在直觀比較中理解抽象概念

喻菊

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：在數(shù)學(xué)課程中，應(yīng)當(dāng)注重發(fā)展學(xué)生的數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運(yùn)算能力、推理能力。2019年9月，在南昌市西湖區(qū)小學(xué)數(shù)學(xué)教研活動(dòng)中，小學(xué)數(shù)學(xué)特級(jí)教師吳正憲老師現(xiàn)場(chǎng)執(zhí)教了“面和周長(zhǎng)”這節(jié)課，給筆者留下深刻的印象。“面積”和“周長(zhǎng)”是低年級(jí)學(xué)生極易混淆的兩個(gè)幾何概念，人教版教材在編排時(shí)是分開編排的，“周長(zhǎng)”內(nèi)容安排在三年級(jí)上冊(cè)，“面積”內(nèi)容則安排在三年級(jí)下冊(cè)。教學(xué)中，吳老師打破常規(guī)，將“面”和“周”兩個(gè)概念放在一起教學(xué)。通過“看—找—說—議”等課堂實(shí)踐活動(dòng)，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生多種感官理解“面”和“周”的含義，從而建立“面”與“周”的豐富表象。

【片段一】循序漸進(jìn)，具體呈現(xiàn)：面是面，周是周

師：親愛的同學(xué)們，我是吳老師。今天在這兒和大家聊一聊數(shù)學(xué)的話題。你們?cè)谶@個(gè)教室里看到了黑板，黑板上你又看到了什么呀？

（吳老師在黑板上貼不同顏色不同形狀的卡紙）

生：我看到了黃色、粉色、綠色。

師：哦，他看到了顏色，你呢？

生：我看到了長(zhǎng)方形、三角形、正方形。

師：剛剛有的同學(xué)一眼就看到了黃色、粉色、綠色，這是什么？

生：顏色。

師：還有的同學(xué)看到的是長(zhǎng)方形、正方形、三角形，這是什么？

生：圖形形狀。

師：有人看到了它的顏色，有人看到了它的形狀。

師：假如我拿起一本數(shù)學(xué)書，你首先看到了數(shù)學(xué)書的什么？

生：封面、形狀、顏色、圖形、數(shù)字……

師：剛剛說的顏色，黃色、粉色、綠色，還有你們說的數(shù)字都在哪呀？

生：它的表面。

師：我聽懂了，在這些圖形當(dāng)中，首先映入你們眼簾的是什么？

生：面。

師：字也在面上，顏色也在面上。還有新的發(fā)現(xiàn)嗎？你還能在這個(gè)長(zhǎng)方形上看到什么？

生：看到它的周長(zhǎng)。

師：周長(zhǎng)在哪里？你來指一指。

（學(xué)生用手指繞長(zhǎng)方形一周）

生：周長(zhǎng)就是這個(gè)長(zhǎng)方形的邊兒。

師：真棒！

師：你摸摸這兒（長(zhǎng)方形的長(zhǎng)）有邊嗎？

生：有。

師：這兒（長(zhǎng)方形的寬）有邊嗎？

生：有。

師：數(shù)一數(shù)在這個(gè)圖形里你摸了幾條邊？

生：4條邊。

師：假如同學(xué)們以這兒為起點(diǎn)，從這兒（換一個(gè)端點(diǎn)）開始摸，幾條邊？

生：4條。

師：你能順著摸4條邊嗎？

師：從起點(diǎn)又回到了起點(diǎn)。你正好摸了這個(gè)圖形的什么？

生：一圈、周長(zhǎng)。

師：有人說這是什么？

生：一周、一圈、周長(zhǎng)……

師：你真了不起，一圈在我們數(shù)學(xué)課上就叫一周。

師：同學(xué)們?cè)谶@個(gè)圖形上看到的顏色，它在哪兒了？

生：面上。

師：我們來看看這個(gè)面。

師：有些同學(xué)看到的是面，有些同學(xué)卻看到了邊，從而找到了它的一周，這可不叫周長(zhǎng)。什么叫周長(zhǎng)呢？一會(huì)兒你們一定有新的體會(huì)。

師：今天我們這節(jié)課就和同學(xué)們一起來聊聊“面與周”。

師：大家伸出手來，跟我一起來摸摸它的面，摸的時(shí)候得把手張成一個(gè)大巴掌。

（學(xué)生摸面）

師：再摸摸它的周邊。

（學(xué)生摸周邊）

師：用你們的話說說“面”是什么樣的，“周”又是什么樣的。

生：面長(zhǎng)這樣。

（學(xué)生用筆比畫）

師：你能用自己的話說嗎？

生：面就是平平的一大塊。

師：那黑板呢？地板呢？

生：也是平平的一大塊。

師：你再看看邊是什么樣的，想象一下。

生：直直的。

師：我這兒畫了一個(gè)很怪的圖形，它有邊嗎？

（學(xué)生上臺(tái)用手指繞圖形的一周，指出圖形的邊）

師：這一周也是它的什么？

生：周長(zhǎng)。

師：它是直直的嗎？

生：不是。

師：一周可以是直直的也可以是彎彎的。它是什么樣的？有沒有人能想象出來？

生：像一條線。

師：這條線會(huì)……把它給……

生：很長(zhǎng)、很彎，包住了。

師：這條線是細(xì)細(xì)的、長(zhǎng)長(zhǎng)的，那面兒是什么樣的？

生：平平的。

師：周不僅長(zhǎng)而且很細(xì)，是很長(zhǎng)的一條邊。我們把它想象成很細(xì)的一條線。

師：面和周長(zhǎng)是一樣的嗎？

生：不一樣。

師：是的，面是平平的一大片，周是細(xì)細(xì)的一條線。

師：所以吳老師說面是面，周是周。

師：周和面一點(diǎn)聯(lián)系也沒有嗎？面在哪里？周在哪里？

生：有面的地方就有邊，有邊兒的地方就有面。

師：本來面是面、周是周，你這么一說，面和周誰也離不開誰。

師：有面的地方就有周，有周的地方就有面。

師：面在哪兒？誰能說出來？

生：周的里面。

師：那周呢？

生：周在面的外面。

……

【賞析】圖形的認(rèn)識(shí)過程遵循“整體感知—定性描述—定量刻畫”三個(gè)階段。在教學(xué)中，學(xué)生已經(jīng)對(duì)平面圖形有了一個(gè)整體感知，也了解了長(zhǎng)方形、正方形的特征，發(fā)展到對(duì)長(zhǎng)方形和正方形定量刻畫的階段?！懊妗迸c“周”就是圖形定量刻畫的對(duì)象，所以清晰地建立面和周的概念就顯得尤為重要。

教育學(xué)家烏申斯基說過：兒童是依靠形狀、顏色、聲音和感覺來進(jìn)行思維的。在教學(xué)中，吳老師用“色”凸顯“面”，用“邊”理解“周”，順應(yīng)兒童認(rèn)知心理發(fā)展規(guī)律。同時(shí)，吳老師還讓學(xué)生用自己的語言對(duì)“面”和“周”的特征進(jìn)行描述，“面是平平的一大片”“周是細(xì)細(xì)的一條線”，借助兒童的語言幫助理解、記憶抽象的概念，較好地幫助學(xué)生建立“面”的概念、“周”的概念。但是，單獨(dú)的概念不是我們教學(xué)的最終目標(biāo)。通過概念的學(xué)習(xí)，要不斷豐富學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，把單一的概念變成有聯(lián)系的概念，把一些有聯(lián)系的概念變成結(jié)構(gòu)化的、系統(tǒng)性的概念。吳老師在學(xué)生理解、認(rèn)識(shí)了“面”和“周”的概念之后，卻峰回路轉(zhuǎn)來一句：“它們一點(diǎn)聯(lián)系也沒有嗎？”從而深度挖掘“面”和“周”之間的聯(lián)系，幫助學(xué)生建構(gòu)知識(shí)體系，使之結(jié)構(gòu)化、系統(tǒng)化。

【片段二】直觀比較，深度理解：“周”和“周長(zhǎng)”不一樣

師：你能從這兒起，用手指來指一指正方形的一周嗎？

（學(xué)生用手指繞圖形一圈，回到起點(diǎn)）

師：接下來老師就要把這一周的邊線從它身上剝下來。

師：這是什么點(diǎn)？

生：起點(diǎn)。

師：（剝下一條邊的邊線）這是一周嗎？

生：不是。

師：回到哪里就叫一周呢？我繼續(xù)走，你們說停我就停。

師：我現(xiàn)在把這一周的邊線剝下來，這是它的起點(diǎn)，這是它的終點(diǎn)。這條邊線就是正方形的什么？

生：一周、周長(zhǎng)。

師：你知道它有多長(zhǎng)嗎？我們只能說它是長(zhǎng)方形一周的邊線。要知道它有多長(zhǎng)，必須做什么？

生：量一量。

師：拿什么量？

生：尺子。

師：量誰？

生：線。

師：這是一條普通的線嗎？

生：是正方形的一周。

師：我來量一量，量完了以后請(qǐng)這個(gè)同學(xué)幫我記錄下來。

師：先用零刻度線對(duì)準(zhǔn)它的起點(diǎn)，這正好是多少？

生：80 cm。

師：它是一條80 cm的線段，這條線段是從正方形一周剝下來的，它就是正方形一周的長(zhǎng)度，我們就叫它是正方形的什么？

生：周長(zhǎng)。

師：周長(zhǎng)和周是一回事嗎？

生：不是。

師：周和周長(zhǎng)是兩回事兒。周指的是一周的邊線，周長(zhǎng)是這一周的邊線有多長(zhǎng)。我們來量一量，得知道量誰？

生：正方形的周。

師：我們要找好測(cè)量的工具，還要確定好度量的單位。我們是用什么單位來量？

生：用1 cm單位來量的，有80 cm。

【賞析】“周和周長(zhǎng)是兩回事兒”，這是吳老師第二次打破了常規(guī)。記憶中，“周”就是“周長(zhǎng)”，它們都表示為一周的長(zhǎng)度。然而這節(jié)課吳老師告訴我們“周是周，周長(zhǎng)是周長(zhǎng)”，吳老師指出了兩者的不同，對(duì)于概念的本質(zhì)，不混淆、不模糊，讓學(xué)生學(xué)得更明白。在教學(xué)“周”的過程中，吳老師沒有用信息化手段，而是使用傳統(tǒng)教具，領(lǐng)著學(xué)生剝邊線，原本靜態(tài)的教具立馬鮮活起來，“周”是“線”的認(rèn)知就通過“手剝”“眼看”生動(dòng)地印在學(xué)生腦海中，“周”的空間觀念直觀、深刻，在“周長(zhǎng)”的教學(xué)中吳老師側(cè)重讓學(xué)生進(jìn)行度量，注重度量方法的提煉。

【片段三】植入生活，返璞歸真：“大周”“小周”都是“周”

師：我把一個(gè)很大的操場(chǎng)的跑道畫下來了，可以嗎？

（教師在黑板上畫一個(gè)跑道的示意圖）

師：有一個(gè)男孩太胖了，他要鍛煉身體，媽媽要他圍著操場(chǎng)跑道的一周跑一圈。

師：現(xiàn)在他開始跑了，第一次他實(shí)在累了，不想跑了，這是一周嗎？

（男孩只跑了操場(chǎng)的大半圈便停下了）

生：不是。

師：能測(cè)量周長(zhǎng)嗎？

生：不能。

師：第二次他還是從這里開始跑，然后又回來了。

（男孩跑了操場(chǎng)的大半圈后抄近路回到起點(diǎn)）

生：他偷懶了。

師：這是一周嗎？

師：第三次他還從這里開始跑，終于跑回來了。第三次是一周嗎？

生：是。

師：第三次是一周，從起點(diǎn)又回到了起點(diǎn)。第一次不是一周，從起點(diǎn)沒有封閉回去，對(duì)不對(duì)？

生：對(duì)。

師：第二次呢？

生：它是封閉的。

師：它是一周嗎？

生：是。

師：有沒有不同意見？

生：因?yàn)樗@操場(chǎng)一周，可是他沒有跑完，所以不是一周。

師：哦，這個(gè)同學(xué)有不同的意見，他說要繞操場(chǎng)才是一周，這個(gè)同學(xué)的說法對(duì)嗎？

生：不對(duì)，還是一周。

師：它為什么是一周呢？

生：因?yàn)樗欠忾]跑的，還是從起點(diǎn)又回到了起點(diǎn)。

師：真了不起。他是從起點(diǎn)又回到了起點(diǎn)，確實(shí)是一周。他不是跑了操場(chǎng)跑道的一周。而是自己圍成了一周，這是小周。操場(chǎng)是一個(gè)大周，大周不是小周，小周不是大周。它們都是什么？

生：一周。

【賞析】在教學(xué)中，吳老師設(shè)計(jì)男孩“跑大半圈?！薄芭苄∪亍薄芭苷Α钡呐懿角榫匙寣W(xué)生進(jìn)一步辨析“什么是周”。學(xué)生很清楚地知道“沒有封閉不是周”，但在提問“一小圈”是不是“周”時(shí)，學(xué)生從懷疑到釋然，認(rèn)識(shí)到“大周、小周都是周”，它們都是“從起點(diǎn)回到起點(diǎn)”。通過變式，幫助學(xué)生排除“周”的非本質(zhì)特征，突出“周”的本質(zhì)特征。

概念教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的難點(diǎn)問題。數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)于概念的理解內(nèi)涵是：描述對(duì)象的特征和由來，闡述對(duì)象和對(duì)象之間的區(qū)別與聯(lián)系。理解周長(zhǎng)的概念，學(xué)生就要知道它有什么特征，這個(gè)概念和其他概念有什么區(qū)別和聯(lián)系。在這節(jié)課中，吳老師引導(dǎo)學(xué)生在直觀操作中感知“面”和“周”的概念，在對(duì)比分析中清晰“面”和“周”的概念，在變式舉例中內(nèi)化“周”的概念，從而加深對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解。

（作者單位：江西省南昌市灣里區(qū)教研室）

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