“導(dǎo)數(shù)中的多變量不等式證明”教學(xué)設(shè)計(jì)

吳曉釗

一、內(nèi)容解析

本節(jié)選自人教版《數(shù)學(xué)選修2-2》中的第一章第三節(jié)《導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用》。學(xué)生會(huì)用導(dǎo)數(shù)去判斷函數(shù)單調(diào)性，求極值、最值，以及會(huì)用導(dǎo)數(shù)證明單變量不等式的恒成立問題。本節(jié)課就是在此基礎(chǔ)上，由單變量不等式證明，拓展到多變量不等式。

二、教學(xué)目標(biāo)

（1）能區(qū)分不等式中多變量相關(guān)性和無關(guān)性;初步能運(yùn)用主元法、換元法、消元法等，把多變量不等式，轉(zhuǎn)化為單變量不等式，從而利用函數(shù)的思想去證明;

（2）知道對數(shù)平均不等式，及對數(shù)不等式在證明中的應(yīng)用;

（3）從多變量不等式轉(zhuǎn)化到單變量證明的過程中，體會(huì)函數(shù)思想和轉(zhuǎn)化化歸的思想，提升運(yùn)算能力和邏輯推理的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

三、教學(xué)重、難點(diǎn)

重點(diǎn)：

多變量相關(guān)和無關(guān)的兩類不等式證明解題的策略的不同點(diǎn)和相同點(diǎn)及解題策略歸納.

難點(diǎn)：

把多變量不等式通過主元、消元、換元等方法轉(zhuǎn)化為熟悉的單變量不等式;

四、教學(xué)過程

問題1：回顧證明不等式恒成立的解題策略

設(shè)計(jì)意圖?一方面是為引入新知?jiǎng)?chuàng)造認(rèn)知沖突，激發(fā)學(xué)生的探知欲，另一方面是讓學(xué)生思考，新舊知識(shí)之間的聯(lián)系與轉(zhuǎn)化。

引入：

問題2：不等式中的雙變量取值有何特征，如何轉(zhuǎn)化為我們前面所學(xué)的不等式證明問題？

設(shè)計(jì)意圖 引入對數(shù)平均不等式證明，一方面，任意恒成立問題，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，學(xué)生比較熟悉容易入手;另方面，為例1中運(yùn)用對數(shù)平均不等式放縮埋下伏筆。

先證較簡潔的右側(cè)：

五、課后反思

導(dǎo)數(shù)中的多變量問題，是考試的重點(diǎn)、難點(diǎn)，也是學(xué)生比較難以下手的一個(gè)主要模塊之一。本節(jié)課為了能夠讓學(xué)生形成此類題型的常規(guī)解題框架圖，采用的是一題多解，“多解歸一”——把多元變量不等式證明，轉(zhuǎn)化為單變量函數(shù)的形式。從簡單的對數(shù)平均不等式引入各種解題策略，到例題對解題方法的強(qiáng)化和鞏固，讓學(xué)生逐步的形成了此類題型的解題模型。

（作者單位：浙江省溫州市第二外國語學(xué)校）