數(shù)學(xué)思想方法的滲透

李建軍

【摘要】初中有理數(shù)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中是非常重要的，在初等數(shù)學(xué)中，這一章被稱為奠基石，它是學(xué)生學(xué)習(xí)代數(shù)的基本，不僅內(nèi)容非常豐富，而且數(shù)學(xué)思想方法也非常多，非常有利于在這方面對(duì)學(xué)生的培養(yǎng)。初中數(shù)學(xué)教師在教育教學(xué)中，不僅要傳授知識(shí)、技能，還要滲透數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)意識(shí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)素質(zhì)人才，非常有利于未來數(shù)學(xué)學(xué)科的長遠(yuǎn)發(fā)展?；诖?，本文以初中有理數(shù)教學(xué)為例，分析了教學(xué)中的數(shù)形結(jié)合方法、分類討論方法、轉(zhuǎn)化思想、化歸思想，進(jìn)而在教學(xué)中有效滲透教學(xué)思想方法，以此來供相關(guān)人士交流參考。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)思想方法 ?初中有理數(shù) ?教學(xué) ?滲透

【中圖分類號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2020）48-0037-02

在數(shù)學(xué)學(xué)科教育教學(xué)中，數(shù)學(xué)思想方法是非常重要的，教師在提出問題、思考問題、講授概念、推導(dǎo)結(jié)論、總結(jié)規(guī)律等等這些過程中，通常都有數(shù)學(xué)思想方法的滲透，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)，鍛煉思維方式的拓展[1]。對(duì)于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)，他們必須要具備一定數(shù)學(xué)思想方法，才能有效提高數(shù)學(xué)成績，有利于未來持續(xù)發(fā)展，教師要在七年級(jí)的數(shù)學(xué)教學(xué)中，就有意識(shí)地滲透數(shù)學(xué)思想方法。而在初中有理數(shù)教學(xué)中，這種方法是比較豐富的，非常有利于教師展開教學(xué)活動(dòng)，但同時(shí)，這種方式不容易直接被學(xué)生發(fā)現(xiàn)，這就需要教師發(fā)揮其引導(dǎo)作用，在日常教學(xué)中，注意對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的滲透，還要經(jīng)常運(yùn)用這些方法，使學(xué)生做到有效掌握。

一、數(shù)形結(jié)合方法

“數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬事休”是我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾經(jīng)說過的話，它通過將抽象的數(shù)進(jìn)行具象化，使直觀的圖與抽象的數(shù)有機(jī)結(jié)合起來。數(shù)形結(jié)合可以更好地去把握問題的實(shí)質(zhì)，避免一些簡單錯(cuò)誤的發(fā)生。

【例1】已知條件為：a與b之間距離為8，并且a與b互為相反數(shù)，a>b，要求：求出a與b的值。

在學(xué)生解答這道題的時(shí)候，很容易由于錯(cuò)誤理解絕對(duì)值的概念，從而將答案寫成±8，但是此刻教師若將數(shù)形結(jié)合的方法教給學(xué)生，引導(dǎo)學(xué)生做此類試題時(shí)借助畫圖進(jìn)行分析，就能避免此類錯(cuò)誤的發(fā)生。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，非?；镜母拍罹褪菙?shù)與形，對(duì)學(xué)生來書，數(shù)是非常抽象的，而圖形非常直觀，將兩者有效結(jié)合起來就形成數(shù)形結(jié)合方法。在初中解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，這種方法應(yīng)用非常廣泛，無論是教師還是學(xué)生，通過畫圖可以更直觀對(duì)問題進(jìn)行分析，使之簡單化，更容易解決數(shù)學(xué)問題。教師在對(duì)有理數(shù)授課時(shí)，要有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生對(duì)這種方法的應(yīng)用，使他們形成畫圖解決問題的習(xí)慣，從而能夠熟練運(yùn)用這種方法。本章針對(duì)有理數(shù)進(jìn)行分析時(shí)，借助了數(shù)軸用來描述，不僅非常直觀形象，而且在有理數(shù)運(yùn)算中，數(shù)軸也發(fā)揮了重要作用，充當(dāng)工具角色，幫助學(xué)生分析問題、理解問題、解決問題。

【例2】若a>0，b<0，并且|a|>|b|，請(qǐng)你試著用“>”號(hào)表示a，-a，b，-b之間的大小關(guān)系。

分析：在對(duì)這種問題進(jìn)行分析時(shí)，可以借助數(shù)軸來表示這些數(shù)，進(jìn)而非常直觀的就可以看出大小。由題意已知，a>0，b<0，所以在數(shù)軸中，a在原點(diǎn)右邊，b在原點(diǎn)左邊，而且因?yàn)閍的絕對(duì)值比b的絕對(duì)值大，因此b離原點(diǎn)更近，a離原點(diǎn)更遠(yuǎn)，在數(shù)軸中標(biāo)出來。同時(shí)，根據(jù)所學(xué)過的相反數(shù)概念，在數(shù)軸中標(biāo)出-a，-b，又知道在數(shù)軸中，右邊的數(shù)比左邊的數(shù)大，從而非常容易就可以得出a>b>-b>-a。

在初中數(shù)學(xué)中，在絕對(duì)值、相反數(shù)等相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)中，非常重要的數(shù)學(xué)思想方法就是數(shù)形結(jié)合，該法能夠幫助學(xué)生理解題目含義，避免許多錯(cuò)誤，并且在以后的函數(shù)模塊學(xué)習(xí)中也會(huì)應(yīng)用到該思想方法，在數(shù)學(xué)教學(xué)中有著極其重要的作用，所以教師在授課過程中，對(duì)于學(xué)生數(shù)形結(jié)合方法的應(yīng)用一定要重點(diǎn)講解，為學(xué)生之后的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。

二、分類討論方法

在數(shù)學(xué)教學(xué)中另一種常用的數(shù)學(xué)思想方法是分類討論法，像幾何圖形的分類、有理數(shù)的分類等。為加深學(xué)生知識(shí)理解的深度，幫助學(xué)生更好地理解知識(shí)點(diǎn)的內(nèi)涵，掌握課堂知識(shí)的同時(shí)，更多地拓展相關(guān)知識(shí)，就需要教師著重幫學(xué)生掌握分類討論方法。

分類討論這種方法在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，是在對(duì)問題進(jìn)行解決時(shí)，為了更好分析問題，正確解決問題，要對(duì)此進(jìn)行分析考慮，針對(duì)不同情況作出分類，然后一步一步進(jìn)行解答，最后再將這些結(jié)果進(jìn)行綜合，就可以全面得出問題答案，作出回答。這種分類討論，在解決某些數(shù)學(xué)問題時(shí)，非常關(guān)鍵，可以不遺漏某一種情況下的答案，可以幫助學(xué)生整理知識(shí)、理解知識(shí)，從而提高認(rèn)知能力，數(shù)學(xué)思維得到有效發(fā)散。只有引導(dǎo)學(xué)生在解題過程中將問題可能出現(xiàn)的所有情況進(jìn)行分類討論，才能正確解決問題，值得注意的是，使用分類討論方法時(shí)不能相互矛盾、重合。

【例3】若|a|=5，|b|=7，試求a+b的值。

分析：要充分考慮絕對(duì)值的概念，明確得出，a、b都有兩個(gè)值，要考慮不同取值下的情況，所以針對(duì)這個(gè)問題，要進(jìn)行分類，從而得出答案。

解：因?yàn)閨a|=5，|b|=7，所以a=±5，b=±7

（1）當(dāng)a=5，b=7時(shí)，a+b=5+7=12

（2）當(dāng)a=-5，b=7時(shí)，a+b=2

（3）當(dāng)a=5，b=-7時(shí)，a+b=-2

（4）當(dāng)a=-5，b=-7時(shí)，a+b=-12

綜上，a+b的值可能為12;2;-2;-12

【例4】試比較a與2a的大小。

分析：對(duì)于剛剛步入初中有理數(shù)學(xué)習(xí)范圍內(nèi)的學(xué)生來說，本題具有一定的難度與挑戰(zhàn)性，有理數(shù)的學(xué)習(xí)，將他們的數(shù)域擴(kuò)大到了負(fù)數(shù)，在他們最初的數(shù)字范疇內(nèi)，只有正數(shù)，也就是a>0的概念，因此拿到該題，他們會(huì)很快給出2a>a的錯(cuò)誤答案。

在解決該題時(shí)，教師應(yīng)著重對(duì)學(xué)生強(qiáng)調(diào)有理數(shù)的概念，讓學(xué)生意識(shí)到a不僅可以是正數(shù)，還有可能是負(fù)數(shù)或是0，引導(dǎo)學(xué)生解決問題時(shí)，運(yùn)用分類討論方法，將問題中a的可能性一一列舉，分情況討論a與2a的大小關(guān)系。即：①當(dāng)a=0時(shí)，a=2a;②當(dāng)a>0時(shí)，2a>a;③當(dāng)a<0時(shí)，2a

通過這樣的分類討論，可以全面考慮每種情況，利用不同標(biāo)準(zhǔn)，使每種情況也不重復(fù)，全面分析了在絕對(duì)值中，有理數(shù)的正負(fù)號(hào)情況，進(jìn)而更加清楚地解決問題，使之簡單化，容易解決。

三、轉(zhuǎn)化思想

將現(xiàn)有需要解決的難題轉(zhuǎn)化成已經(jīng)解決的問題或是較為簡單的問題就是轉(zhuǎn)化思想。換句話說，該方法是將未知的問題轉(zhuǎn)化為已知知識(shí)，將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題的一種數(shù)學(xué)思想方法。

在有理數(shù)的運(yùn)算中，轉(zhuǎn)化思想應(yīng)用得比較廣泛。在對(duì)某些數(shù)學(xué)問題進(jìn)行解決時(shí)，可能會(huì)面臨新的未知問題，這時(shí)候就要進(jìn)行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化成學(xué)生熟悉的已知問題，將繁瑣問題簡單化，對(duì)于那些比較抽象的問題，學(xué)生不能很好理解的問題，轉(zhuǎn)化成直觀、簡單、明了的問題。在初中數(shù)學(xué)應(yīng)用中，可以說它是非常有實(shí)效性的，比較基礎(chǔ)，可以很好地幫助學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題。在有理數(shù)運(yùn)算中，轉(zhuǎn)化思想可以說是精髓，轉(zhuǎn)化的過程就是運(yùn)算的過程，比如除以一個(gè)數(shù)，可以當(dāng)成乘以它的倒數(shù);減去一個(gè)負(fù)數(shù)，可以當(dāng)成加它的相反數(shù)。

分析：在這個(gè)有理數(shù)計(jì)算題中，有乘法，有除法，還有加法，一般要運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，將除法進(jìn)行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化成學(xué)生比較熟悉的乘法，接著再運(yùn)用乘法法則，進(jìn)行有效計(jì)算。

四、化歸思想

對(duì)于化歸思想，它也是數(shù)學(xué)問題解決中比較常用的一種方法，在解決問題的過程中，對(duì)陌生問題進(jìn)行分析，利用轉(zhuǎn)化，歸結(jié)成一簡單、熟悉的問題，從而充分調(diào)動(dòng)以前學(xué)過的方法、經(jīng)驗(yàn)、知識(shí)、能力，對(duì)此進(jìn)行解決。通過化歸思想，把問題做出一定轉(zhuǎn)化，使學(xué)生有思路、有想法，更加簡便地找到答案，解決問題。

【例6】21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，經(jīng)過分析，2100個(gè)位數(shù)為6，22002個(gè)位數(shù)為4，請(qǐng)用這種方法進(jìn)行分析，說出32005個(gè)位數(shù)為多少？

分析：學(xué)生可能覺得非常困難，可以引導(dǎo)學(xué)生找出規(guī)律，觀察前四個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)，接著觀察再4個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)，然后發(fā)現(xiàn)規(guī)律，是根據(jù)2，4，6，8進(jìn)行循環(huán)，由此非常容易就可以得出答案。

五、集合思想

將符合統(tǒng)一條件對(duì)象集中到一起就是集合思想，使用集合思想可以讓問題變得直觀易懂。例如：可以將共青團(tuán)看作一個(gè)集合，初一（1）班里所有的學(xué)生也可看作一個(gè)集體。

【例7】將下列數(shù)字放入相應(yīng)的集合內(nèi)

該題能夠幫助學(xué)生充分理解集合思想，并且通過此類問題，能夠加深學(xué)生對(duì)集合思想的印象。

六、逆向思維

將問題反方向思考就是逆向思維。

【例8】計(jì)算：2×4+2×1.5-2×（-2.5）

分析：首先整體觀察該題，不難發(fā)現(xiàn)，在每個(gè)部分中都有共同的2，而我們之前學(xué)過乘法分配律a（b+c+d）=ab+ac+ad，將逆向思維運(yùn)用進(jìn)該規(guī)律中就可以轉(zhuǎn)化為ab+ac+ad=a（b+c+d），所以就可將該題直接轉(zhuǎn)為2×（4+1.5+2.5）=2×8=16。

七、類比思想

為了讓學(xué)生能夠進(jìn)一步掌握更多的知識(shí)，可以通過類比思想，將不同知識(shí)之間的聯(lián)系與區(qū)別進(jìn)行歸納總結(jié)。

【例9】計(jì)算（2.8-0.5-1.7）×（-30）

分析：當(dāng)學(xué)生初次遇到這類問題時(shí)，可以先讓學(xué)生將小學(xué)階段所學(xué)習(xí)過的乘法分配律回憶一下，再讓學(xué)生自主思考，若是將題目中的“-30”換作是“30”，題目又該如何作答。我們升入初中后，進(jìn)行有理數(shù)學(xué)習(xí)時(shí)，區(qū)別就是加入了負(fù)數(shù)的概念，但相同點(diǎn)是，無論是正數(shù)還是負(fù)數(shù)都可以使用同樣的運(yùn)算規(guī)律及方法，只不過處理方式略有差異，最關(guān)鍵的一點(diǎn)是將負(fù)數(shù)處理好。

八、方程思想

學(xué)生在初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中開始進(jìn)行由記憶型向理解型方向轉(zhuǎn)型，同時(shí)該階段內(nèi)學(xué)生的理解能力也在不斷提升，該階段內(nèi)為幫助學(xué)生更好地學(xué)好數(shù)學(xué)，可以逐步將方程思想教給學(xué)生，提升學(xué)生的理解能力，而利用方程將未知問題解答出來就是方程思想。

【例10】已知：a+5與b-3互為相反數(shù)，試求出8-2a-2b的值。

學(xué)生拿到該問題后，可以引導(dǎo)學(xué)生先以題中給出的已知條件為出發(fā)點(diǎn)，已知兩個(gè)部分之間互為相反數(shù)，也就是這兩部分的和為0，從而可以列出方程（a+5）+（b-3）=0，由此可以得出a+b=-2的結(jié)果，最后將（a+b）看作一個(gè)已知整體，代入題中進(jìn)行計(jì)算。

即：8-2a-2b=8-2（a+b）=8-2×（-2）=12

綜上可知，在初中有理數(shù)教育教學(xué)中，有著許多數(shù)學(xué)思想方法，可以更好幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí)，解決數(shù)學(xué)問題，實(shí)用性非常強(qiáng)。教師在日常教學(xué)過程中，首先要對(duì)數(shù)學(xué)思想方法有一定重視，然后不僅要強(qiáng)調(diào)學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)能力、培訓(xùn)運(yùn)算技能，還要注意對(duì)這些方法的滲透，進(jìn)而使學(xué)生在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，熟練掌握數(shù)學(xué)思想方法，并能進(jìn)行靈活運(yùn)用。通過數(shù)學(xué)思想方法的滲透，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力、數(shù)學(xué)素養(yǎng)，激發(fā)他們學(xué)習(xí)興趣，提高課堂效率，還可以增強(qiáng)教學(xué)質(zhì)量，達(dá)到預(yù)期效果。

參考文獻(xiàn)：

[1]丁自瑤.交互式電子白板與初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的整合探索——以《有理數(shù)的加法》第1課時(shí)教學(xué)為例[J].中國現(xiàn)代教育裝備，2017（8）：61-63.