探索反證法在數(shù)學(xué)證明中的推廣及應(yīng)用策略

田子漫

摘 要：數(shù)學(xué)題型多種多樣，用常規(guī)的數(shù)學(xué)方法解題有時(shí)需要很繁雜的步驟才能逼近正確答案，有的問(wèn)題甚至不能夠用一般的數(shù)學(xué)方法進(jìn)行解答，若是一味強(qiáng)求只會(huì)陷入思維的死胡同，這時(shí)，反證法的學(xué)習(xí)以及應(yīng)用就顯得相當(dāng)重要了。掌握了反證法，做證明題時(shí)將如虎添翼。因此，文章首先將對(duì)反證法的定義進(jìn)行簡(jiǎn)要的介紹，并進(jìn)一步延伸其含義，然后分析一般證明法的應(yīng)用并舉例說(shuō)明，最后將對(duì)反證法在數(shù)學(xué)證明中的一些推廣應(yīng)用進(jìn)行簡(jiǎn)要的介紹。

關(guān)鍵詞：反證法;數(shù)學(xué)證明;推廣應(yīng)用

在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，各種類型的證明題層出不窮，而對(duì)于證明題型的解答，掌握正確的方法是必不可少的。比如在函數(shù)性質(zhì)的證明、復(fù)合函數(shù)解析式的進(jìn)一步推導(dǎo)、數(shù)列的某些結(jié)論證明、不等式的證明、某些定理和證明中，采用常規(guī)的方法，都可能沒(méi)辦法解答或者解答過(guò)程極為繁瑣，這就需要采取另外的方式，尤其是反證法。有效地利用題目中的一些條件和數(shù)字，并表征為恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)語(yǔ)言，再在符合數(shù)學(xué)公理的基礎(chǔ)上對(duì)之進(jìn)行轉(zhuǎn)化和進(jìn)一步推導(dǎo)，直達(dá)問(wèn)題的本質(zhì)。反證法能夠在數(shù)學(xué)解題中另辟蹊徑，換用不同的方式來(lái)答題，可以迅速找到突破口，使得解題真正高效起來(lái)。

1? ? 反證法的定義與一般應(yīng)用

反證法思想的定義是，為了證明某個(gè)命題的成立，先提出其逆命題，假設(shè)該逆命題是成立的。從逆命題出發(fā)，經(jīng)過(guò)邏輯推理一步步向后推導(dǎo)，直至推導(dǎo)出某個(gè)與已知的定理、條件或是事實(shí)相矛盾的結(jié)果，以此證明該逆命題是不成立的，即該命題成立，如此便達(dá)到了“反證”的目的。運(yùn)用反證法能夠有效提高學(xué)生的邏輯思維能力，也能夠鍛煉學(xué)生解決問(wèn)題、活用公式和定理的能力。

通常來(lái)說(shuō)，反證法具有以下幾個(gè)特性：（1）新穎性。反證法采用的是逆向思維，與常規(guī)思維恰恰相反，具有創(chuàng)造性。（2）批判性。反證法往往從反方向去思考問(wèn)題，然而這將得到意外的收獲。（3）普遍性。反證法可以在諸多的問(wèn)題中得到應(yīng)用。

舉個(gè)最簡(jiǎn)單的例子，命題為“自然數(shù)的個(gè)數(shù)有無(wú)限多個(gè)”。那么其逆命題為“自然數(shù)個(gè)數(shù)為有限多個(gè)”，若是該逆命題成立，那么在有限多個(gè)自然數(shù)中，一定存在一個(gè)最大的自然數(shù)，如果給它加上1，就有了比它更大的數(shù)。此時(shí)，它便不再是最大的自然數(shù)了，由此可以說(shuō)明不存在最大的自然數(shù)，即“自然數(shù)個(gè)數(shù)為有限多個(gè)”的命題是錯(cuò)誤的。因此，原命題得證，這便是反證法。

2? ? 反證法的推廣應(yīng)用

2.1? 利用補(bǔ)集法解題

當(dāng)某個(gè)問(wèn)題的答案很難從正面求解時(shí)，比如，運(yùn)算太過(guò)于復(fù)雜、分類討論所需考慮情況太多等，可以運(yùn)用逆向思維從反面出發(fā)求解，在得出答案時(shí)，再求其補(bǔ)集，即可得到正確答案。盡管在高中階段并沒(méi)有系統(tǒng)地學(xué)習(xí)補(bǔ)集法，但仍可以將它作為一種重要的解題手段，在解題中合理地運(yùn)用。

以“生日怪論”為例，假如在一個(gè)高中班級(jí)中有23位同學(xué)，求至少有兩個(gè)人同一天生日的概率。設(shè)甲事件為“至少有兩個(gè)人在同一天生日”，設(shè)乙事件為“任意兩位同學(xué)都不在同一天生日”，可以比較輕松地求得乙事件發(fā)生的概率：P=（365×364×…×343）/36 523=0.493。因此可以知道“至少有兩個(gè)人在同一天生日”的概率為0.507，其發(fā)生的概率居然在50%以上，這與人們的感覺(jué)是有些相悖的。

2.2? 利用反例法進(jìn)行解題

反例指的是能夠滿足命題的條件卻不滿足其結(jié)論的實(shí)例。通過(guò)將問(wèn)題特殊化，極大地縮小考慮問(wèn)題的范圍，而反例法正是一種比較具體的，能夠?qū)?shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行解答的特殊化形式。證明一個(gè)結(jié)論的正確性可能需要很復(fù)雜的一系列推理和分析，而要證明一個(gè)結(jié)論是錯(cuò)誤的只需要列出一個(gè)反例就行，并且舉反例還會(huì)顯得很直觀且具有說(shuō)服力。

在利用反例法進(jìn)行解題時(shí)，往往需要大量的數(shù)學(xué)知識(shí)和豐富的想象力作為基礎(chǔ)。除了解題之外，舉反例這一方法能夠有效地在教學(xué)中幫助學(xué)生理解和記憶數(shù)學(xué)概念、定理等，教師往往可以通過(guò)列舉一些經(jīng)典的反例，來(lái)從不同的層面對(duì)數(shù)學(xué)概念、定理進(jìn)行解釋和闡述，學(xué)生將更容易掌握。比如在學(xué)習(xí)相似三角形的內(nèi)容時(shí)，其判定定理為“兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等”，要注意其中的“夾角”這一條件，通過(guò)舉出“當(dāng)兩邊對(duì)應(yīng)成比例且某角相等，然而兩個(gè)三角形并不相似”的反例，便能夠使學(xué)生牢牢記住該定理，減小了犯類似錯(cuò)誤的可能。一些生動(dòng)而又靈活的反例，不僅會(huì)使得課堂顯得更加生動(dòng)有趣、激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興致，還能夠鍛煉學(xué)生的思維能力和創(chuàng)造力。因此，將反例法有效地應(yīng)用在數(shù)學(xué)解題和教學(xué)中是相當(dāng)有用的。

3? ? 結(jié)語(yǔ)

反證法是一種與常規(guī)解題方法背道而馳的辦法，在數(shù)學(xué)證明中的應(yīng)用極為廣泛。應(yīng)當(dāng)努力掌握好反證法，培養(yǎng)和鍛煉反證法的思維，并熟練掌握反例法以及補(bǔ)集法等，將之有效地應(yīng)用在數(shù)學(xué)解題中，從而能夠有創(chuàng)造性地鍛煉思維，并高效地解答數(shù)學(xué)題目。

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