，當(dāng)運(yùn)行年數(shù)t=10 時(shí)橋臂可靠度已下降至很低水平，具有6 個(gè)橋臂的MMC 可靠性將更低，顯然不能滿足HVDC 系統(tǒng)的可靠性要求.同時(shí)，隨著運(yùn)行年數(shù)的增加，情況①與情況②下的橋臂可靠性計(jì)算偏差較大，兩者可靠度最大差值足有0.18.因此橋臂控制模塊對(duì)MMC 可靠性有較大影響，在實(shí)際工程中應(yīng)注意檢修與防護(hù)，延長(zhǎng)其壽命，有利于提高系統(tǒng)的可靠性.

由式（15）知，模塊間相關(guān)性對(duì)橋臂可靠性有影響，因此，進(jìn)一步單獨(dú)描述相關(guān)程度對(duì)橋臂可靠性的影響加以分析.橋臂可靠性隨運(yùn)行時(shí)間變化如圖8所示.從圖8 可看出，隨著運(yùn)行時(shí)間的增加橋臂可靠性迅速降低，且橋臂的可靠性隨著相關(guān)系數(shù)的增大而增大；對(duì)于同一相關(guān)系數(shù)，情況②的橋臂可靠性將明顯低于情況①的橋臂可靠性，并且相差越大越明顯，這也證明了忽略橋臂控制模塊與子模塊之間的相關(guān)性將對(duì)可靠性計(jì)算造成不準(zhǔn)確影響.在實(shí)際工程的MMC 可靠性設(shè)計(jì)中，應(yīng)綜合考慮各個(gè)模塊間相關(guān)性的影響，避免MMC 可靠性計(jì)算結(jié)果不精確.

圖8 考慮不同相關(guān)程度橋臂可靠度Fig.8 The arm reliability with different levels of relevance

下面進(jìn)一步分析配置冗余子模塊的橋臂可靠性，由式（14）計(jì)算得到相應(yīng)的可靠性數(shù)值如表2 所示，并繪制三維曲面如圖9 所示.

圖9 配置冗余子模塊的橋臂可靠性Fig.9 The arm reliability with configuring redundant SM

表2 橋臂可靠性Tab.2 Reliability of an arm

結(jié)合圖9 和表2 分析可知，對(duì)于配置冗余子模塊的橋臂而言，模塊間相關(guān)系數(shù)越大，橋臂的可靠性越高；當(dāng)使用時(shí)長(zhǎng)增加時(shí)，橋臂可靠性受相關(guān)系數(shù)的影響越來(lái)越顯著.

同樣地，分析橋臂可靠度隨模塊間相關(guān)程度的變化情況，其結(jié)果如圖10 所示.從圖10 中可看出，橋臂可靠性隨θ 的增大而增大，對(duì)于配置冗余子模塊的MMC，相關(guān)系數(shù)越大即相關(guān)性越強(qiáng)時(shí)，橋臂可靠性越高.其物理解釋為：隨著模塊間相關(guān)系數(shù)的增加，所有模塊壽命的增加或下降的變化趨勢(shì)將趨于一致，這種趨勢(shì)降低了橋臂模塊間的獨(dú)立性，換言之，較高相關(guān)系數(shù)等價(jià)于較少數(shù)量的等效獨(dú)立子模塊，橋臂的整體可靠性更接近于單個(gè)子模塊個(gè)體的可靠性.因此，綜合考慮MMC 各模塊間的相關(guān)性對(duì)設(shè)計(jì)MMC 可靠性有較大意義.

圖10 考慮模塊間不同相關(guān)程度的橋臂可靠度Fig.10 The arm reliability with different degrees of correlation among modules

不同的冗余子模塊數(shù)目所帶來(lái)的可靠性增益也不盡相同，需進(jìn)一步分析不同冗余子模塊對(duì)系統(tǒng)可靠性的影響，以便確定最佳冗余比.具體地，在表決系統(tǒng)的基礎(chǔ)上，取θ=0.05，運(yùn)行最大時(shí)間20 年，計(jì)算橋臂可靠度如圖11 所示.為了更加直觀地研究配置冗余子模塊后可靠性的提高情況，選取t=10 時(shí)，繪制出配置冗余子模塊個(gè)數(shù)與MMC 可靠性的關(guān)系圖，如圖12 所示.

從圖11 中可看出，當(dāng)子模塊冗余度增加時(shí)，橋臂可靠度在同一運(yùn)行年數(shù)也相應(yīng)增加，當(dāng)配置冗余數(shù)量N0=6 時(shí)，橋臂可靠度均達(dá)到0.5，且配置4 個(gè)冗余子模塊之后，再增加冗余子模塊，對(duì)提高可靠性的幅度不大；從圖12 可以看出，當(dāng)MMC 運(yùn)行年限為10 年，配置4 個(gè)冗余子模塊時(shí)，MMC 可靠性有大幅度提升，超出該范圍后再增加冗余子模塊，可靠性的改善相對(duì)較小，反而導(dǎo)致經(jīng)濟(jì)性降低.因此，在算例分析中可以確定提出的可靠性模型的最佳冗余度為8.3%，為進(jìn)一步擴(kuò)大可靠性增益，可采用定期維護(hù)和檢修以保證MMC 系統(tǒng)高可靠性運(yùn)行.

圖11 考慮冗余子模塊數(shù)量的橋臂可靠度Fig.11 The arm reliability changes with redundant SM count

圖12 冗余配置后可靠性增益（t=10）Fig.12 Reliability gain graph with redundant configuration

5 結(jié)論

本文基于Copula 理論的變量聯(lián)合概率分布函數(shù)構(gòu)造方法，考慮橋臂控制模塊與所有子模塊間相關(guān)性，建立了基于半橋結(jié)構(gòu)的模塊可靠性模型，進(jìn)而基于k/n（G）模型建立了MMC 橋臂可靠性分析模型.最后，本文就相關(guān)程度冗余子模塊數(shù)量對(duì)MMC 橋臂可靠性的影響進(jìn)行了定量分析，得到如下結(jié)論：

1）通過(guò)模擬MMC 系統(tǒng)元件的可靠性數(shù)據(jù)，利用極大似然估計(jì)獲取模塊間的相關(guān)系數(shù)，解決以往分析中無(wú)法反映模塊間相關(guān)程度的問(wèn)題.隨著實(shí)際運(yùn)行的可靠性數(shù)據(jù)愈加飽滿，本文方法也將為MMCHVDC 提供模擬數(shù)據(jù)的模型.

2）實(shí)際工程中綜合考慮MMC 各個(gè)模塊間的相關(guān)性，可進(jìn)一步提升可靠性分析的精確性.

3）考慮模塊間相關(guān)性時(shí)，算例反映了設(shè)置冗余比為8.3%，對(duì)MMC 系統(tǒng)可靠性有較大幅度提高，可在工程設(shè)計(jì)階段為其提供參考；同時(shí)，在MMC 運(yùn)行一段時(shí)間后，冗余配置對(duì)提高M(jìn)MC 可靠性貢獻(xiàn)不大，反而應(yīng)注意投入人力、物力對(duì)現(xiàn)役設(shè)備進(jìn)行維護(hù).