理解復(fù)合函數(shù)的新方法

張茜 魏榜

【摘?要】復(fù)合函數(shù)是由兩個(gè)或兩個(gè)以上簡單函數(shù)組成的，它使函數(shù)更加綜合化，是函數(shù)相互結(jié)合的紐帶，所以學(xué)生容易對復(fù)合函數(shù)的結(jié)構(gòu)模糊，對一些判斷法則的來源不清楚。本篇就復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷法則，采用圖像與表格法相結(jié)合的方式加強(qiáng)學(xué)生對“復(fù)合”的理解，并解釋“同增異減”的判斷法則和實(shí)際可行的操作。

【關(guān)鍵詞】復(fù)合函數(shù);單調(diào)性;數(shù)形結(jié)合;基本函數(shù)

1 引言

形如的函數(shù)一般稱為復(fù)合函數(shù)，若令，則可稱為內(nèi)層函數(shù)，為外層函數(shù)。在高中階段復(fù)合函數(shù)的內(nèi)層和外層一般為初等函數(shù)[1]。

高中階段復(fù)合函數(shù)既是重點(diǎn)又是難點(diǎn)，由于復(fù)合函數(shù)具有綜合性、抽象性、靈活性等特點(diǎn)，借助復(fù)合函數(shù)可以靈活地考查學(xué)生函數(shù)部分四基的掌握和運(yùn)用情況，所以復(fù)合函數(shù)對學(xué)生來說理解較為不易，得分率較低，是學(xué)生的易失分點(diǎn)[2]。造成如此現(xiàn)狀的原因有許多，筆者認(rèn)為主要是對“復(fù)合”二字理解不到位，處理“復(fù)合”的方法不當(dāng)，單純講“同增異減”過于抽象，在解決復(fù)雜問題時(shí)難以入手，沒有教給學(xué)生處理復(fù)合問題的基本方法，很難做到處理復(fù)合函數(shù)問題時(shí)舉一反三。課標(biāo)雖未對復(fù)合函數(shù)作過高要求，但在日?？荚囍校瑢?fù)合函數(shù)性質(zhì)兩域三性質(zhì)等問題的考查依然十分深入，尤其是復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性。今天，就跟隨筆者的腳步，一同探析復(fù)合函數(shù)的“廬山真面目”吧！

2 復(fù)合函數(shù)單調(diào)性表格法及其原理

正如引言所說，復(fù)合函數(shù)重要的是對“復(fù)合”的理解，那么我們?nèi)绾翁幚怼皬?fù)合”函數(shù)的單調(diào)性問題呢？比如，函數(shù)的單調(diào)性的判斷，我們知道，用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷法則“同增異減”判斷，很容易得出在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減。不容置疑，這種方法對于一些內(nèi)外層函數(shù)均為單調(diào)性特征比較強(qiáng)的初等函數(shù)的復(fù)合函數(shù)，判斷其單調(diào)性是非常有實(shí)用價(jià)值的，但這種方法如何判斷函數(shù)的圖像變化情況呢？

筆者認(rèn)為，我們可以從數(shù)和形兩個(gè)角度相結(jié)合加以理解。從代數(shù)角度分析看有，既是的“因變量”，又是的“自變量”，也就是中間變量為搭了一座“橋”，而這座“橋”就是聯(lián)系和是解決問題的關(guān)鍵，許多簡單的問題直接分析即可。

我們再從圖形角度來看，結(jié)合內(nèi)外層函數(shù)的圖像，得出的聯(lián)系，隨之通過表格法加以呈現(xiàn)，更有利于學(xué)生從更為直觀地理解復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，讓復(fù)合函數(shù)的變換情況“現(xiàn)出原形”。以下通過具體例題詳細(xì)分析，詳細(xì)說明表格法的應(yīng)用步驟。

3 例題精講

例1（2018全國理科三卷7）的圖像大致為（?）

分析：

第一步分解：將復(fù)合函數(shù)適當(dāng)?shù)胤纸鉃閮蓚€(gè)基本的內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)，并求出內(nèi)外層函數(shù)的定義域，即求出和的范圍。不難看出，函數(shù)，內(nèi)層初等函數(shù)記為，。外層函數(shù)記為。

第二步作圖：分別作出內(nèi)外層函數(shù)的圖像，如下圖內(nèi)外層函數(shù)圖像所示（注：作出相應(yīng)定義域內(nèi)的圖像即可）。

第三步找分界點(diǎn)：分別找出可能影響函數(shù)單調(diào)性的點(diǎn)，即內(nèi)外層函數(shù)圖像中引起單調(diào)性突變的點(diǎn)以及“間斷點(diǎn)”，并求出外層函數(shù)的分界點(diǎn)所對應(yīng)的內(nèi)層函數(shù)的值[3]。

第四步分段列表：按第三步得到的3個(gè)分界點(diǎn)將數(shù)軸分為4段，由于每一段上均單調(diào)，則可列表格進(jìn)行分析。

內(nèi)層?外層

我們根據(jù)以上分析列出變化趨勢表格：

第五步分析表格得出結(jié)論：分析在不斷增大幾個(gè)變化過程中，的變化趨勢即可得出函數(shù)單調(diào)性結(jié)論，必要時(shí)可以根據(jù)單調(diào)性和特殊點(diǎn)做出函數(shù)的草圖。由上表可以得到當(dāng)自變量不斷增大時(shí)，的變化趨勢，也就是函數(shù)單調(diào)性，即函數(shù)在區(qū)間和單調(diào)遞增，在區(qū)間和單調(diào)遞增。即可做出函數(shù)圖像為：

評注：上述解法看似小題大做，實(shí)則不然！在做兩個(gè)基本函數(shù)圖像以及列表格的過程中，涉及到的處理方法看似繁瑣，實(shí)則體現(xiàn)了理解與思考復(fù)合函數(shù)單調(diào)性最為基本的思維方式，此處理一些復(fù)雜的復(fù)合函數(shù)題時(shí)，思路更清晰有條理。如果能較好地理解和掌握上訴方法，在做高考題時(shí)將是“降維打擊”，請看例2。

例2（2017全國文二卷8）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是?（?）

解：可以看作由內(nèi)層，或和外層復(fù)合而來。由內(nèi)外層函數(shù)圖像可列出變化趨勢表格表示如下：

判斷單調(diào)性的關(guān)鍵在于增大時(shí)增大還是減小，由于第一行從左往右都是不斷增大的，的變化趨勢只用看第三排即可，若增大則對應(yīng)的區(qū)間為增區(qū)間，反之則為減區(qū)間。

顯然，單增區(qū)間為

例3 求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間。

解：內(nèi)層函數(shù)為，外層函數(shù)為，由內(nèi)外層函數(shù)圖像可列出變化趨勢表格：

我們看從的變化過程中，所對應(yīng)的值卻是從大到小，而我們上述所采取的內(nèi)外函數(shù)圖像表格法討論的前提是的值從小到大遞增的，所以可以論證當(dāng)時(shí)，如果直接從遞增區(qū)間上討論的話，是錯(cuò)誤的。

根據(jù)以上分析，我們具體來應(yīng)用這個(gè)方法，深度體會該方法的合理性與邏輯性。

其實(shí)求解三角型函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，站在復(fù)合函數(shù)的角度可更好的解釋其原理，時(shí)，函數(shù)單增區(qū)間的求法是令，解出范圍即可;求單調(diào)遞減區(qū)間，則令，解出范圍即為單調(diào)遞減區(qū)間。當(dāng)時(shí)，與之相反。

例4 已知函數(shù)，則函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是

根據(jù)外層函數(shù)圖像得，是外層函數(shù)的分界點(diǎn)，則時(shí)，內(nèi)層函數(shù)的分界點(diǎn)是，解得，，由內(nèi)層函數(shù)圖像知內(nèi)層函數(shù)自身分界點(diǎn)是

列出復(fù)合表格為：

總結(jié)：我們從以上分析可以知道，這種復(fù)合函數(shù)單調(diào)性表格法實(shí)質(zhì)上是通過數(shù)形結(jié)合的思想，將內(nèi)外層函數(shù)的變化情況通過圖像或表格的形式直觀表現(xiàn)出來，對每一段的變化情況條理清晰地步步分析，有條不紊地得出我們想要的結(jié)果。

這種數(shù)形結(jié)合的思想方法，同樣對于處理復(fù)合函數(shù)不等式以及復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)等題型時(shí)依舊適用。

例5（復(fù)合函數(shù)不等式問題）：已知函數(shù)，則函數(shù)大于時(shí)，的取值范圍是?.

解：由題意分別做出內(nèi)外層函數(shù)圖像：由內(nèi)層函得，所以外層函數(shù)，的取值范圍是。因?yàn)槭峭鈱雍瘮?shù)，所以，我們求得（舍），時(shí)與外層函數(shù)自變量的取值范圍相矛盾，所以舍去，所以只需考慮的情況。此時(shí)的是內(nèi)層函數(shù)的因變量，我們在內(nèi)層函數(shù)中求得的取值范圍，解得

例6（復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題）關(guān)于的方程的不同實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)有多少？

分析：由題中絕對值符號我們自然能想到拆絕對值，根據(jù)絕對值里的正負(fù)性分情況來分類討論，但那樣做的話比較繁瑣，且因?yàn)樽陨淼闹狄灿姓?fù)情況，所以拆絕對值的方法可行，但并不提倡這種做法。很明顯，這個(gè)方程中的可以視為，將視為一個(gè)整體。

求解得到或，在內(nèi)層函數(shù)圖像中，我們可以看到、與內(nèi)層函數(shù)共有5個(gè)不同的交點(diǎn)，所以的不同實(shí)數(shù)根共有5個(gè)。

4 總結(jié)

復(fù)合函數(shù)是函數(shù)學(xué)習(xí)中的一大難點(diǎn)，復(fù)雜抽象，所以教學(xué)中應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力和分析轉(zhuǎn)化能力。但任何抽象都是建立在具體之上，由具體背景逐級抽象而來。在函數(shù)學(xué)習(xí)前期，應(yīng)盡可能為學(xué)生創(chuàng)造形象的數(shù)學(xué)背景，讓學(xué)生的抽象能力建立在幾何直觀的基礎(chǔ)上，這樣發(fā)展而來的抽象能力更具有生命力。

復(fù)合函數(shù)表格法的關(guān)鍵在于通過對內(nèi)外層函數(shù)圖像的分析找出函數(shù)單調(diào)性的分界點(diǎn)，列表法更容易接受，借助表格培養(yǎng)學(xué)生處理數(shù)學(xué)問題時(shí)的條理性，并且可以為將來學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)法列表格做出鋪墊，前后照應(yīng)、遙相呼應(yīng)。學(xué)好復(fù)合函數(shù)，掌握復(fù)合函數(shù)的簡化方法，對認(rèn)知復(fù)雜函數(shù)以及今后學(xué)習(xí)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)等問題大有益處。

參考文獻(xiàn)：

[1]宗麗華.用內(nèi)外層函數(shù)圖象解初等復(fù)合函數(shù)[J].數(shù)理化學(xué)習(xí)（高三版），2015（07）：8-9.

[2]王宇，張洪剛.關(guān)于復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的研究[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2016（23）：126.

[3]鄒少偉.復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2016（03）：106.

作者簡介：

張茜，女，1997年2月，漢族，河南周口，碩士研究生，首都師范大學(xué)學(xué)科教學(xué)（數(shù)學(xué)）研究生，主要研究中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)方法，教材分析等。

魏榜，男，1998年11月，漢族，四川瀘州，首都師范大學(xué)碩士研究生。

（作者單位：首都師范大學(xué)學(xué)科教學(xué)（數(shù)學(xué)）研究生）