從一道考題的多解看初中數(shù)學(xué)幾何解題能力的培養(yǎng)

摘 要：在各地歷年的中考數(shù)學(xué)試卷中，幾何題的分量都是很重的，大多數(shù)的壓軸題都是幾何題或與幾何相結(jié)合的綜合題。因此，加強(qiáng)學(xué)生幾何解題能力的培養(yǎng)，對(duì)提高教學(xué)質(zhì)量、提升中考成績(jī)有十分重要的意義。培養(yǎng)學(xué)生的幾何解題能力，應(yīng)從提高對(duì)幾何基本圖形和基本結(jié)論熟悉程度，加深對(duì)定義、定理、公理、判定、性質(zhì)的理解，善于發(fā)現(xiàn)圖中的隱含圖形，掌握基本的幾何變換和數(shù)學(xué)基本方法以及幾何證明的常見(jiàn)分析方法等六個(gè)方面著手。

關(guān)鍵詞：中考試題;基本圖形;基本變換;基本方法

在2019年廣西貴港市中考的數(shù)學(xué)試題中，有下面這道題目：

已知：△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到△A′B′C，記旋轉(zhuǎn)角為α，當(dāng)90°<α<180°時(shí)，作A′D⊥AC，垂足為D，A′D與B′C交于點(diǎn)E。

（1）如圖1，當(dāng)∠CA′D=15°時(shí)，作∠A′EC的平分線EF交BC于點(diǎn)F。

①寫(xiě)出旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù);

②求證：EA′+EC=EF。

這道題屬于四邊形綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)變換，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系等知識(shí)，綜合性強(qiáng)，難度大，方法靈活，有多種不同解法。

（1）②的思路一：在EF上截取EG=EC，先證△CEG為等邊三角形，再證△CGF≌△CE A′即可。

（1）②的思路二：過(guò)C作CG∥A′D交EF于G，先證△CEG為等邊三角形，再證△CGF≌△CE A′即可。

（1）②的思路三：延長(zhǎng)ED到G，使DG=DE，先證△CEG為等邊三角形，再證△CG A′≌△CE F即可。

（2）的思路一：連結(jié)A′F，由△CGF≌△CE A′可知C=CF，從而可證△A′CF為等邊三角形，進(jìn)而可證A′E同時(shí)平分∠FE B′和∠F A′B′，從而△A′EF≌△A′E B′，于是得B′與F關(guān)于A′D對(duì)稱，只要求出AB′即可。

（2）的思路二：過(guò)A′作A′M⊥B′E，得△A′ME和△A′M B′分別為含有45度和30度角的特殊直角三角形，通過(guò)計(jì)算證明B′E=EF，進(jìn)而可得到B′與F關(guān)于A′D對(duì)稱，只要求出A B′即可。

（1）②的思路一、思路二用到了數(shù)學(xué)中最常用的截長(zhǎng)法，其中思路二用到了“角平分線+平行線”得到的隱含等腰三角形，（1）②的思路三用到了數(shù)學(xué)中最常用的補(bǔ)短法，（2）的思路一用到了角平分線、全等三角形等基本圖形（模型），（2）的思路二用到了特殊直角三角形的基本圖形（模型），并且所有的思路中都用到了角平分線、等腰三角形、等邊三角形、直角三角形、等腰直角三角形、全等三角形等基本圖形的判定和性質(zhì)。通過(guò)對(duì)本題多種解法的分析不難發(fā)現(xiàn)，培養(yǎng)和提高初中生的幾何解題能力要從以下幾方面入手。

一、熟悉幾何基本圖形和基本結(jié)論是培養(yǎng)幾何解題能力的前提

幾何基本圖形和基本結(jié)論是幾何知識(shí)的重要組成部分，是所有幾何解題的前提，角平分線、中線、高、點(diǎn)到直線的距離、動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離之和的最小值、等腰三角形、等邊三角形、直角三角形、等腰直角三角形、平行四邊形、矩形、菱形、正方形、垂徑定理、過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的切線、全等三角形、相似三角形等基本圖形及其結(jié)論，既是考試考查的重點(diǎn)，又是所有解題的基本依據(jù)，我們要熟練掌握。

A.2 B.3 C.4 D.5

這些題目表面看起來(lái)很復(fù)雜，但實(shí)質(zhì)都是考查幾何基本圖形及其結(jié)論。第一題考的是角平分線、平行四邊形、等邊三角形等圖形的性質(zhì)，第二題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)。只要掌握相似三角形和全等三角形的基本圖形和基本結(jié)論，問(wèn)題不難解決。

二、理解定義、定理、公理、判定、性質(zhì)是培養(yǎng)幾何解題能力的基礎(chǔ)

理解定義、定理、公理、判定、性質(zhì)，不僅要熟記定義、定理、公理、判定、性質(zhì)的結(jié)論，還要熟記定義、定理、公理、判定、性質(zhì)的條件、適用范圍、注意事項(xiàng)等，它是幾何解題的基礎(chǔ)。

本題中，不少考生因沒(méi)有在意弧長(zhǎng)公式中圓心角的意義，結(jié)果將120度直接代入計(jì)算，答案就錯(cuò)了。

三、善于發(fā)現(xiàn)圖中的隱含圖形是培養(yǎng)幾何解題能力的關(guān)鍵

隱含圖形是指等腰三角形、等邊三角形、平行四邊形等特殊圖形在整個(gè)圖形中表現(xiàn)出來(lái)的一部分，如“角平分線+平行線”隱含有等腰三角形，“中點(diǎn)+垂直”隱含有等腰三角形，“角平分線+等腰”隱含有垂直平分，三角形含有30度和45度角則隱含可構(gòu)造特殊直角三角形等。解題時(shí)如果我們能充分發(fā)現(xiàn)這些隱含圖形，非常有利于問(wèn)題的分析和解決。

本題（2）的關(guān)鍵是 “角平分型全等三角形隱含著B(niǎo)D是等腰三角形的高”，從而想到連結(jié)AP并延長(zhǎng)BD交AP于E，然后過(guò)P作PF⊥AC于F即可構(gòu)造“雙垂直型相似”，利用相似列比例式即可解決問(wèn)題。

四、掌握基本的幾何變換是培養(yǎng)幾何解題能力的橋梁

幾何變換是平面幾何的重要內(nèi)容之一，是研究幾何關(guān)系的基本方法。平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱是初中幾何的基本變換，熟練掌握這些變換是培養(yǎng)和提高幾何解題能力的橋梁。

例4.（廣西貴港2018-26）已知：A、B兩點(diǎn)在直線l的同一側(cè)，線段AO，BM均是直線l的垂線段，且BM在AO的右邊，AO=2BM，將BM沿直線l向右平移，在平移過(guò)程中，始終保持∠ABP=90°不變，BP邊與直線l相交于點(diǎn)P。

類似這些與面積有關(guān)的問(wèn)題，都要用到割補(bǔ)法等數(shù)學(xué)基本方法.其中（1）還要注意到圖中的隱含圖形——等級(jí)邊△AOD，才能求出有關(guān)的圓心角;（2）要分割成兩個(gè)扇形和兩個(gè)三角形面積的和與差;（3）用到的是非常典型的平行軸分割的方法以及二次函數(shù)最大值的模型。

六、掌握幾何證明的常見(jiàn)分析方法是培養(yǎng)幾何解題能力的重點(diǎn)

幾何證明的分析方法很多，如綜合法、分析法、反證法、枚舉法（窮舉法）、完全歸納法、不完全歸納法，但最常用的方法有綜合法、分析法和分析綜合法。熟練掌握這些常見(jiàn)的分析方法是我們探求解題途徑的重點(diǎn)和關(guān)鍵。

分析法是從求證的結(jié)論入手，以公理、定理為根據(jù)，尋求所必須的條件，再?gòu)乃钘l件出發(fā)，一步一步地尋求到所需的條件為已知條件時(shí)，命題即得證，這種方法也叫“執(zhí)果索因”法;而綜合法是從已知條件為出發(fā)點(diǎn)，以公理、定理為依據(jù)，一步步推導(dǎo)出欲證的結(jié)論，這種方法也叫“由因?qū)Ч狈?分析綜合法將分析法和綜合法結(jié)合起來(lái)，即先從結(jié)論入手看需要什么條件，再?gòu)囊阎霭l(fā)看可導(dǎo)出什么結(jié)論，如果這兩者正好一致，問(wèn)題即可解決，這種方法也叫“兩頭湊”的方法，通常情況下我們都用這樣的分析方法。如前面例3的（1）：

這個(gè)分析問(wèn)題的方法就是分析綜合法。

在培養(yǎng)學(xué)生幾何解題能力的過(guò)程中，除了加強(qiáng)學(xué)生對(duì)幾何基本圖形和基本結(jié)論的熟悉，對(duì)幾何定義、定理、公理、判定、性質(zhì)的理解，引導(dǎo)學(xué)生善于發(fā)現(xiàn)圖中的隱含圖形，掌握好數(shù)學(xué)基本方法和基本的幾何變換以及常見(jiàn)的分析方法外，還要學(xué)會(huì)對(duì)幾何結(jié)論進(jìn)行分類，掌握幾何難題突破的一般程序等。如對(duì)幾何結(jié)論，我們可以從線段平行、垂直、相等、不等以及角相等、不等等方面進(jìn)行分類;而對(duì)幾何難題的突破，可從完善圖形（重新畫(huà)圖）、標(biāo)識(shí)等量、發(fā)現(xiàn)隱含圖形、挖掘圖形關(guān)系（全等或相似）等方面入手。

下面通過(guò)兩個(gè)具體例子來(lái)體會(huì)一下：

當(dāng)然，我們強(qiáng)調(diào)對(duì)數(shù)學(xué)圖形、數(shù)學(xué)結(jié)論、數(shù)學(xué)方法和幾何變換的掌握，不是簡(jiǎn)單地把它們背下來(lái)就可以了，而是要在實(shí)際應(yīng)用中理解、體會(huì)，學(xué)會(huì)舉一反三、觸類旁通，不斷提高解題的能力。

作者簡(jiǎn)介：黃江泉，1965年11月出生，男，漢族，籍貫：廣西桂平，大專學(xué)歷，中學(xué)高級(jí)教師職稱，特級(jí)教師。