深度體驗(yàn)實(shí)驗(yàn)過(guò)程，深刻理解實(shí)驗(yàn)本質(zhì)

黃城紅 劉詠梅

一、現(xiàn)象

“可能性”是人教版數(shù)學(xué)五年級(jí)上冊(cè)的教學(xué)內(nèi)容。在教學(xué)這節(jié)課時(shí)，很多教師都會(huì)做拋硬幣實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生體驗(yàn)事物發(fā)展的可能性及說(shuō)明概率的大小。在教學(xué)中，我們經(jīng)常會(huì)見(jiàn)到如下的教學(xué)過(guò)程：學(xué)生分小組拋硬幣，以同桌的兩個(gè)人為一組，一個(gè)拋，一個(gè)記錄，當(dāng)拋了10次后，各小組匯總，統(tǒng)計(jì)全班的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，得到結(jié)論：每拋一次硬幣，正面和反面都有可能出現(xiàn)。從每一個(gè)小組統(tǒng)計(jì)的結(jié)果來(lái)看，正面和反面的次數(shù)相差可能會(huì)比較大，也可能比較相近，感覺(jué)沒(méi)有規(guī)律，如果把全班的統(tǒng)計(jì)結(jié)果相加，則正、反面出現(xiàn)的次數(shù)就比較接近。教師再出示歷史上一些數(shù)學(xué)家所做的拋硬幣實(shí)驗(yàn)的有關(guān)材料（如表1），強(qiáng)調(diào)當(dāng)拋硬幣的次數(shù)越多時(shí)，正、反面各出現(xiàn)的概率會(huì)越接近[12]，也就是50%。

二、反思

在這個(gè)教學(xué)過(guò)程中，筆者覺(jué)得有如下幾個(gè)方面值得商榷。

1.學(xué)生的操作不夠規(guī)范

要體現(xiàn)硬幣正、反面出現(xiàn)的隨機(jī)性，那就要求用統(tǒng)一的硬幣，在拋起的過(guò)程中，能夠翻滾較多的次數(shù)，這樣，硬幣落在桌面上出現(xiàn)正、反面就會(huì)更具有隨機(jī)性。但在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，有些教師沒(méi)有規(guī)范拋硬幣的動(dòng)作，學(xué)生拋硬幣的動(dòng)作就會(huì)五花八門(mén)，有的學(xué)生只是把硬幣拎到大概30 cm的高度就松手，讓硬幣自由地落下，沒(méi)有向上拋的動(dòng)作。這樣，硬幣在有限的時(shí)間和空間內(nèi)，沒(méi)有翻滾或只翻滾一兩次就落在桌面上，就不能體現(xiàn)隨機(jī)性。

2.學(xué)生對(duì)可能性的體驗(yàn)不深

學(xué)生只是在教師的要求下進(jìn)行拋硬幣的實(shí)驗(yàn)，做完實(shí)驗(yàn)后，也只是匯報(bào)數(shù)據(jù)，沒(méi)有對(duì)實(shí)驗(yàn)的過(guò)程和結(jié)果進(jìn)行反思，也沒(méi)有對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，這樣就只是純粹為做實(shí)驗(yàn)而做實(shí)驗(yàn)。這個(gè)過(guò)程就好像蜻蜓點(diǎn)水，太快、太淺，一滑而過(guò)，沒(méi)有觸及數(shù)學(xué)的本質(zhì)。表面看起來(lái)學(xué)生都在進(jìn)行拋硬幣操作實(shí)驗(yàn)，很熱鬧，學(xué)生也都參與進(jìn)來(lái)了，但在這種熱鬧的背后卻是數(shù)學(xué)味不足，沒(méi)有蘊(yùn)含數(shù)學(xué)思考。

3.對(duì)硬幣正、反面出現(xiàn)的概率理解有偏差

當(dāng)拋的次數(shù)越多，硬幣正、反面出現(xiàn)的概率就越接近50%嗎？這樣的表述是否正確？把歷史上一些數(shù)學(xué)家做的硬幣實(shí)驗(yàn)?zāi)贸鰜?lái)比較，是否具有可比性？

對(duì)于硬幣正、反面出現(xiàn)的概率，我們都知道，各是50%，于是就想通過(guò)實(shí)驗(yàn)來(lái)證明。實(shí)際上，這個(gè)概率是不需要證明的，而且是證明不了的。比如在做1萬(wàn)次實(shí)驗(yàn)時(shí)，恰巧得到硬幣正、反面各是5 000次，就能說(shuō)得到這個(gè)結(jié)論了嗎？不一定，因?yàn)槿绻谶@基礎(chǔ)上再做一次，又不是50%了。所以，從某種程度來(lái)說(shuō)，這是一個(gè)不可能經(jīng)過(guò)實(shí)驗(yàn)?zāi)茏C明得到的結(jié)論。既然得不到結(jié)論，為什么還要去做這個(gè)拋硬幣的實(shí)驗(yàn)?zāi)兀?/p>

我們做這個(gè)實(shí)驗(yàn)，不是要刻意地追求概率是50%的結(jié)果，而是要體驗(yàn)50%的大概存在，體驗(yàn)這個(gè)實(shí)驗(yàn)的過(guò)程。因?yàn)檫@個(gè)概率50%是由這個(gè)實(shí)驗(yàn)的本質(zhì)所決定的：只要把同一枚硬幣從同一個(gè)高度拋，在空中有足夠多的翻滾次數(shù)，這個(gè)實(shí)驗(yàn)本身就決定了硬幣正、反面出現(xiàn)的概率是50%。而我們做實(shí)驗(yàn)時(shí)，記錄的只是硬幣正、反面出現(xiàn)的頻率，這個(gè)頻率是可以經(jīng)過(guò)實(shí)驗(yàn)統(tǒng)計(jì)而得到的，這個(gè)頻率只是這個(gè)概率50%的外在表現(xiàn)形式，這個(gè)頻率也只是表現(xiàn)這個(gè)實(shí)驗(yàn)的本質(zhì)。所以，我們做實(shí)驗(yàn)統(tǒng)計(jì)的只是頻率，通過(guò)這個(gè)統(tǒng)計(jì)到的頻率去推測(cè)概率，感知概率，而不是去證明它。

對(duì)于硬幣正、反面出現(xiàn)的概率問(wèn)題，還應(yīng)該這樣理解：這個(gè)實(shí)驗(yàn)的本身就決定了50%的概率，如圖1中的那條表示[12]的橫線，而我們做拋硬幣出現(xiàn)的正、反面的概率，就是圍繞這條[12]的橫線上下波動(dòng)的一條毫無(wú)規(guī)律的曲線，這條曲線在局部看時(shí)，可能會(huì)波動(dòng)比較大，但做的實(shí)驗(yàn)次數(shù)更多時(shí)，從整體看，這條曲線就會(huì)鈍化，波動(dòng)也就沒(méi)有那么劇烈了，就會(huì)更接近于50%了。圖2的這條股票K線，當(dāng)交易日較少時(shí)，看起來(lái)波動(dòng)的范圍比較大，而當(dāng)交易日比較多時(shí)，此時(shí)就要看股票月K線，就感覺(jué)波動(dòng)不大了，所以我們?cè)诳偨Y(jié)實(shí)驗(yàn)結(jié)論時(shí)，不能說(shuō)成是當(dāng)拋硬幣的次數(shù)越多，概率就越接近50%，因?yàn)槿绻@樣表述，畫(huà)出的圖像就應(yīng)該是圖3這樣，這是不符合這個(gè)實(shí)驗(yàn)的本意的。

另外，在累加學(xué)生的實(shí)驗(yàn)次數(shù)之后，再與歷史上的數(shù)學(xué)家所做的實(shí)驗(yàn)進(jìn)行對(duì)比，這樣做科學(xué)嗎？科學(xué)家也是在做拋硬幣實(shí)驗(yàn)，但他們用的硬幣與我們所用的硬幣是一樣的嗎？我們之所以用硬幣來(lái)做拋投實(shí)驗(yàn)，就是因?yàn)槿〔姆奖?，?chǎng)地要求也不高。但我們都知道，硬幣只是近似的矮圓柱體，但每個(gè)國(guó)家硬幣的底面直徑和高度都不同，在硬幣上雕刻的花紋也不同，不同硬幣的重心會(huì)稍微有些不同，這樣做出來(lái)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果當(dāng)然不同。所以，在拋不同硬幣時(shí)，有些硬幣正面出現(xiàn)的概率可能會(huì)比50%稍微多一些，而有些硬幣正面出現(xiàn)的概率就會(huì)比50%少些。從理論上來(lái)說(shuō)，拋不同的硬幣，就屬于不同的實(shí)驗(yàn)，是不具有可比性的。

三、實(shí)驗(yàn)的再處理

為了讓學(xué)生更好地體驗(yàn)這個(gè)實(shí)驗(yàn)的本質(zhì)，我們可以重新處理這個(gè)實(shí)驗(yàn)過(guò)程。

全班用統(tǒng)一的硬幣。我國(guó)現(xiàn)行常用的硬幣有1元和5角兩種，其中5角硬幣偏輕、偏小，相比較，全班統(tǒng)一用1元硬幣較為合適。

先猜測(cè)實(shí)驗(yàn)的結(jié)果。根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生能猜到硬幣正、反面出現(xiàn)的概率是相等的。

讓學(xué)生自己設(shè)計(jì)拋硬幣實(shí)驗(yàn)的方案。有了猜測(cè)，就必須用實(shí)驗(yàn)來(lái)驗(yàn)證。如何做這個(gè)實(shí)驗(yàn)?zāi)?？教師可以讓學(xué)生自己設(shè)計(jì)和討論。學(xué)生在討論中，就會(huì)出現(xiàn)各種拋硬幣的方法，通過(guò)比較和辨析，明確要求把硬幣舉到統(tǒng)一高度（例如40 cm），再往上拋，讓硬幣有充分多的翻滾次數(shù)，這樣才能體現(xiàn)這個(gè)實(shí)驗(yàn)的隨機(jī)性;學(xué)生也會(huì)認(rèn)識(shí)到，做一次實(shí)驗(yàn)不具有代表性，做的次數(shù)越多就越具有統(tǒng)計(jì)意義，但要在課堂上做比較多的次數(shù)，時(shí)間又有限，于是，學(xué)生分組做10次實(shí)驗(yàn)后，各組再把結(jié)果累加。學(xué)生在討論實(shí)驗(yàn)方案過(guò)程中，就已經(jīng)初步感知這個(gè)實(shí)驗(yàn)的目的就是要突出隨機(jī)性，也知道要證明猜測(cè)的正確性，實(shí)驗(yàn)方法必須正確，而且要有大量的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來(lái)驗(yàn)證，這也培養(yǎng)了學(xué)生理性的科學(xué)精神，學(xué)生體會(huì)到正確的實(shí)驗(yàn)方法的重要性，為今后的學(xué)習(xí)和研究滲透了良好的科學(xué)研究精神和態(tài)度。

為了讓學(xué)生更好地體會(huì)隨機(jī)性，教師可以利用表2。從表中可以看出，在每次拋硬幣之前，教師都要求學(xué)生猜測(cè)結(jié)果，再與每次的實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。增加這個(gè)猜測(cè)環(huán)節(jié)，可以讓學(xué)生充分感受到這個(gè)實(shí)驗(yàn)的結(jié)果是很難猜測(cè)到的，是不受人為控制的，是無(wú)序的，從而更深刻地體會(huì)硬幣正、反面出現(xiàn)的隨機(jī)性，從而更好地感受可能性的本質(zhì)。

這個(gè)實(shí)驗(yàn)，不需要教師把結(jié)論告訴學(xué)生，而是要讓學(xué)生在自己實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上發(fā)現(xiàn)規(guī)律和總結(jié)規(guī)律，讓學(xué)生自己把實(shí)驗(yàn)過(guò)程中的感受說(shuō)出來(lái)，這才是這個(gè)實(shí)驗(yàn)最需要得到的東西。

教師還可以讓學(xué)生在課后做同時(shí)拋兩枚硬幣的實(shí)驗(yàn)，記錄實(shí)驗(yàn)結(jié)果。讓學(xué)生思考：各會(huì)出現(xiàn)什么情況？每種情況出現(xiàn)的頻率大概是多少？讓學(xué)生在實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)規(guī)律、總結(jié)規(guī)律，學(xué)生也會(huì)很熱衷于做這樣有趣的實(shí)驗(yàn)。

從以上可以看出，學(xué)生在這個(gè)拋硬幣的實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，不應(yīng)只是一個(gè)按教師指令進(jìn)行拋硬幣的操作者，也不是一個(gè)被告知結(jié)果的接受者，而應(yīng)該是一個(gè)具有充分自主學(xué)習(xí)能動(dòng)性的實(shí)驗(yàn)者和探究者。豐富的實(shí)驗(yàn)內(nèi)容可以讓學(xué)生在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中有更充分的探究和體驗(yàn)。經(jīng)過(guò)這樣的實(shí)驗(yàn)過(guò)程，學(xué)生對(duì)于隨機(jī)性、可能性的感受將會(huì)更加深刻，也更能理解概率的概念，同時(shí)還能培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)研究精神，提升數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)。

（作者單位：江西省南昌市鐵路第一小學(xué) 江西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)科學(xué)學(xué)院）

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