借助伸縮變換 化圓解橢圓

廣東省廣州市第十六中學(xué)(510080) 溫伙其

設(shè)點(diǎn)P(x,y) 是平面上的任一點(diǎn)，在變換φ:的作用下，點(diǎn)P(x,y) 對(duì)應(yīng)到點(diǎn)P′(x′,y′)，則稱φ為平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換.在此變換下，有以下常用性質(zhì):

性質(zhì)1在φ的作用下，點(diǎn)仍然對(duì)應(yīng)點(diǎn)，直線仍然對(duì)應(yīng)直線，若一個(gè)點(diǎn)在直線上，變換后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)也在對(duì)應(yīng)直線上.

性質(zhì)2在φ的作用下，兩條平行直線的像仍然平行，兩條相交直線像仍然相交，共點(diǎn)的直線的仍然是共點(diǎn)直線.

性質(zhì)3在φ的作用下，A,B兩點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)到A′,B′兩點(diǎn)，若直線AB的斜率為k，直線A′B′的斜率為k′，則

性質(zhì)4在φ的作用下，線段AB對(duì)應(yīng)到線段A′B′，設(shè)它們的長(zhǎng)度分別為|AB|,|A′B′|，則

性質(zhì)5在φ的作用下，不共線的三點(diǎn)A,B,C分別對(duì)應(yīng)到不共線的三點(diǎn)A′,B′,C′，設(shè)ΔABC的面積為S，ΔA′B′C′的面積為S′，則

特別的，在φ的作用下，橢圓=1(a ＞b ＞0)變換為單位圓x′2+y′2=1.

根據(jù)上述伸縮變換的特殊性質(zhì)，我們可把橢圓變換為圓，則直線與橢圓的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為直線與圓的位置關(guān)系.而圓是我們相當(dāng)熟悉的幾何圖形，具有較多特殊性質(zhì).在圓中研究圖形的特征和位置關(guān)系后再還原到橢圓中，從而得到橢圓的相應(yīng)特征和位置關(guān)系，以此開(kāi)辟研究橢圓問(wèn)題的另一途徑，也可達(dá)到簡(jiǎn)化計(jì)算的功能.下面通過(guò)高考真題闡述以上伸縮變換性質(zhì)的應(yīng)用.

一、求斜率的應(yīng)用

例1(2015年高考新課標(biāo)Ⅱ卷理科第20 題(節(jié)選))已知橢圓C:9x2+y2=m2(m ＞0)，直線l不過(guò)原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸，l與C有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為M.

(Ⅱ)若l過(guò)點(diǎn)(,m)，延長(zhǎng)線段OM與C交于點(diǎn)P，四邊形OAPB能否為平行四邊形? 若能，求此時(shí)l的斜率;若不能，說(shuō)明理由.

解析令橢圓變換為單位圓x′2+y′2=1，點(diǎn)(,m) 變換為點(diǎn)(1,1)，如下圖1.1～1.2，要使四邊形OAPB為平行四邊形，根據(jù)伸縮變換的圖形不變性知，四邊形O′A′P′B′應(yīng)為菱形，則O′到直線A′B′的距離為設(shè)直線A′B′的斜率為k′，且知直線A′B′過(guò)點(diǎn)(1,1)，故直線A′B′的方程為y′-1=k(x′-1)，即kx′-y′-k′+1=0，則由伸縮變換性質(zhì)3 知所以k=3k′，因此解得直線l的斜率

圖1.1

圖1.2

感悟原橢圓的平行四邊形在伸縮變換后變?yōu)榱庑?，點(diǎn)(,m)在伸縮變換后變?yōu)辄c(diǎn)(1,1)，因此圓心O′到直線A′B′的距離就等于容易求得直線A′B′的斜率為k′，進(jìn)而求得原直線l的斜率.所以涉及橢圓弦斜率的處理，我們都可類似解決.

二、求弦長(zhǎng)的應(yīng)用

例2(2016年高考四川卷理科第20 題) 已知橢圓=1(a ＞b ＞0) 的兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)是直角三角形的3 個(gè)頂點(diǎn)，直線l:y=-x+3 與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)T.

(Ⅰ) 求橢圓的方程及點(diǎn)T的坐標(biāo);

(Ⅱ) 設(shè)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l′平行于OT，與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A、B，且與直線l交于點(diǎn)P.證明: 存在常數(shù)λ，使得|PT|2=λ|PA|·|PB|，并求λ的值.

圖2.1

圖2.2

解析(Ⅰ)易得橢圓E的方程為;點(diǎn)T的坐標(biāo)為(2,1);

②×③得:

①÷④得:

再根據(jù)相交弦定理，有|P′T′|2=|P′A′|·|P′B′|，代入⑤得所以存在常數(shù)使得|PT|2=

感悟橢圓的弦長(zhǎng)公式而圓的弦長(zhǎng)公式兩者對(duì)比，圓的弦長(zhǎng)垂徑定理幾何處理天然優(yōu)勝于橢圓的弦長(zhǎng)的代數(shù)處理.所以涉及橢圓的弦長(zhǎng)計(jì)算，不妨借助伸縮變換，先轉(zhuǎn)換為求單位圓的弦長(zhǎng)，然后再還原為橢圓弦長(zhǎng).

三、求橢圓內(nèi)接三角形的面積及其最值的應(yīng)用

例3(2011年高考山東卷理科第22 題(節(jié)選))已知直線l與橢圓交于P(x1,y1)，Q(x2,y2)兩不同點(diǎn)，且ΔOPQ的面積SΔOPQ=其中O為坐標(biāo)原點(diǎn).(Ⅲ) 橢圓C上是否存在點(diǎn)D，E，G，使得SΔODE=SΔODG=SΔOEG=若存在，判斷ΔDEG的形狀;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解析令變換為單位圓x′2+y′2=1，橢圓上的點(diǎn)D，E，G，變換為單位圓上的點(diǎn)D′，E′，G′，由伸縮變換性質(zhì)5 知同理根據(jù)正弦定理面積公式，有

解 得∠D′O′E′=∠D′O′G′=∠E′O′G′=因 為∠D′O′E′+∠D′O′G′+∠E′O′G′=/=2π，所以單位圓上不存在三點(diǎn)D′，E′，G′，使得SΔO′D′E′=SΔO′D′G′=因此橢圓C上不存在點(diǎn)D，E，G，使得SΔODE=SΔODG=SΔOEG=

感悟橢圓的內(nèi)接三角形面積問(wèn)題一般都是弦長(zhǎng)結(jié)合點(diǎn)線距離求解，而伸縮變換到單位圓后，三角形面積可以正弦定理轉(zhuǎn)化為角解決，也可用圓的垂徑定理求得底和高解決，極大的拓展了解題方向.

四、求橢圓內(nèi)接四邊形的面積及其最值的應(yīng)用

例4(2008年高考全國(guó)Ⅱ卷理科第21 題(節(jié)選))設(shè)橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，A(2,0)，B(0,1)是它的兩個(gè)頂點(diǎn)，直線y=kx(k ＞0)與AB相交于點(diǎn)D，與橢圓相交于E、F兩點(diǎn).(Ⅱ)求四邊形AEBF面積的最大值.

解析依題意得橢圓的方程為直線AB的方程為x+2y=2.在伸縮變換下，橢圓變換為單位圓x′2+y′2=1，且點(diǎn)A′,B′的坐標(biāo)分別為(1,0),(0,1)，如下圖3.1～3.2，由圓的圖形性質(zhì)知，當(dāng)A′B′⊥E′F′時(shí)，SA′E′B′F′取最大值，所以

圖3.1

圖3.2

感悟特殊四邊形，容易求得其面積;非特殊四邊形面積的解決，應(yīng)充分挖掘其幾何特征，如對(duì)角線相互垂直.更特殊的，橢圓內(nèi)接四邊形其中一條對(duì)角線過(guò)對(duì)稱中心，則對(duì)應(yīng)單位圓中它則為直徑，這些都為為橢圓內(nèi)接四邊形面積的解決開(kāi)辟了新的方向.

五、其它考題鏈接

1.(2016年高考四川卷文科第20 題(節(jié)選)) 已知橢圓=1(a ＞b ＞0)的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)是正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓E上.

(Ⅱ)設(shè)不過(guò)原點(diǎn)O且斜率為的直線l與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為M，直線OM與橢圓E交于C，D，證明:|MA|·|MB|=|MC|·|MD|.

(Ⅰ) 求橢圓C的方程; (Ⅱ) 求ΔAPB面積取最大值時(shí)直線l的方程.(參考答案: (Ⅰ)=1; (Ⅱ)

3.(2015年高考上海卷理科第21 題(節(jié)選)) 已知橢圓x2+2y2=1，過(guò)原點(diǎn)的兩條直線l1和l2分別與橢圓交于A、B和C、D，記得到的平行四邊形ACBD的面積為S.(Ⅱ)設(shè)l1與l2的斜率之積為求面積S的值.(參考答案: 2)

伸縮變換使得橢圓問(wèn)題化歸圓解決，如本文所述，當(dāng)對(duì)應(yīng)圓中圖形涉及中點(diǎn)、斜率、長(zhǎng)度、面積、平行、垂直等特殊幾何關(guān)系時(shí)，先在圓的幾何背景下求解問(wèn)題，然后根據(jù)伸縮變換性質(zhì)，還原到橢圓得到相應(yīng)結(jié)論，能有效避免橢圓的繁雜代數(shù)運(yùn)算過(guò)程，使得數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)一步深化.