危樓高百尺 手可摘星辰
——兼評(píng)方愛英、倪婷兩位老師《圖形的運(yùn)動(dòng)（三）》一課

劉 松（特級(jí)教師）

眾所周知，宋徽宗趙佶喜愛書畫，常出題考畫家。有一次考試，他出的題目是“深山藏古寺”。結(jié)果，一個(gè)畫了四面高山、懸崖峭壁，中間有座寺院；另外一個(gè)畫了峰巒起伏、松柏挺立，并有古寺一角；唯有第三位未畫山也未畫寺，他畫了數(shù)節(jié)石階通向小溪，一個(gè)和尚在挑水，古寺藏而不露反而躍然紙上。三位畫家的水平，尤其是想象力立見分曉。想象力是一種高級(jí)的認(rèn)識(shí)能力，是大腦對(duì)原有表象進(jìn)行加工改造，形成新形象的心理能力，它滲透到學(xué)習(xí)活動(dòng)的方方面面，尤其對(duì)創(chuàng)新、創(chuàng)造和發(fā)明有巨大作用。

想象力如此重要，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對(duì)學(xué)生的想象力的培養(yǎng)是否不該也不能缺席？回答自然是肯定的。

小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，有一個(gè)核心詞與上述想象力頗為相關(guān)，就是空間觀念。中華人民共和國(guó)成立以來(lái)，歷次頒布的小學(xué)算術(shù)（數(shù)學(xué)）教學(xué)大綱中，最早出現(xiàn)“空間觀念”一詞的是1956 年印發(fā)的《小學(xué)算術(shù)教學(xué)大綱（修訂草案）》。原文是：“在小學(xué)里學(xué)習(xí)幾何教材，除了可以使兒童獲得幾何方面的一些初步知識(shí)和應(yīng)用這些知識(shí)的技能之外，還可以發(fā)展他們的空間觀念?！睆拇?，“空間觀念”就一直沿用至今。義務(wù)教育段的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)，核心詞從6 個(gè)變?yōu)?0 個(gè)，始終都有“空間觀念”。

一般認(rèn)為，數(shù)量關(guān)系與空間形式是數(shù)學(xué)研究的兩大基本范疇，盡管現(xiàn)代數(shù)學(xué)的研究對(duì)象已經(jīng)有了極大的拓展，但數(shù)量關(guān)系與空間形式仍是數(shù)學(xué)不可動(dòng)搖的基本內(nèi)容。培養(yǎng)、發(fā)展學(xué)生的“空間觀念”作為小學(xué)數(shù)學(xué)“圖形與幾何”領(lǐng)域的核心或者說(shuō)終極目的，一點(diǎn)也不為過(guò)。曹培英老師說(shuō)：從心理學(xué)的視角看，與空間觀念有著緊密聯(lián)系的概念有空間知覺、空間表象與空間想象?？臻g知覺是指關(guān)于物體、圖形的形狀、大小及距離、方位等位置關(guān)系的知覺。空間表象是在大量空間知覺的基礎(chǔ)上，形成的關(guān)于物體、圖形的形狀、大小及相互位置關(guān)系的印象。在認(rèn)知心理學(xué)中，表象既是信息加工的成果，又是信息加工的過(guò)程。空間想象是指在事物或圖形的影響下，在言語(yǔ)的調(diào)節(jié)下，頭腦中已有空間表象經(jīng)過(guò)加工、改造、結(jié)合，產(chǎn)生新表象的心理過(guò)程。一般來(lái)說(shuō)，從空間知覺到表象再到想象，這三種認(rèn)知水平是遞進(jìn)發(fā)展的。顯然，空間知覺是空間表象的基礎(chǔ)，空間想象是空間表象的發(fā)展?？臻g表象“承前啟后”，空間想象“至高無(wú)上”。相信，即將頒布的核心素養(yǎng)視域下的義務(wù)教育段新課程標(biāo)準(zhǔn)，一定也會(huì)對(duì)“空間觀念”持續(xù)關(guān)注。

小學(xué)階段的圖形與幾何領(lǐng)域的教學(xué)內(nèi)容非常豐富。其中，圖形的運(yùn)動(dòng)是其重要部分。小學(xué)階段一共學(xué)習(xí)三種圖形運(yùn)動(dòng)的方式：軸對(duì)稱、平移和旋轉(zhuǎn)。這三種圖形的運(yùn)動(dòng)方式都是發(fā)展學(xué)生空間觀念、培養(yǎng)想象力的好材料。三種圖形運(yùn)動(dòng)方式，既有不同之處，也有相同之妙。如果學(xué)生掌握了圖形運(yùn)動(dòng)的方法，理解了圖形運(yùn)動(dòng)的本質(zhì)，就可以在頭腦中自如轉(zhuǎn)換，空間觀念就會(huì)得到良好的發(fā)展。

從學(xué)習(xí)難度而言，學(xué)生會(huì)感覺圖形的旋轉(zhuǎn)最難。所以，人教版教材安排在了五年級(jí)下冊(cè)的第五單元，作為圖形的運(yùn)動(dòng)（三）出現(xiàn)。學(xué)生學(xué)習(xí)該內(nèi)容，如果有困難，大致會(huì)出現(xiàn)以下三類情況：一是有的學(xué)生根本想象不出圖形如何旋轉(zhuǎn)、以及旋轉(zhuǎn)后的樣子（尤其是“面”的旋轉(zhuǎn)）；二是即使有的學(xué)生可以想象出來(lái)，但是畫不出來(lái)（尤其是“面”的旋轉(zhuǎn)）；三是有的學(xué)生即便畫出來(lái)了，但是對(duì)是錯(cuò)，還是渾然不知。究其原因，何故？經(jīng)過(guò)訪談得知，無(wú)外乎學(xué)生缺失了空間知覺、空間表象及空間想象力。于是，如何通過(guò)豐富學(xué)生的空間知覺和強(qiáng)化學(xué)生的空間表象來(lái)有效促進(jìn)學(xué)生的空間想象，就成了本節(jié)課的重要任務(wù)。

雖然方愛英、倪婷兩位教師的教學(xué)設(shè)計(jì)不盡相同，具體的教學(xué)中亦有許多待改進(jìn)之處，但都比較好地做到了空間知覺、表象和想象三種認(rèn)知水平的兼顧與遞進(jìn)。

方愛英老師的教學(xué)，自始至終秉承“想象先行、虛實(shí)相融”的理念，盡可能讓學(xué)生先想象、再操作，不斷地鼓勵(lì)想象，豐富空間知覺；不停地搭建想象的支架，強(qiáng)化空間表象。

新課伊始，教師就創(chuàng)設(shè)學(xué)生熟悉的情境，借用動(dòng)作直觀，豐富學(xué)生的空間知覺。新課展開環(huán)節(jié)，首先認(rèn)識(shí)旋轉(zhuǎn)三要素之一的旋轉(zhuǎn)方向，教師充分借用視覺直觀，豐富學(xué)生的空間知覺……類似豐富學(xué)生空間知覺的做法還有很多，限于篇幅，不再贅述。但一節(jié)課如果僅僅停留在知覺層面，是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的。空間觀念的最終形成，空間表象是關(guān)鍵。“動(dòng)手操作”和“發(fā)揮想象”都是形成空間表象的重要方式。在實(shí)際教學(xué)中，到底是讓學(xué)生先動(dòng)手操作，獲得感性經(jīng)驗(yàn)后，再讓學(xué)生想象，還是先讓學(xué)生想象旋轉(zhuǎn)后圖形的樣子，再讓學(xué)生動(dòng)手操作進(jìn)行驗(yàn)證？到底哪種方法更能體現(xiàn)價(jià)值？表象既是信息加工的成果，又是信息加工的過(guò)程。從這個(gè)意義上，孰先孰后，都是可以的。方老師選擇了“想象先行”，貫穿課的始終。

按照方老師自己的觀點(diǎn)，空間觀念既有“實(shí)”的一面，也有“虛”的一面。本節(jié)課的“實(shí)”，指的是學(xué)生能用旋轉(zhuǎn)的三要素描述圖形的旋轉(zhuǎn)，能根據(jù)描述畫出旋轉(zhuǎn)后的簡(jiǎn)單圖形；“虛”指的是支撐學(xué)生理解和操作的空間想象能力。虛實(shí)相融，轉(zhuǎn)換提升，方能有效實(shí)現(xiàn)發(fā)展學(xué)生的空間觀念。所以，本節(jié)課的實(shí)踐，雖然倡導(dǎo)“想象先行”，但絲毫也不否認(rèn)動(dòng)手操作的價(jià)值和意義，依然安排了大量的實(shí)踐操作過(guò)程。方老師清醒地意識(shí)到了空間想象能力雖是“虛”的，但并不會(huì)憑空產(chǎn)生，一定需要實(shí)在的操作活動(dòng)來(lái)豐盈，需要真切的空間表象來(lái)支撐。

倪婷老師的教學(xué)，更凸顯空間表象“承前啟后”的價(jià)值和作用。學(xué)生理解旋轉(zhuǎn)的三要素是本節(jié)課的學(xué)習(xí)重點(diǎn)，是學(xué)生后續(xù)想象和畫圖的思維基礎(chǔ)，必須切實(shí)掌握。學(xué)生對(duì)旋轉(zhuǎn)中心的理解，是相對(duì)容易的，稍難理解的是旋轉(zhuǎn)方向和角度。倪老師巧妙地運(yùn)用了知識(shí)的遷移，在四年級(jí)下冊(cè)《圖形的運(yùn)動(dòng)（二）》的學(xué)習(xí)中，學(xué)生對(duì)軸對(duì)稱圖形和平移已有深入認(rèn)識(shí)，尤其是平移，它與旋轉(zhuǎn)在基本要素上有相通之處。平移有平移的方向和距離兩個(gè)要素，旋轉(zhuǎn)是否也有相應(yīng)的要素呢？答案是肯定的。只不過(guò)旋轉(zhuǎn)的方向不再是上下左右等多個(gè)方向，而是只有順時(shí)針和逆時(shí)針兩個(gè)方向；圖形旋轉(zhuǎn)時(shí)，圖形上每個(gè)點(diǎn)走過(guò)的距離不一樣，所以用角度來(lái)統(tǒng)一表示更合理，這樣從平移的兩要素輕松過(guò)渡到旋轉(zhuǎn)三要素，不僅降低了學(xué)習(xí)難度，更重要的是讓學(xué)生清晰地建構(gòu)了旋轉(zhuǎn)三要素的表象。

針對(duì)學(xué)生畫“面”旋轉(zhuǎn)時(shí)的難點(diǎn)，倪老師首先強(qiáng)化線段旋轉(zhuǎn)的表象，然后以線段旋轉(zhuǎn)作為橋梁，引導(dǎo)學(xué)生把“面”的旋轉(zhuǎn)分解轉(zhuǎn)化為線段的旋轉(zhuǎn)，從而有效地搭建起了思維的支架。

如此信息加工的過(guò)程，也成了信息加工的成果，在學(xué)生頭腦中留下了“面”旋轉(zhuǎn)的深刻表象。有了該空間表象的支撐，學(xué)生再遇到其他“面”的旋轉(zhuǎn)時(shí)，就有了思維的抓手，就可以輕松地表征。

強(qiáng)化空間知覺和表象，促進(jìn)空間想象，倪老師的課堂，還有一處值得點(diǎn)贊。就是在練習(xí)環(huán)節(jié)，把軸對(duì)稱、平移和旋轉(zhuǎn)三種圖形的運(yùn)動(dòng)方式進(jìn)行了對(duì)比，通過(guò)視覺直觀，讓學(xué)生透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，三種圖形運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方式雖然不同，但都擁有運(yùn)動(dòng)前后圖形大小不變，只是圖形位置變了的屬性。而深刻知覺了這一共同屬性，形成表象，不僅讓學(xué)生感悟了圖形運(yùn)動(dòng)的本質(zhì)，還會(huì)極大地提升學(xué)生的空間判斷力。

當(dāng)然，兩位教師的教學(xué)還略顯傳統(tǒng)，不夠開放和包容。如果課前能充分了解學(xué)情，然后以學(xué)定教，適當(dāng)“留白”，相信一定可以上出結(jié)構(gòu)更優(yōu)化的課堂。但即便如此，兩位教師的目標(biāo)定位及教學(xué)導(dǎo)向均值得肯定，尤其是兩位教師運(yùn)用不同的手段，豐富學(xué)生的空間知覺、強(qiáng)化學(xué)生空間表象的做法，更值得點(diǎn)贊！因?yàn)?，只有學(xué)生的空間表象豐富了，學(xué)生的空間想象才可能多彩起來(lái)。

李白有詩(shī)云：危樓高百尺，手可摘星辰。詩(shī)仙寫詩(shī)，不僅詩(shī)風(fēng)豪放，想象豐富，還蘊(yùn)含著樸素的科學(xué)道理。試想，危樓若是不足夠高，何以手可摘星辰？所以，圖形運(yùn)動(dòng)的教學(xué)，乃至整個(gè)圖形與幾何領(lǐng)域的教學(xué)，教師都應(yīng)盡量且充分地積累和強(qiáng)化學(xué)生的空間表象，學(xué)生才可能摘到空間觀念的“星辰”。