由不等式ex≥x+1產(chǎn)生聯(lián)想

安徽省太湖中學(246400) 李昭平 趙娟娟

恒成立不等式ex≥x+1(x ∈R)內(nèi)涵豐富、結(jié)構(gòu)精巧、應用廣泛，許多高考題都有它的影子.下面是筆者對其分析、思考和研究的結(jié)果，供參考.

1.對ex ≥x+1 的證明

證法1(圖象法)在同一坐標系下作出函數(shù)f(x)=ex和g(x)=x+1 的圖象，兩圖象均經(jīng)過定點(0,1)，且f′(0)=1，即直線g(x)=x+1 是曲線f(x)=ex在定點(0,1)處的切線，因此ex≥x+1(x ∈R，當且僅當x=0 時等號成立).

證法2(導數(shù)法)令f(x)=ex-x-1，則f′(x)=ex-1.顯然f(x) 在(-∞,0) 內(nèi)單減，在(0,+∞) 內(nèi)單增，因此f(x)mⅰn=f(0).于是f(x)≥f(0)=0，即ex≥x+1(x ∈R)，當且僅當x=0 時等號成立.

2.對ex ≥x+1 的聯(lián)想

聯(lián)想1ex-x≥1，當x=0 時，(ex-x)mⅰn=1.

聯(lián)想2lnx≤x-1(x ＞0)，當且僅當x=1 時等號成立.

簡證在ex≥x+1 中，將x換為x-1 得，ex-1≥x，ln ex-1≥lnx，即lnx≤x-1(x ＞0)，當且僅當x=1 時等號成立.

聯(lián)想3

由lnx≤x-1(x ＞0)易得，略去簡證.

聯(lián)想4ex≥ex，當且僅當x=1 時等號成立.

簡證在ex≥x+1 中，將x換為x-1 得，ex-1≥x，ex-1·e≥ex，即ex≥ex，當且僅當x=1 時等號成立.

聯(lián)想5lnx≤當且僅當x=e時等號成立.

簡證在lnx≤x-1 中，將x換為當且僅當x=e時等號成立.

聯(lián)想6

簡證由ex≥x+1 得，ex -1 ≥x.當x ＞0 時，1;當x ＜0 時，

聯(lián)想7eg(x)-lnh(x)≥g(x)-h(x)+2.

簡 證由lnx≤x -1 得，lnh(x) ≤h(x)-1，即-lnh(x)≥-h(x)+1.

由ex≥x+1 得，eg(x)≥g(x)+1.

兩個不等式相加得，eg(x)-lnh(x) ≥g(x)- h(x) +2(h(x)＞0)，當且僅當g(x)=0 和h(x)=1 同時成立時，取等號.

3.ex ≥x+1 和幾個聯(lián)想的應用

上述不等式ex≥x+1 和7 個聯(lián)想的結(jié)構(gòu)形式，在近些年來的高考和?？贾谐３３霈F(xiàn).對于一些客觀題，若能靈活運用，可以大大提高解題速度;對于一些主觀題，有時能為解題提供思路和方向，有時又能切實解決問題.下面舉例說明.

3.1 運用ex ≥x+1

例1(2019 三亞市?？碱})若對任意實數(shù)x ＞0，不等式tx+lnx+1 ≤xe3x恒成立，求實數(shù)t的取值范圍.

解析因為x ＞0，所以不等式tx+lnx+1 ≤xe3x恒成立等價于t≤即t≤而xe3x-lnx-1=elnx+3x-lnx-1.

由ex≥x+1(x ∈R) 知，elnx+3x≥lnx+3x+1，當且僅當lnx+3x=0 時等號成立，因此當且僅當lnx+3x=0(存在x)時取最小值3.于是t≤3，即實數(shù)t的取值范圍是(-∞,3].

說明本題是將不等式ex≥x+1(x ∈R)中的x換為lnx+3x.若換x為f(x)，則可以一般化為ef(x)≥f(x)+1，擴大了應用范圍.

3.2 運用(ex-x)mⅰn=1

例2(2020 合肥市模考題)已知不等式ex≥x+a-3對任意x ∈R 恒成立，則實數(shù)a的最大值是____

解析ex≥x+a -3 等價于a -3 ≤ex - x，即a-3 ≤(ex-x)mⅰn=1.因此a≤4.故a的最大值是4.

3.3 運用ln x ≤x-1(x ＞0)

例3(2019 海口市?？碱})方程ln(x+2)=x+b在(-2,+∞)內(nèi)有唯一實數(shù)根的充要條件是( )

A.b≤-1 B.b≥1 C.b=-1 D.b=1

解析由不等式lnx≤x-1(x ＞0) 得，ln(x+2) ≤x+2-1，當且僅當x+2=1，即x=-1 時取等號.因此ln(x+2)=x+b在(-2,+∞)內(nèi)有唯一實數(shù)根的充要條件是x+b=x+2-1，即b=1.故選D.

說明本題是將不等式lnx≤x-1(x ＞0)中的x換為x+2.若換x為g(x)，則可以一般化為lng(x) ≤g(x)-1，擴大了應用范圍.

例4(2020 濟南市?？碱})若函數(shù)f(x)=x(lnx-mx)只有一個極值點，則實數(shù)m的值是____

解析因為f′(x)=lnx-2mx+1，所以lnx=2mx-1有唯一正的實數(shù)根，即曲線y=lnx和直線y=2mx-1 在右半平面內(nèi)有唯一交點.

由lnx≤x-1(x ＞0) 可知，直線y=x-1 為曲線y=lnx在(1,0)處的切線，因此2m=1,m=

3.4 運用 ＞1(0 ＜x ＜1)和 ＜1(x ＞1)

例5(2017年高考全國Ⅱ卷) 已知函數(shù)f(x)=ax2-ax-xlnx，且f(x)≥0，求實數(shù)a的值.

解析函數(shù)f(x) 的定義域是(0,+∞).因為f(x)=x(ax-a-lnx)，所以f(x)≥0 等價于ax-a-lnx≥0，即

lnx≤ax-a.

當x ＞1 時，a≥由于且因此a≥1.當0＜x ＜1 時，由于因此a≤1.當x=1 時，等號成立，a ∈R.

綜上可知，實數(shù)a的值是1.

3.5 運用ex ≥ex

例6(2018 安慶市?？碱})若函數(shù)f(x)=xlnk-ex有零點，則實數(shù)k的取值范圍是( )

解析因為f(x)=xlnk -ex有零點，所以方程xlnk=ex有實數(shù)根.顯然x=0 不是其根，因此lnk=因為ex≥ex，當x ＞0 時，lnk=解得k≥.當x ＜0 時，lnk=＜0，解得0＜k ＜1.因此實數(shù)k的取值范圍是(0,1)∪[,+∞)，故選D.

3.6 運用＞1(x ＞0)和＜1(x ＜0)

例7(2018年高考全國Ⅲ卷)設(shè)函數(shù)f(x)=ex-ax-1，其中a ∈R.若f(x)≥0 在(-∞,+∞)內(nèi)恒成立，求a的值.

解析f(x) ≥0 就是ax≤ex-1.當x=0 時，等號成立，a ∈R.當x ＞0 時，a≤由于＞1(x ＞0)且因此a≤1.當x ＜0 時，a≥由于因此a≥1.綜上可知，實數(shù)a的值是1.

3.7 ln x ≤(x ＞0)和ex ≥ex 混用

例8(2018 南昌市?？碱}) 設(shè)a ∈R，函數(shù)f(x)=lnx-ax.

(Ⅰ)試討論函數(shù)f(x)在定義域上的單調(diào)性;

(Ⅱ)證明: 對任意x ＞0，ex-e2lnx ＞0 恒成立.

解析(Ⅰ)當a≤0 時，f(x)在(0,+∞)內(nèi)單增;當a ＞0時，f(x)在(0,)內(nèi)單增，在(,+∞)內(nèi)單減.過程略去.

(Ⅱ)因為lnx≤(x ＞0)，所以-e2lnx≥-e2·-ex，當且僅當x=e時等號成立.又因為ex≥ex(當且僅當x=1 時等號成立)，所以ex-e2lnx ＞ex+(-ex)，即對任意x ＞0，ex-e2lnx ＞0 恒成立.

例9(2014年高考全國Ⅰ卷)設(shè)函數(shù)f(x)=aexlnx+曲線y=f(x) 在點(1,f(1)) 處的切線方程是y=e(x-1)+2.

(Ⅰ)求實數(shù)a,b的值;(Ⅱ)證明:f(x)＞1(x ＞0).

解析(Ⅰ)a=1,b=2.過程略去.

(Ⅱ)f(x)＞1(x ＞0)就是exlnx+＞1(x ＞0).因為所以即于是

又因為ex≥ ex，所以當x ＞0 時，即當且僅當且x=1 時取等號，所以exlnx+中的等號不可能成立.故f(x)＞1(x ＞0).

3.8 運用eg(x)-ln h(x)≥g(x)-h(x)+2

例10(2020 漳州市模考題)若曲線f(x)=e3-2x與曲線φ(x)=ln(λ-2x)+1 有唯一公共點，則實數(shù)λ的值是

解析由題意知，問題轉(zhuǎn)化為方程e3-2x=ln(λ-2x)+1有唯一實數(shù)根.由eg(x)-lnh(x) ≥g(x)- h(x)+2得，e3-2x -ln(λ -2x) ≥ (3-2x)-(λ -2x)+2，即e3-2x -ln(λ -2x) ≥5- λ，1 ≥5- λ，λ≥4.當且僅當3-2x=0 和λ-2x=1 同時成立時，取等號，即λ=4時取等號.故實數(shù)λ的值是4.

例11(2013 全國Ⅱ卷題) 設(shè)m ∈R 函數(shù)f(x)=ex-ln(x+m).

(Ⅰ)設(shè)x=0 是f(x)的極值點，求實數(shù)m的值，并討論f(x)的單調(diào)性;

(Ⅱ)當m≤2 時，證明:f(x)＞0.

解析(Ⅰ)m=1，f(x)在(-1,0)內(nèi)單減，在(0,+∞)內(nèi)單增.過程略去.

(Ⅱ)由eg(x)-lnh(x)≥g(x)-h(x)+2 得，ex-ln(x+m) ≥x-(x+m)+2，即ex-ln(x+m) ≥2-m，當且僅當x+m=1 且x=0，即m=1 時等號成立.因為m≤2，

當m/=1 時，ex-ln(x+m)＞2-m≥0(x+m ＞0);當m=1 時，ex -ln(x+1)=2-m=1＞0(x+1＞0).因此當m≤2 時，有f(x)＞0 成立.

以上從不等式ex≥x+1 出發(fā)，通過聯(lián)想、探究、推證獲得7 個結(jié)論，并在恒成立不等式、能成立不等式、函數(shù)零點、方程的根、不等式的證明等問題的應用中，深化了對ex≥x+1及其聯(lián)想的認識與理解.由此可見，不等式ex≥x+1 及其聯(lián)想結(jié)論，拓寬了我們的解題路徑，其核心是指數(shù)型不等式ex≥x+1 和對數(shù)型不等式lnx≤x-1(x ＞0)，解題的靈感來源于經(jīng)驗的積累和方法的感悟，讓我們成為發(fā)現(xiàn)者.