“知識樹”的植根過程

董香鳳

摘 要：以“解直角三角形知識樹”為例，敘述了如何運(yùn)用建構(gòu)主義學(xué)習(xí)觀的理論，以學(xué)生為主體進(jìn)行知識樹的嘗試研究，不斷內(nèi)化生成與完善知識樹。讓學(xué)生整體感知知識與方法，提高學(xué)習(xí)能力，真正發(fā)揮知識樹的功效。

關(guān)鍵詞：知識樹;建構(gòu)主義;直角三角形

一、初步嘗試知識樹

作為一名數(shù)學(xué)老師，我深切感受到很多學(xué)生由于知識掌握零散，只能在數(shù)學(xué)題海中苦命掙扎的茫然與痛苦。于是我投入了很大的熱忱去畫了一棵棵知識樹，可學(xué)生反應(yīng)淡漠，不感興趣，一堂課下來沒有印象。

二、探討反省知識樹

為什么理想與現(xiàn)實(shí)之間有如此大的差距呢？解鈴還須系鈴人，要發(fā)揮知識樹的功效就必須請教學(xué)生。于是我就銳角三角函數(shù)一章的知識樹與學(xué)生進(jìn)行了探討。我出示的知識樹如下：

學(xué)生積極批判，認(rèn)為這棵“知識樹”存在的問題如下：

1.只對本章內(nèi)容進(jìn)行概括，和課本目錄差不多，沒有揭示知識的內(nèi)在聯(lián)系，缺乏方法指導(dǎo)。2.每章內(nèi)容都畫一棵樹，初中三年大大小小的樹很多，記憶麻煩。3.這棵樹是老師繪制的，沒有從學(xué)生已有的知識生根。

針對這些，我進(jìn)行了深刻反思。首先，我這棵樹存在先天性不足，受到教材與章節(jié)的制約，過于偏重知識，忽略方法，學(xué)生實(shí)踐的意義不大。其次，我忽略了“心理上的建構(gòu)”，自以為是地把知識樹從外部強(qiáng)行嵌入給學(xué)生，致使這棵樹缺乏生命力。

三、品種改良知識樹

于是全班師生決定一起努力，重新繪制一棵知識樹。這棵樹研究的對象是“解直角三角形”?？紤]到必須具有代表性，因此準(zhǔn)備打破章節(jié)順序，從定義、知識、策略與步驟這四大“主干”入手去繪制這棵知識樹。終于凝聚了全班師生心血的新知識樹產(chǎn)生了：

四、內(nèi)植生成知識樹

1.知識樹的“內(nèi)部植入”

為了讓學(xué)生以自身的經(jīng)驗(yàn)為土壤，把它內(nèi)植于自己的思維中，我讓學(xué)生從定義、知識、策略、步驟四個(gè)方面思考，進(jìn)行深層探究，討論的廣度與深度完全出乎了我的意料。現(xiàn)總結(jié)如下：

（1）從定義的角度，如果沒有現(xiàn)成的直角三角形必須構(gòu)造直角三角形，方法主要有三種：通過作垂線段得到直角三角形。利用勾股定理構(gòu)造直角三角形。根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，通過構(gòu)造圓來構(gòu)造直角三角形。

（2）從知識的角度，對于普通三角形，學(xué)生談到邊的關(guān)系、角的關(guān)系、特殊線段。另外還補(bǔ)充了等腰三角形的知識，讓人驚喜的是還有學(xué)生從軸對稱的角度指出等腰三角形其實(shí)就是由兩個(gè)全等的直角三角形構(gòu)成的，從而揭示了兩者的聯(lián)系。在此基礎(chǔ)上，我適時(shí)進(jìn)行了點(diǎn)撥，所有正多邊形邊長、邊心距的問題，都可以轉(zhuǎn)化成等腰三角形，從而通過解直角三角形來解決。

（3）從解題策略的角度，結(jié)合多年來的中考數(shù)學(xué)試題，學(xué)生探討了這些策略。學(xué)生指出用得較多的是“轉(zhuǎn)化”和“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想方法。要善于畫圖，善于發(fā)現(xiàn)圖中相等的角、互余的角，從而實(shí)現(xiàn)三角函數(shù)值的轉(zhuǎn)化。有同學(xué)還指出直角三角形中的“轉(zhuǎn)化”與圖形的相似一脈相承，但是用三角函數(shù)的知識更簡略。這里特別要指出的是學(xué)生還總結(jié)出解直角三角形問題中經(jīng)常出現(xiàn)的兩個(gè)基本模型圖：

在已知∠ABD=α，∠ACD=β，BC=m的條件下，求AD的長度?？梢约僭O(shè)AD的長度為x，根據(jù)圖1，得到方程tan（90°-α）x+tan（90°-β）x=m;根據(jù)圖2，得到方程tan（90°-α）x-tan（90°-β）x=m。這兩幅圖正是很多解直角三角形應(yīng)用問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題的模型圖。很多學(xué)生感覺找到了這樣的模型圖就以逸待勞，研究興趣也更加濃厚了，其實(shí)已經(jīng)開始有了建模的思考與探究。

（4）從解題步驟的角度，這對于我們解直角三角形應(yīng)用類問題尤為重要。第一步：審題，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題;第二步：分析，尋找或構(gòu)造直角三角形，尋找條件與結(jié)論之間溝通的橋梁。參照這樣的解題步驟，我們的解題格式也將越來越規(guī)范。

2.知識樹的生成發(fā)展

“學(xué)以致用”，這棵知識樹在學(xué)生自主參與的繪制與探討中已經(jīng)很好地植根于心中，但它進(jìn)一步的成長卻依賴于我們在解題中對它的理解與感悟，為此我們進(jìn)行了針對性的訓(xùn)練。典型例題如下：

例1.如圖3，A、B、C三點(diǎn)在正方形網(wǎng)格線的交點(diǎn)處，若將△ACB繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△AC′B′，則tanB′的值為（）

切入點(diǎn)：聯(lián)系知識樹，從解題策略角度看屬于基本模型圖1，因此可作AD⊥BC于點(diǎn)D，通過建立方程，求出AD，再利用銳角三角函數(shù)的知識求出AB。

五、培植完善知識樹

學(xué)生很喜歡知識樹，可也很納悶：這些知識方法其實(shí)并不陌生，為什么以樹的形式表現(xiàn)出來時(shí)，印象就特別深刻呢？原來人的右腦又稱“圖像腦”，它是感性而直觀的，在工作時(shí)就像拍照片一樣，其工作效率遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過我們常用的左腦，學(xué)生為了抓住右腦的這種特性，又集思廣益，把自己認(rèn)為有價(jià)值的基本圖形都搜集起來，然后篩選出最具有代表性且能促進(jìn)解題的基本圖形，最終形成了下圖的“解直角三角形知識樹”。

為了鞏固學(xué)生對這棵樹的印象，我們還舉行了繪制知識樹的比賽，這棵枝繁葉茂的大樹終于深深扎根在了每一個(gè)學(xué)生的心中。

回首知識樹的演進(jìn)過程，我們發(fā)現(xiàn)要在學(xué)生心中種植一棵知識樹，首先，必須體現(xiàn)實(shí)效性，這取決于教師對知識方法的理解與融會(huì)貫通。其次，無論是這棵樹的產(chǎn)生還是使用都必須有學(xué)生的參與，需要學(xué)生經(jīng)歷“建構(gòu)”這個(gè)由外到內(nèi)的轉(zhuǎn)化過程。教師只能適當(dāng)指引，而不能強(qiáng)行嵌入。最后這棵知識樹的發(fā)展又依賴于學(xué)生的智力參與，不斷使用、反省、完善。這棵知識樹只是一個(gè)開始，我們將繼續(xù)走下去，進(jìn)行更多知識樹的發(fā)現(xiàn)之旅，相信不久的將來我們將看到學(xué)生心中佳木成林！

參考文獻(xiàn)：

[1]萊斯利·P·斯特弗.教育中的建構(gòu)主義[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2002.

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